Chapitre 6 Techniques de Fermeture (1) Le problème de fermeture Règles de paramétrage Fermetures locales d ’ordre zéro d ’ordre 1/2 d ’ordre 1 Exemples Définition La couche limite atmosphérique est la partie de l’atmosphère en contact avec la surface terrestre, directement influencée par la présence de celle-ci

Équations de Reynolds 7 équations et 16 inconnues ...

Le problème de fermeture dans la CLA Le nombre d ’inconnues est plus élevé que le nombre d ’équations...

1 3 6 2 6 10 3 10 15 Équation pronostique Nombre d ’équations Nombre d ’inconnues moment 1 3 6 2 6 10 3 10 15

Ordre de fermeture Triangle des inconnues Zéro Un Deux

Fermetures d ’ « ordre » et demi Certaines hypothèses de fermeture utilisent un sous-ensemble d’équations d’ordre donné, « ordre # », pour fermer le système. Par exemple: COBEL utilise comme équations pronostiques toutes les équations de premier ordre + l’équation de pronostique de l’énergie cinétique turbulente, qui est une équation de deuxième ordre. On dit alors que le schéma numérique de COBEL utilise une fermeture un et demi. C ’est quoi l ’ordre d ’une équation ???

Modélisation de la CLA Modèles CLA Équations Modèles intégraux (moyennes d ’ensemble) (moyennes de volume) (LES) Fermeture non local Modèles intégraux ou d’ordre zéro Fermeture de premier ordre Fermeture de deuxième ordre

Règles de paramétrage Pourquoi on paramètre ??? Les nouveaux termes doivent être paramétrés en fonction des termes connus et de paramètres empiriques... C ’est quoi une quantité connue ??? Exemple : Termes connus: autres ?? C ’est quoi un paramètre ???

Règles de paramétrage Le terme paramétré doit obéir à certaines règles: 1) Avoir les mêmes dimensions que le terme physique; 2) avoir les mêmes propriétés tensorielles; 3) avoir les mêmes propriétés de symétrie; 4) être invariant par rapport à une transformation galiléenne; 5) satisfaire toutes les contraintes auxquelles le terme physique est soumis.

Règles de paramétrage Corrélation triple : Le plus simple: La même dimension tensoriel les mêmes propriétés de symétrie les mêmes dimensions que le terme physique Donaldson, 1973 : fermeture de deuxième ordre

Modèles intégraux : ordre zéro Il n ’y a pas d ’équation pronostique. Les quantités moyennes sont paramétrées en fonction de la position et du temps. Moyennes d’ensemble: Théorie de la similitude

Modèles locaux : ordre demi Utilisent un sous-ensemble des équations d ’ordre 1 Moyennes d’ensemble Méthode globale ou des couches (bulk method) Pour chaque couche: 1) on impose un profil pour les quantités moyennes 2) on calcule l ’évolution des quantités moyennées sur toute la couche 3) on trouve les valeurs finales

Modèles globaux ou de couche Couche de mélange

Modèles globaux ou de couche Couche de mélange 1) on impose un profil pour les quantités moyennes 2) on calcule l ’évolution des quantités moyennées sur toute la couche 3) on trouve les valeurs finales

Paramétrage des termes inconnus Théorie K ou des transports gradients « Small eddy closure » ???

Noms pour K Km = coefficient d ’échange turbulent pour Viscosité turbulente coefficient de diffusion turbulente coefficient d ’échange turbulent coefficient d ’échange gradient Km = coefficient d ’échange turbulent pour la quantité de mouvement KH = coefficient d ’échange turbulent pour la chaleur KE = coefficient d ’échange turbulent pour l ’humidité

Analogie avec la viscosité moléculaire Pour un fluide newtonien: Pour un écoulement turbulent :

Analogie avec la viscosité moléculaire La viscosité cinématique La viscosité cinématique d ’un fluide est déterminée par la composition chimique du fluide et par son état thermodynamique. Elle est une caractéristique du fluide La viscosité turbulente La viscosité turbulente varie quand la turbulence varie. La viscosité turbulente est fonction de la stabilité statique, du cisaillement du vent et d ’autres caractéristiques de l ’écoulement. Elle dépend du type d ’écoulement

Ordre de grandeur de K et  La viscosité cinématique de l ’air La viscosité turbulente Intervalle habituelle :

Théorie de la longueur de mélange Prandtl, 1925 Conditions d’applicabilité: 1) neutralité statique; 2) le profil vertical des autres quantités moyennes doit être une fonction linéaire de z

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage du flux d ’humidité Stull, fig. 6.1

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage du flux d ’humidité Est la variance des déplacements turbulents de la parcelle.

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage du flux d ’humidité Est la variance des déplacements turbulents de la parcelle. Signification physique ??? Longueur de mélange turbulent

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage du flux d ’humidité Le coefficient d ’échange turbulent augmente avec le cisaillement (intensité de la turbulence) Le coefficient d ’échange turbulent augmente avec la longueur de mélange, c ’est-à-dire, l ’efficacité de la turbulence à mélanger les parcelles d ’air des divers niveaux.

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage de la longueur de mélange dans la couche de surface neutre La présence de la surface limite la taille des tourbillons: la longueur de mélange est considérée proportionnelle à la distance à la surface :

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage de la longueur de mélange dans la couche stable nocturne Delage, 1974

Théorie de la longueur de mélange Limitations Cette hypothèse est valide seulement dans le cas ou la couche est statiquement neutre Profils linéaires. Approximation de Taylor d ’ordre 1 ... Fermeture locale en cas de petits tourbillons (Small eddy theory)

Homogénéité horizontale

Stationnarité

Couche de surface + orientation de l ’axe de x selon la direction du mouvement La somme des contraintes de Reynolds et des contraintes de viscosité est constante dans toute l ’épaisseur de la couche de surface homogène et stationnaire

Couche de surface Dans l ’atmosphère, en dehors de la couche visqueuse Dans la couche de surface le flux de quantité de mouvement ne dépend pas de z.

Couche de surface Soit La force de contrainte exercé à la surface par les fluctuations turbulentes. On défini une échelle de vitesse caractéristique de la couche de surface par:

Couche de surface Paramètre de rugosité : hauteur à laquelle la vitesse moyenne s ’annule.

Couche de surface

Couche de surface: calcul du profil du vent distance de déplacement

Couche de d ’Ekman, homogène et stationnaire = constante

Couche de d ’Ekman, homogène et stationnaire Couche barotrope : ??? La solution de ce système d ’équations différentielles couplées s ’obtient en faisant un changement de variable L ’axe des x est orienté dans la direction du vent géostrophique

Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire et barotrope. Axe des x selon la direction du vent géostrophique Conditions frontières: Solution, Holton, 1978

Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire barotrope :

Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire barotrope : Selon cette solution les vents de surface font un angle de /4 avec le vent géostrophique (dans l ’hémisphère nord, à gauche de celui-ci) h Les vents sont approximativement géostrophiques quand La hauteur de la couche d ’Ekman est:

Hodographe : la spirale d ’Ekman (couche homogène, stationnaire et barotrope) :

La spirale d ’Ekman : atmosphère et océan En négligeant les gradients de pression dans l ’océan on a comme équations de mouvement: Choix d ’axe des x aligné avec les contraintes de surface u*(océan) Conditions frontières

La spirale d ’Ekman : atmosphère et océan

La spirale d ’Ekman : atmosphère et océan

La spirale d ’Ekman : océan

Couplage entre la circulation atmosphérique et la circulation océanique

Caractéristiques de K On sait que: K varie avec z K est propriété de l ’écoulement K doit être proportionnelle à l ’échelle de vitesse et à la taille des tourbillons les plus énergétiques K se comporte, tout proche de la surface comme: K ait des valeurs plus petits au sommet de la couche limite

Exemples de paramétrage de K Contraintes: K=0 quand il n ’y a pas de turbulence K=0 au sol (z=0) K augmente avec l ’intensité de la turbulence (TKE) K dépend de la stabilité statique K dépend de la direction (un vecteur) K est non négatif (analogie moléculaire)

Couche de mélange convective Grandes tourbillons Dans l ’atmosphère réelle il y a des situations où les flux sont contre le gradient K doit être négatif ??? La théorie de longueur de mélange de Prandtl ne s ’applique pas... Des grands tourbillons ...

Couche de mélange convective Grandes tourbillons Deardoff, 1966

Exemples de paramétrisations de K Couche de surface neutre

Exemples de paramétrage de K Couche de surface stratifiée K stable < K neutre < K instable

Exemples de paramétrage de K Couche limite neutre Couche limite convective

Exemples de paramétrage de K Modélisation Où est la taille de grille