Analyse temporelle des systèmes asservis Evaluation des Performances Modélisation du comportement

Modélisation du comportement u(t) t H(p)

Notion de modélisation Choix du modèle Pour réaliser la modélisation d’un système technique, il faut successivement : isoler de façon globale le système, découper ce système en sous-systèmes, associer à chacun des sous-systèmes un modèle de connaissance ou un modèle de comportement. Entrée Sortie - + H1 H2 H3 H4

Modèle de comportement Expérience Grandeur d’entrée Grandeur de sortie H2 Fonction test connue Résultats expérimentaux à analyser Modèle à identifier Les résultats expérimentaux semblent correspondre à ceux d’un modèle connu dont il faut déterminer les paramètres caractéristiques.

Modélisation des signaux d’entrée La sortie d’un système asservi est souvent caractérisé par sa réponse à des signaux tests qui représentent la modélisation d’une excitation réelle : δ(t) t Fonction de Dirac d(t): réponse impulsionnelle u(t) t Fonction échelon unité u(t): réponse indicielle 𝑈 𝑝 = 1 𝑝 Δ 𝑝 =1 f(t) t Fonction rampe de pente unitaire: f(t) t Fonction parabole: 𝐹 𝑝 = 1 𝑝 2 𝐹 𝑝 = 2 𝑝 3

Modèle de comportement Expérience Grandeur d’entrée Grandeur de sortie H2 δ(t) t H2 réponse impulsionnelle u(t) t H2 réponse indicielle

Quels Modèles simples? H2 𝐻 2 𝑝 =𝐾 Gain pur 𝐻 2 =𝐾∗ 𝑒 −𝑇𝑝 Retard 𝐻 2 𝑝 =𝐾 Gain pur 𝐻 2 =𝐾∗ 𝑒 −𝑇𝑝 Retard 𝐻 2 𝑝 = 𝐾 𝑝 Intégrateur 𝐻 2 𝑝 = 𝐾 1+𝑇𝑝 Premier ordre 𝐻 2 𝑝 = 𝐾 1+2 𝑧 𝜔 0 𝑝+ 𝑝 2 𝜔 0 2 Second ordre

Gain pur 𝐻 𝑝 =𝐾 Equation temporelle Equation dans Laplace 𝑠 𝑡 =𝐾.𝑒 𝑡 Equation dans Laplace S 𝑝 =𝐾.𝐸 𝑝 Réponse impulsionnelle Réponse indicielle δ(t) t K.δ(t) t K u(t) t K.u(t) t K

Retard H=𝐾∗ 𝑒 −𝑇𝑝 Equation temporelle Equation dans Laplace 𝑠 𝑡 =𝐾.𝑒 𝑡−𝑇 Equation dans Laplace S 𝑝 =𝐾.𝐸 𝑝 exp(-Tp) Réponse impulsionnelle Réponse indicielle δ(t) t K.δ(t-T) t K 𝑒 −𝑇𝑝 u(t) t K.u(t-T) t K 𝑒 −𝑇𝑝

Retard H=𝐾∗ 𝑒 −𝑇𝑝 Deux constantes : K, rapport de 𝑠 ∞ 𝑒 0 T, retard s(∞)=Ke0 Deux constantes : K, rapport de 𝑠 ∞ 𝑒 0 T, retard s(t) e(t) t T Deux constantes : K, rapport de 𝑎 𝑒 0 avec a coefficient directeur de la pente T, retard a=Ke0

Intégrateur H= 𝐾 𝑝 Equation temporelle Equation dans Laplace 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑡 =𝐾.𝑒 𝑡 Equation dans Laplace S 𝑝 = 𝐾 𝑝 .𝐸 𝑝 Réponse impulsionnelle Réponse indicielle K.u(t) t δ(t) t 𝐾 𝑝 K.t.u(t) t u(t) t 𝐾 𝑝

Intégrateur H= 𝐾 𝑝 Une constante : K, rapport de 𝑠 ∞ 𝑒 0 s(∞)=Ke0 Une constante : K, rapport de 𝑠 ∞ 𝑒 0 s(t) e0 t 1 a=Ke0 Une constante : K, rapport de 𝑎 𝑒 0 avec a coefficient directeur de la pente

1er Ordre H= 𝐾 1+𝑇𝑝 Equation temporelle Equation dans Laplace 𝑇 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑡 + 𝑡 =𝐾.𝑒 𝑡 Equation dans Laplace S 𝑝 = 𝐾 1+𝑇𝑝 .𝐸 𝑝 Réponse impulsionnelle Réponse indicielle K.e-t/T t δ(t) t 𝐾 1+𝑇𝑝 K.(1-e-t/T) t u(t) t 𝐾 1+𝑇𝑝

1er Ordre Réponse indicielle Propriétés Influence des paramètres tangente à l’origine non nulle, Ke0/t valeur finale égale à Ke0 s(T)=0,63 Ke0 s(2T)=0,86 Ke0 s(3T)=0,95 Ke0 Influence des paramètres Transitoire Permanent

1er Ordre Identification Il faut déterminer K et T. K : on détermine la valeur finale qui vaut Ke0 et connaissant e0, on trouve K. τ : méthodes possibles suivant la qualité de la courbe : on mesure la tangente elle coupe l’asymptote au temps t+ τ, on cherche les valeurs caractéristiques en τ, 2τ, 3τ

Performances - Critères Stabilité Amortissement Rapidité Précision

Performances - Stabilité Stabilité (2ème année)

Performances - Critères Stabilité Amortissement

Performances - Critères Stabilité Amortissement Rapidité temps de réponse tR à 5%. C’est le temps mis par la réponse s(t) pour que : t ≥ tR(5%)  0,95 . S∞ ≤ s(t) ≤ 1,05 . S∞

Performances - Critères Stabilité Amortissement Rapidité Précision Erreur absolue : 𝑆 ∞ − 𝐸 0 Erreur relative : 𝑆 ∞ − 𝐸 0 𝐸 0 Erreur absolue Attention : l’erreur n’a de sens que sur les systèmes asservis, c’est-à-dire si la sortie et l’entrée ont la même grandeur

Performances – 1er ordre Stabilité oui Amortissement Aucun dépassement Rapidité Tr5%=3T Précision Erreur absolue erreur= 𝐾−1 . 𝐸 0 Erreur nulle et donc précis si K=1 erreur Tr5%