Démonstration : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes.
A B C Les trois médiatrices semblent concourantes.
Déplacer les sommets du triangle Elles semblent concourantes pour tous les triangles.
Avons nous un cas particulier ? Pour trois droites tracées au hasard, combien a-t-on de points d ’intersection ? A priori, il y a trois points d ’intersection entre ces droites.
Sur chaque triangle, on constate ce résultat. Essayons pour un quadrilatère particulier ABCD: A B C D
Par contre pour d’autres quadrilatères, on trouve plusieurs points d’intersections. A B C D Le résultat obtenu dépend apparement du quadrilatère.
Le résultat obtenu dépend donc du quadrilatère. Avons- nous toujours un seul point d ’intersection pour le triangle?
Nous allons démontrer que c’est le cas en utilisant les propriétés des points de la médiatrice d’un segment. A B M Pour tout point M de la médiatrice de [AB], on a MA = MB.
Si point N vérifie NA = NB, alors le point N est sur la médiatrice de [AB] . A B x N
Reprenons le triangle ABC et deux des ses médiatrices : on notera O leur point d’intersection. A B C O O appartient à la médiatrice de [AB] : II OA = OB. II O appartient à la médiatrice de [BC] : OB = OC.
II A C O B Donc OA = OB = OC.
B A C O II En particulier OA = OC.
Le point O est donc sur la troisième médiatrice : B C O II Le point O est donc sur la troisième médiatrice :
A B C Les trois médiatrices sont concourantes.