Horloge hélio-caustique de temps moyen 13/10/2012 Cadran solaire de temps moyen sur une surface réglée Francis Ziegeltrum 16 octobre 2010 Réunion CCS

Coordonnées horizontales Xh Yh Zh Il y a un an je vous avais présenté ma méthode de calcul des coordonnées du Soleil dans le repère horizontal utilisant les matrices de rotation. C’est une méthode qui fait abstraction de la trigonométrie et utilise un outil de l’algèbre. Je vous rappelle en quelques mots la méthode: partant de la longitude moyenne du Soleil, on effectue 3 changements de repère pour arriver au repère local que l’on nomme le repère horizontal. A chaque changement de repère correspond une matrice de rotation. Gnomon Il y a un an je vous avais présenté ma méthode de calcul des coordonnées du Soleil dans le repère horizontal utilisant les matrices de rotation. C’est une méthode qui fait abstraction de la trigonométrie et utilise un outil de l’algèbre. Je vous rappelle en quelques mots la méthode: partant de la longitude moyenne du Soleil, on effectue 3 changements de repère pour arriver au repère local que l’on nomme le repère horizontal. A chaque changement de repère correspond une matrice de rotation.

Projection sur une surface plane Xh Yh Zh La projection du point P sur la surface plane revient à déterminer le point d’intersection de la droite passant par S et P avec la surface Connaissant les coordonnées cartésiennes du Soleil à tout instant, on peut facilement à calculer la projection d’un point sur une surface plane. On peut ainsi calculer les courbes en huit qui caractérisent les cadrans solaires de temps moyen. P Gnomon Connaissant les coordonnées cartésiennes du Soleil à tout instant, on peut facilement à calculer la projection d’un point sur une surface plane. On peut ainsi calculer les courbes en huit qui caractérisent les cadrans solaires de temps moyen. M

Généralisation S Xh Yh Zh Existe-t-il des familles de surfaces permettant de trouver facilement le point d’intersection avec une droite? P Gnomon Question: Existe-t-il des familles de surfaces permettant de trouver facilement le point d’intersection avec une droite? M

…( Rappel de géométrie analytique

Espace euclidien L’espace euclidien est un espace imaginaire dans lequel peuvent s’effectuer les calculs de la géométrie analytique. Pour cela il faut un repère pour les coordonnées cartésiennes et un espace vectoriel pour décomposer les vecteurs. Le plus petit élément de l’espace est le point. Celui-ci est localisé dans l’espace à l’aide de ces coordonnées. L’élément suivant est le vecteur représenté par une flèche. Tout vecteur de l’espace se décompose en somme des vecteurs i,j et k. u1, u2 et u3 sont appelés coordonnées du vecteur u. Par un point passe un infinité de droite ayant chacune son vecteur directeur. Tout point de la droite s’écrit en utilisant les coordonnées de A et de u. a est le paramètre. L’espace euclidien est un espace imaginaire dans lequel peuvent s’effectuer les calculs de la géométrie analytique. Pour cela il faut un repère pour les coordonnées cartésiennes et un espace vectoriel pour décomposer les vecteurs. Le plus petit élément de l’espace est le point. Celui-ci est localisé dans l’espace à l’aide de ces coordonnées. L’élément suivant est le vecteur représenté par une flèche. Tout vecteur de l’espace se décompose en somme des vecteurs i,j et k. u1, u2 et u3 sont appelés coordonnées du vecteur u. Par un point passe un infinité de droite ayant chacune son vecteur directeur. Tout point de la droite s’écrit en utilisant les coordonnées de A et de u. a est le paramètre.

Géométrie analytique Opération sur les vecteurs Produit scalaire Norme d’un vecteur Produit vectoriel En dehors des opération sur les vecteurs classiques d’addition de 2 vecteurs ou la multiplication par un scalaire, il existe 4 opérations très intéressantes pour Produit mixte

Géométrie analytique Fonctions visual basic Comme toujours je me sers d’un tableur et surtout de la programmation visual basic qui permet de créer des fonctions qui sont de véritable super opérateurs de calcul. Function produit_scalaire(u1, u2, u3, v1, v2, v3) produit_scalaire = u1 * v1 + u2 * v2 + u3 * v3 End Function Function produit_vectoriel(u1, u2, u3, v1, v2, v3) Dim pproduit_vectoriel(3) As Double pproduit_vectoriel(1) = u2 * v3 - u3 * v2 pproduit_vectoriel(2) = u3 * v1 - u1 * v3 pproduit_vectoriel(3) = u1 * v2 - u2 * v1produit_vectoriel = Array(pproduit_vectoriel(1), pproduit_vectoriel(2), pproduit_vectoriel(3)) End Function Comme toujours je me sers d’un tableur et surtout la programmation visual basic qui permet de créer des fonctions qui sont de véritable super opérateurs de calcul. Function produit_mixte(u1, u2, u3, v1, v2, v3, w1, w2, w3) produit_mixte = produit_scalaire(u1, u2, u3, produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(0), produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(1), produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(2)) End Function

Géométrie analytique Positionnement d’une droite dans l’espace B Db Droites coplanaires Mais voyons maintenant comment les 3 opérations sur les vecteurs nous sont d’une grande utilité pour déterminer la position d’une droite par rapport à une autre. Deux droites sont coplanaires si et seulement si les vecteurs sont coplanaires, C’est-à-dire si le produit mixte

Géométrie analytique Positionnement d’une droite dans l’espace Droites sécantes A I Da B Db Deux droites sont sécantes si et seulement si elles sont coplanaires et non parallèles

Géométrie analytique Calcul de point d’intersection de deux droites sécantes Le point d’intersection I appartient aux deux droites donc: A I Da B Db En éliminant b on trouve l’expression de a:

Géométrie analytique Calcul de point d’intersection de deux droites sécantes Les coordonnées de I sont: A I Da B Db Avec:

) Rappel de géométrie analytique

Surface réglée Définition Une surface est dite réglée si elle est engendrée par des droites où est une courbe paramétrée et est un vecteur également paramétré. Génératrice Voici une définition générale des surfaces dites réglées. Courbe paramétrée

Surface réglée de révolution Génératrices Nous allons nous intéresser plus particulièrement aux surfaces réglées de révolution. Soit un cercle qui représente la courbe paramétrée A et une droite appelée génératrice ayant comme vecteur directeur le vecteur u parallèle à l’axe z. Par chaque point du cercle passe une droite dirigée par u. L’ensemble de ces droites forment la surface d’un cylindre. Z Y Nous allons nous intéresser plus particulièrement aux surfaces réglées de révolution. Soit un cercle qui représente la courbe paramétrée A et une droite appelée génératrice ayant comme vecteur directeur le vecteur u parallèle à l’axe z. Par chaque point du cercle passe une droite dirigée par u. L’ensemble de ces droites forment la surface d’un cylindre. X

Surface réglée de révolution Première surface: Un cylindre J’ai donc généré une surface réglée à partir d’une droite parallèle à l’axe z et s’appuyant sur un cercle. Je peux placer un autre cercle à une certaine distance du premier. Toutes les génératrices coupent ce cercle. Z Z Génératrices Y Y J’ai donc généré une surface réglée à partir de droite parallèle à l’axe z et s’appuyant sur un cercle. Je peux placer un autre cercle à une certaine distance du premier. Toutes les génératrices coupent ce cercle. X X

Surface réglée de révolution Rotation du cercle supérieur d’un angle j Deuxième surface: un hyperboloïde à une nappe Génératrices X Y Z Si je suppose que les génératrices sont accrochées à ces 2 cercles et que je tourne celui du haut d’un angle phi, les génératrices ne sont plus parallèles à l’axe z mais s’inclinent. La surface engendrée par les droites n’est plus un cylindre. La surface est un hyperboloïdes à une nappe. Si l’on continu de tourner le cercle supérieur on finit par obtenir un cône. Si je suppose que les génératrices sont accrochées à ces 2 cercles et que je tourne celui du haut d’un angle phi, les génératrices ne sont plus parallèles à l’axe z mais s’inclinent. La surface engendrée par les droites n’est plus un cylindre. La surface est un hyperboloïdes à une nappe. Si l’on continu de tourner le cercle supérieur on finit par obtenir un cône.

Surface réglée de révolution j=180 : Cône 0<j<180 : Hyperboloïde j=0 : Cylindre

Cadran solaire sur une surface réglée de révolution B S I Zh Xh Yh Gnomon P Nous voila enfin arrivés au cœur du sujet d’aujourd’hui: comment tracer un cadran solaire de temps moyen sur une surface réglée de révolution quelconque? Commençons par poser le problème. Nous avons nos 2 cercles qui portent les génératrices. A et B désignent les points d’accroche d’une génératrice. Le vecteur AB est donc un vecteur directeur de la génératrice passant par A et B Plaçons un gnomon perpendiculairement à l’axe de révolution. Le point P désigne l’extrémité du gnomon. Plaçons l’ensemble face au Soleil qui projette l’ombre de l’extrémité du gnomon sur la surface. Supposons que cette ombre soit projetée sur la gé Un point I projection de P appartient à la surface réglée si et seulement si il appartient à une des droites génératrices.

Cadran solaire sur une surface réglée de révolution B Un point I projection de P appartient à la surface réglée si et seulement si les vecteurs sont coplanaires S I Zh Xh Yh Gnomon P

Cadran solaire sur une surface réglée de révolution B S Zh Yh P Xh I Un point I projection de P appartient à la surface réglée si et seulement si le produit mixte A

Cadran solaire sur une surface réglée de révolution La résolution de permet de déterminer la valeur q Variation de pour max min La fonction a une forme sinusoïdale et passe donc par une valeur mini et une valeur maxi. Entre ces deux extrema, la fonction s’annule.

Cadran solaire sur une surface réglée de révolution max min On détermine la valeur q pour laquelle le produit mixte s’annule en utilisant la méthode numérique de résolution dite de dichotomie sur l’intervalle [qmin, qmax] .

Cadran solaire sur une surface réglée de révolution Résumé de la méthode Calculer les coordonnées du Soleil dans le repère horizontal à l’aide de la méthode décrite dans le Traité abrégé de gnomonique. Calculer les coordonnées des vecteurs Déterminer q en résolvant par la méthode de dichotomie Calculer les coordonnées de I point d’intersection de la droite passant par S et P avec la génératrice de la surface. Calculer la norme du vecteur

Cadran solaire sur une surface réglée de révolution Tracé sur la surface A B S I Zh Xh Yh Gnomon P Pour chaque point I on connait l’angle q positionnant le point A sur le cercle de base, sur le segment AB on marque la distance

Cadran solaire sur une surface réglée de révolution

Cadran solaire sur un hyperboloïde Centrale nucléaire de Civaux-Simulation