Intégrale de Riemann

Calcul intégral (grande base) (petite base) Chacune de ces bandes est un trapèze d’aire égale à (hauteur) 2 grande base = f(x) petite base = f(x + h) Ordonnée f(x) hauteur = h Ordonnée f(x + h) f(x) + f(x + h) Aire d’une bande = h 2 Abscisse = b Abscisse = a Abscisse = x + h Abscisse = x Aire comptée positivement Aire comptée négativement

Calcul intégral ⌠ Si la plus grande des largeurs h tend vers zéro … alors toutes les largeurs h tendent vers zéro donc la somme (algébrique) des aires des bandes tend vers l’aire ABCDBE. En plus, Ordonnée f(x) les largeurs h des bandes tendent vers zéro Ordonnée f(x + h) E Abscisse = b Aire d’une bande = f(x) + f(x + h) 2 h donc les f(x + h) tend vers f(x) donc, parce que f est continue A B C Abscisse = a Abscisse = x + h Abscisse = x D l’aire de chaque bande tend vers f(x) h Riemann (1854) ⌠ a b f(x) dx = f(x) + f(x + h) Aire ABCDBE = lim h = lim f(x) h max h → 0 2 max h → 0 lames lames

Calcul intégral ⌠ structuré Si les largeurs de bandes sont toutes égales à ε b – a largeur commune des lames = ε = N Domaine = b - a découpé en N segments de longueur ε Abscisse = b = a + N ε Abscisse = a f(x) h Aire ABCDBE = max h → 0 lim f(x) + f(x + h) 2 h = ⌠ a b f(x) dx ε ε ε lames

Calcul intégral ⌠ ⌠ structuré Si on fait dépendre les bornes de ε … Par exemple, si K est un nombre fixe > 0, si on impose les contraintes supplémentaires ε a = - K et ε b = + K alors ε (b – a) = 2 K k2 Kkk b – a donc ε = donc, si ε tend vers zéro les limites a et b vont respectivement vers - ∞ et + ∞. ⌠ - f(x) dx = 8 + f(x) h Aire ABCDBE = max h → 0 lim f(x) + f(x + h) 2 h = ⌠ a b f(x) dx

⌠ ⌠ ⌠ Intégrales de combinaisons linéaires de fonctions Soient autant de fonctions fi  E que de nombres pi : Si f(x) = i  E pi fi(x) = p1 f1(x) + … + pN fN(x) alors lames lames i  E pi fi(x) ε i  E lames pi fi(x) ε = i  E pi lames fi(x) ε f(x) ε = = donc quand max ε → 0 lim lames f(x) ε = i  E pi lim lames fi(x) ε max h → 0 max h → 0 ⌠ a b f(x) dx ⌠ a b fi(x) dx = i  E pi … + p1 f(x) dx …  pN g(x) dx = f(x) dx m M p1 pN h(x) dx f(x) h Aire ABCDBE = max h → 0 lim f(x) + f(x + h) 2 h = ⌠ a b f(x) dx

Intégrales de combinaisons linéaires de fonctions Cas particulier : somme algébrique de fonctions Si les pi sont soit qi soit - qi …   q1 f(x) dx …  qN g(x) dx = f(x) dx m M  q1 qN h(x) dx … + p1 f(x) dx …  pN g(x) dx = f(x) dx m M p1 pN h(x) dx

Intégrales de combinaisons linéaires de fonctions f(x) dx m M Cas particulier : les pi sont tous nuls sauf un qui vaut p p f(x) dx = p m M f(x) dx m M Cas particulier : p est - 1 - f(x) dx = - m M f(x) dx m M g(x) dx m M Cas particulier : p1 et p2 sont + 1, les autres pi sont nuls f(x) + g(x) dx = + m M f(x) dx m M g(x) dx m M Cas particulier : p1 est + 1 p2 est - 1 et les autres pi sont nuls f(x) dx - g(x) dx = - …   q1 f(x) dx …  qN g(x) dx = f(x) dx m M  q1 qN h(x) dx

Intégrale d’une dérivée Considérons une suite de petites variations d’une fonction f(x) f(b) – f(a) = f(x + h) – f(x) x = a x = b f(x + h) – f(x) x = a x = b h = f(x + h) – f(x) h C’est une somme d’aires de colonnes de base h et de hauteur . f(x + h) – f(x) h f(b) – f(a) lim( quand hmax →0) x = a x = b = = x = a x = b f ’(x) h lim( quand hmax →0) a b f ’(x) dx f(b) – f(a) = Invention d’une nouvelle écriture par Fourier

Fonction de degré inférieur ou égal à 2 f ’(x) dx f(b) – f(a) = a b Si f ’(x) = 2 m x + p et sachant que 2 m x + p est la dérivée de f(x) = m x2 + p x + q donc que f(b) = m b2 + p b + q et que f(a) = m a2 + p a + q on en déduit que m b2 + p b + q moins m a2 + p a + q = m (b2 – a2) + p (b – a) a b (2 m x + p) dx . est la formule de calcul de a b (k x + p) dx . a b f ’(x) dx f(b) – f(a) = Mais souvent le problème posé est le calcul de a b dx = 0 k 2 Ici le rôle de 2 m est joué par k donc le rôle de m est joué par Cas particulier : c = 0 a b (k x + p) dx = (b2 – a2) + p (b – a) k 2 a b c dx = c (b – a)

Calcul intégral Un exemple plus compliqué : si f ’(x) est la dérivée d’un produit de fonctions f ’(x) = u’ (x) v(x) + u(x) v’(x) a b a b l’intégration donne f(b) – f(a) = u’ (x) v(x) dx + u(x) v’(x) dx d’où cette formule dite d’intégration par parties : a b a b f(b) – f(a) - u(x) v’(x) dx = u’ (x) v(x) dx u’ (x) v(x) dx = f(b) – f(a) - u(x) v’(x) dx a b soit, en substituant f(b) et f(a) a b a b u’ (x) v(x) dx = u(b) v(b) – u(a) v(a) - u(x) v’(x) dx