Sylvie Alayrangues Jacques-Olivier Lachaud Equivalence entre les représentations d ’images à l ’aide de complexes et d ’ordres Sylvie Alayrangues Jacques-Olivier Lachaud Séminaire IRCOM-SIC juin 2002

Plan Motivations Equivalence ordre/complexe Applications : propriétés intéressantes sur une sous-catégorie d ’ordres et de complexes : ordres et complexes SN ex : complexes simpliciaux, polyédriques, Zn Applications : Homotopies Groupe fondamental Simplification d ’un objet dans un espace

Motivations Représentations topologiques des images Modèles généraux : indépendants de la dimension, sans contrainte sur la nature du support de l ’image, sans contrainte géométrique…

Représentations à l ’aide d ’ordres et de complexes Ordres développés par Bertrand et al. Approche ensembliste Complexes proposés par Dominguez et al. Topologie combinatoire : complexes plongés dans un espace euclidien Différents résultats : définitions et algorithmes purement discrets : surfaces, homotopie, points simples / squelettisation, segmentation définitions par analogie avec le continu : surfaces, groupe fondamental, théorème de Seifert/Van Kampen

Points communs Eléments répartis entre deux classes : “pixels” de l ’image : -terminaux / n-cellules liens entre ces pixels : non -terminaux / k-cellules avec k < n

Ordre CF Ordre |X| = (X,α) Ordre CF : α-terminal X : ensemble d’éléments α : relation d ’ordre (i.e. relation binaire réflexive, transitive, antisymétrique) α-1 = β (X, β) ordre dual Ordre CF : X dénombrable localement fini : fini α-terminal

Représentation des ordres 9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 14 13 x2 x1 x3 x6 x5 x4 x7 x8 x9 x10 x12 x13 x14 x11 x2 x1 x3 x6 x5 x4 x7 x8 x9 x10 x12 x13 x14 x11

Complexe cellulaire abstrait Complexe cellulaire abstrait : C=(E,,dim) E : ensemble d’éléments abstraits,   EE : relation binaire non réflexive , antisymétrique, transitive (relation de bord) dim : EI Z telle que dim(e) < dim(e’) ssi e  e’ (dimension) Complexe localement fini de dimension n: fini

Représentation des complexes Restriction à des complexes polyédriques e5 e4 e2 e1 e7 e10 e11 e12 e9 e8 e6 e3

Lien complexe / ordre C=(E,<,dim) |X|=(X, a) ???

Construire un complexe à partir d ’un ordre (1) a-décomposition de l’ordre : famille {Xi} fonction dima : xXi, dima(x) = i x7 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x8 x9 x10 x11 x12 X0 X1 X2 X3 X4

Construire un complexe à partir d ’un ordre (2) Complexe cellulaire abstrait associé à |X| : C|X|=(E,,dim) xX,  (x) E, (x,x’)XX, x’ a(x)/{x} then (x’)(x), dim((x)) = dima(x). Complexe cellulaire abstrait dual associé à |X| : C*|X|=(E*,*,dim*) xX,  *(x) E*, (x,x’)XX, x’ b(x)/{x} then *(x’)*(x), dim(* (x)) = (dima(x)) - dima(x)) = dim*a(x)) .

Exemple x1 x2 x4 x5 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x9 *  e5 e4 e2 e1 e7

 Exemple x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x9 x5 * ordre dual  x4

Ordre / Complexe dual -terminaux représentés par des n-cellules complexe pur : toute k-cellule est face d’au moins une n-cellule

Correspondances ordre/complexe dual *(a(x)) = st(*(x)) *(b(x)) = cl(*(x)) topologies d’Alexandroff : ouverts de |X| fermés de C*|X| fermés de |X| ouverts de C*|X|

Images des adhérences x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 *(a(x)) = st(*(x)) *(b(x)) = cl(*(x))

Ouverts dans les ordres x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 Ordre CF : S ouvert S={xS/(x)S} Complexe dual : *(S) fermé *(S)=cl(*(S) ) x9 e*1 e*2 e*3 e*4 e*10 e*11 e*12 e*5 e*6 e*9 e*8 e*7

Fermés dans les ordres x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 CF-Order : S fermé S={xS/a(x)S} Dual abstract complex : *(S) ouvert *(S)=st(*(S)) x9 e*1 e*2 e*3 e*4 e*10 e*11 e*12 e*5 e*6 e*9 e*8 e*7

Connexité entre les -terminaux / n-cellules Sélectionner des non -terminaux / des k-cellules (k<n) définir les adjacences entre -terminaux / n-cellules x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 x13 x9 x14 e*1 e*2 e*3 e*4 e*10 e*11 e*12 e*5 e*6 e*9 e*8 e*7 e*13 e*14 x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 x13 x9 x14 e*1 e*2 e*3 e*4 e*10 e*11 e*12 e*5 e*6 e*9 e*8 e*7 e*13 e*14 x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 x13 x9 x14 e*1 e*2 e*3 e*4 e*10 e*11 e*12 e*5 e*6 e*9 e*8 e*7 e*13 e*14

Deux approches pour déterminer la connexité maximale Topologique : par équivalence homotopique suppression itérative de points par rétractions élémentaires sans changement de la topologie -noyau Ensembliste : par examen des intersections des clôtures combinatoire de tout ensemble de n-cellules nombre minimal de k-cellules qui connectent le maximum de n-cellules Support

Exemple d ’extraction d ’un noyau

Exemple de détermination d ’un support

Configuration problématique x1 x4 x5 x6 x2 e*1 e*2 e*5 e*6 e*4 e*3 x3

Ordres et Complexes ”Strongly Normal” complexe SN pur : complexe localement fini l ’intersection des clôtures de tout ensemble de n-cellules est soit vide, soit la clôture d ’une cellule de dimension quelconque. ordre SN: Ordre CF L ’intersection des β-adjacences de tout ensemble de -terminaux est soit vide, soit la β-adjacence d ’un élément quelconque de l ’ordre

Exemple x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 x13 x9 x1 x2 x4 x6 x7 x10

Résultat principal Ox : sous-ensemble de -terminaux d ’un ordre SN OK : sous-ensemble de n-cellules d ’un complexe SN tels que OK = *(OX) -noyau de | β(OX)| = support de OK

" Strong weak lighting functions" Famille de fonctions permettant de formaliser différentes notions de connexité par sélection des cellules/éléments nécessaires valable pour un objet et son complémentaire Propriétés de ces fonctions pour tout objet O les pixels (n-cellules / -terminaux) de O sont sélectionnés seuls les éléments appartenant au support de O / -noyau de |β(O)| peuvent être sélectionnés si un élément est sélectionné pour un objet O, il est sélectionné pour l ’image le choix de sélectionner ou non un élément doit pouvoir se faire localement

Homotopie Transformations préservant la topologie squelettisation… Définition purement discrète sur les ordres suite d ’homotopies élémentaires -homotopie et β-homotopie Transfert sur les complexes -homotopie et -homotopie

Groupe fondamental Invariant algébrique utilisé pour comparer les formes des objets groupe composé des classes d ’équivalence pour la relation d ’homotopie de l ’ensemble des lacets ex : sphère / groupe fondamental trivial (i.e. elle est simplement connexe) Défini par Dominguez par analogie avec le continu construction de chemins et de lacets entre les n-cellules : un chemin de e à e’ est une fonction c d’un intervalle [0,tmax] telle que c(0)=e, c(tmax)=e ’ et c(t) est alternativement une n-cellule et une k-cellule (k < n). Transfert sur les ordres : construction similaire de chemins et de lacets entre -terminaux

Exemple : chemins homotopes sur un objet O

Simplification Définition de points simples : points dont la suppression ne modifie ni la topologie de l ’objet ni celle de son complémentaire Caractérisation de points simples d ’un ordre par Bertrand caractérisation de points simples sur un objet de l ’ordre / du complexe (en cours)

Conclusion

Perspectives Vérification de la cohérence des notions de surface définies sur les ordres et les complexes Comparaison avec d ’autres modèles : cartes… Utilisation des ordres pour de l ’analyse d ’images multirésolution