Giang Ngan Nguyen, Maggy Schneider Université de Liège La subordination de la géométrie à l’algèbre linéaire : analyse de la transposition didactique (3ème partie) Giang Ngan Nguyen, Maggy Schneider Université de Liège

Quelques rappels La géométrie d’Euclide : déductive … en partie, prenant appui sur les définitions opératoires de figures géométriques mais aussi sur des dessins correctement tracés qui attestent de l’existence de points ou de positions relatives de points ou de points et de droites L’absence de nombres réels et donc de mesures est compensée par des configurations géométriques et l’idée de superposition par mouvement : Euclide peut alors traiter de segments égaux et de segments dans un rapport donné

La géométrie vectorielle La géométrie d’Hilbert corrige les défauts de celle d’Euclide grâce aux axiomes de congruence, d’incidence, d’ordre et de continuité La géométrie vectorielle apparaît comme une autre solution jugée plus accessible que la géométrie d’Hilbert Elle correspond aux visées de la réforme des mathématiques visant à initier les élèves aux mathématiques inspirées du structuralisme Elle bénéficiait donc d’une niche écologique porteuse à l’époque des mathématiques modernes mais qu’en est-il aujourd’hui ?

Niches écologiques a priori (Cissé Ba)

Niches écologiques a priori (Cissé Ba)

Le théorème de Varignon Une démonstration vectorielle ni plus ni moins accessible que la démonstration synthétique et, en outre, pas plus efficace

Niches écologiques a priori (Cissé Ba)

Une niche géométrico-algébrique Analyse des enjeux d’un projet d’enseignement dans lequel on cherche à construire un formalisme qui permettrait de démontrer des propriétés de figures géométriques (plan et espace) de manière calculatoire tout en justifiant les bases de ce formalisme au départ de la géométrie d’Euclide connue des élèves

1e situation : le 4e sommet d’un parallélogramme ABCD Calculer les coordonnées de D à partir de celles de A, B et C Variables didactiques : coordonnées entières ou non, négatives ou non

1e situation : le 4e sommet d’un parallélogramme Plusieurs techniques : Équations de droites dont on connaît un point et la pente, résolution d’un système Utiliser 2 fois la formule du milieu d’un segment Exploiter ce que les élèves connaissent des translations Le démontrer via l’isométrie de triangles

Justification au départ de la géométrie synthétique Euclide : Caractérisations parallélogramme Cas d’égalité des triangles La droite numérique comme point de départ La bijection entre points et couples de réels Les longueurs de segments parallèles à un axe

1e situation : le 4e sommet d’un parallélogramme Quel que soit l’ordre des coordonnées des sommets, si ABCD est un parallélogramme non croisé, alors

2e situation : un point P sur une droite AB, deux fois plus éloigné de A que de B Plusieurs techniques : Equation de droite + expression de la distance entre deux points + système Exploitation de triangles semblables Exploitation des vecteurs Projections parallèles sur les axes et exploitation du théorème de Thalès

2e situation : un point P sur une droite AB, deux fois plus éloigné de A que de B

2e situation : un point P sur une droite AB, deux fois plus éloigné de A que de B

Questions à travailler Comment introduire les vecteurs à partir de là ? Quel type de repère ? Quelle géométrie impliquée ? Portée des généralisations ? Comment établir la bijection entre points du plan et couples de réels ?

Application affine et application linéaire

Application affine et application linéaire

Application affine et application linéaire

Application affine et application linéaire

Changement de repère

Changement de repère En comparaison avec (1), on peut constater que l’étude de l’invariance de la forme des expressions algébriques lors d’une transformation affine revient à l’étude d’un changement de repère.

Par conséquent, la pente est changée par un changement de repère.

Isométrie

Isométrie

Isométrie Le formule (4) présente une application affine avec le matrice M orthogonale dont le déterminant vaut 1, alors cette application est une isométrie, c’est-à-dire elle conserve les distances.

Isométrie

Isométrie Par contre, si l’on applique l’application affine présentée par le formule (3), alors elle n’est pas d’isométrie, c’est-à-dire les longueurs sont changés après le changement de repère présenté par (3)

Conclusion  

Pourquoi les vecteurs (et opérations associées) ? Mais quelle entrée en matière pour les élèves ? Souvent, on part des translations et on évoque des questions de trajets dans un plan mais comment définir « sens » et « direction » à ce stade d’étude en dehors de la physique ? Quasiment jamais, on ne dit aux élèves qu’on cherche à exprimer des configurations géométriques et démontrer leurs propriétés de manière symbolique et calculatoire On se situe difficilement entre physique et algèbre linéaire qui est une théorie « multi-sens »

Pourquoi les vecteurs (et opérations associées) ? Annoncer le but : traduire des configurations géométriques au moyen des coordonnées ou vecteurs. Exemples : Parallélogramme ABCD éventuellement « aplati » : B - A = C - D Milieu M d’un segment EF : (E + F) / 2 Que démontre l’équivalence entre B - A = C - D et (D + B) / 2 = (A + C) / 2 ? Une situation fondamentale d’entrée dans cet univers : trouver le 4ème sommet d’un parallélogramme connaissant les 3 autres

Forme d’un déterminant 3 x 3 Partir d’une définition du déterminant de n vecteurs relativement à une base en termes d’image d’une forme n-linéaire alternée Une alternative possible, parmi d’autres, est d’étudier la compatibilité d’un système linéaire de trois équations à deux inconnues : recherche d’un critère général et non pas résolution d’un système

Forme d’un déterminant 3 x 3 D’une écriture « brute » à la nécessité d’une écriture « mnémotechnique »:

Forme d’un déterminant 3 x 3 Intérêt d’un notation indicée : émergence historique des matrices postérieure à celle des déterminants Caractère « multi-sens » de l’annulation d’un déterminant 3 x 3 : Concourance de droites Coplanarité de points Parallélisme d’une droite et d’un plan Positions relatives de trois plans (toutes sauf plans qui ont un seul point commun) Dépendance linéaire de trois vecteurs…

Praxéologie « modélisation » vs praxéologie « déduction » La subordination de la géométrie à l’algèbre linéaire représente une économie de pensée énorme : e.a. les notions d’orthogonalité et de distance prennent un sens plus large et s’étendent aux espaces fonctionnels (distance chez Fréchet) mais cette subordination se paie du prix de définitions absconses et d’une absence d’articulation entre modélisation et déduction

Une remontée de la géométrie analytique à l’algèbre linéaire Eviter la lourdeur des calculs sur les coordonnées Notation « bipoint » vs notation « vecteur »

Une remontée de la géométrie analytique à l’algèbre linéaire « Vecteur : Elément d’un espace vectoriel […] (Exemples: polynôme, matrice carrée, fonction de classe C1 sur R, progression arithmétique, éléments de R2 ou de R3 appelés vecteurs géométriques). […] Pendant longtemps, on appela vecteurs liés des couples de points de R2 (ou des triplets de R3) et vecteurs libres leurs classes modulo l’équipollence. Aujourd’hui la terminologie s’est précisée; les vecteurs liés (qui ne sont pas des vecteurs !) sont désormais appelés bipoints, le mot vecteur étant réservé aux vecteurs libres » (Bouvier et al., Dictionnaire des mathématiques, PUF, 7e édition de 2005)

Une remontée de la géométrie analytique à l’algèbre linéaire Expressions ambiguës ou sujettes à glissement mental dans l’apprentissage : vecteurs liés, vecteurs égaux, vecteurs consécutifs, vecteurs parallèles, … D’où la nécessité de ménager un apprentissage qui permette de voir des triplets de points de manières multiples (coordonnées, variations de position, vecteur directeur, …)

Une remontée de la géométrie analytique à l’algèbre linéaire Ici, les écritures vectorielles sont censées modéliser les écritures paramétriques ou cartésiennes Dans la transposition didactique standard, le passage du vectoriel au paramétrique et au cartésien n’est pas vraiment justifié dans l’enseignement secondaire. Il manque une pièce du montage déductif : Tout espace vectoriel E de dimension finie sur un champ K est isomorphe à l’espace Kn des coordonnées (par rapport à une base donnée de E) On observe une praxéologie « à trous » (Rouy) : on laisse tomber les maillons du schéma déductif qui semblent trop difficiles pour les élèves

Praxéologie « modélisation » vs praxéologie « déduction » Dans une praxéologie « modélisation », les tâches majeures consistent à déterminer des grandeurs, mouvements, objets géométriques, … sur base d’intuitions premières et avec les techniques les plus commodes. Ces techniques servent, en fin de parcours, à définir les objets modélisés Dans une praxéologie « déduction », ces mêmes définitions servent, avec des axiomes bien « choisis », de point de départ à un développement déductif

En résumé CONfigurations géométriques de base en 2D : Parallélogramme, configurations équivalentes de trois points alignés, alignement de points, parallélisme de droites Modélisation en termes de bipoints sous forme de RELATIONS (égalités) Validée sur base de théorèmes de la géométrie élémentaire synthétique

Le travail à faire CONfigurations géométriques 3D : Parallélogramme, configurations équivalentes de trois points alignés, alignement de points, parallélisme de droites, coplanarité de points Modélisation en termes de bipoints sous forme de RELATIONS (égalités), dans un ordre au choix Validation sur base de géométrie élémentaire synthétique 3D avec identification explicite des théorèmes utilisés