Modéliser une situation

Comment en est-on arrivé là ? Aujourd’hui 4x ²+ 3x – 10 = 0 René Descartes Vers 1640 4xx + 3x 10 François Viète Vers 1600 4 in A quad + 3 in A aequatur 10 Simon Stevin Fin XVIe 4 2 + 3 1 egales 10 0 Tartaglia Début XVIe 4q p 3R equale 10N Nicolas Chuquet Fin XVe 4² p 3¹ egault 10º Luca Pacioli Quattro qdrat che gioto agli tre nº facia 10 (traduit par 4 carrés joints à 3 nombres font 10) Diophante IIIe Δʸδ ζγ εστι ι (traduit par inconnue carré 4 et inconnue 3 est 10) Babyloniens et Egyptiens IIe millénaire avant J.C. Problèmes se ramenant à ce genre d’équation.

Notion d’équation 1) Vocabulaire Inconnue Equation c’est une lettre qui cache un nombre cherché → c’est une opération « à trous » dont « les trous » sont remplacés par une inconnue → Equation c’est chercher et trouver le nombre caché sous l’inconnue. Résoudre une équation Solution c’est le nombre caché sous l’inconnue  → Vérification : 10 x 0,625 - 2 = 2 x 0,625 + 3 donc 0,625 est solution.

Exemple : Vérifier si 10 et 14 sont solutions de l’équation On a 4 x (10 - 2) = 32 et 3 x 10 + 6 = 36 Non, 10 n’est pas solution de l’équation  car 32 ≠ 36 ! On a 4 x (14 - 2) = 48 et 3 x 14 + 6 = 48 Oui, 14 est solution de l’équation  car on trouve 48 des deux côtés de l’équation en remplaçant x par 14 !

2) Problème conduisant à une équation Une carte d’abonnement pour le cinéma coûte 10€. Avec cette carte, le prix d’une entrée est de 4€. 1) Calculer le prix à payer pour 2, 3, puis 10 entrées. pour 2 entrées : 10 + 2 x 4 = 18 € pour 3 entrées : 10 + 3 x 4 = 22 € pour 10 entrées : 10 + 10 x 4 = 50 € 2) Soit x le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de x le prix à payer (en comptant l’abonnement). On a 10 + x x 4 soit encore 4x + 10 3) Ecrire l’équation qui permet de trouver le nombre d’entrées quand on dispose d’une somme de 70 €. On a 4x + 10 = 70 Pour une somme de 70€ Prix à payer en fonction de x

II. Résolutions d’équations Les deux règles de résolution Pour résoudre une équation, on peut appliquer les deux règles suivantes : Règle n°1 : On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres d’une équation. Exemple: On a 5 + 2 = 1 + 4 5 + 2 - 1 = 1 + 4 - 1 On enlève « une noire » à chaque membre de l’équation. 4 + 2 = 4

Règle n°2 : On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre non nul. Exemple: On a = 400 grammes ÷ 2 = 400 grammes ÷ 2 On divise par 2 chaque membre de l’équation. = 200 grammes

2) Exemples Résoudre les équations suivantes : Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine +4 à gauche en ajoutant dans chaque membre -4 (Règle n°1 ) On élimine 12 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 12 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est

Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine -13 à gauche en ajoutant dans chaque membre +13 (Règle n°1 ) On élimine -5x à droite en ajoutant dans chaque membre +5x (Règle n°1 ) On élimine 9 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 9 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est