Exercice 7 : (un) est une suite géométrique définie sur N. u5 = 96 ; u8 = 768 Déterminez le 13ème terme.

Exercice 7 : (un) est une suite géométrique définie sur N. u5 = 96 ; u8 = 768 Déterminez le 13ème terme. u8 / u5 = q8-5 donc q3 = 768 / 96 = 8 = 23 donc q = 2 Remarque : xa = b se résout en x = b1/a mais il faudra attendre la Tale pour résoudre des équations du type ax = b La suite est définie sur N = { 0 ; 1 ; 2 ; … } donc le 1er terme est u0, donc le 13ème terme est u12 u12 / u5 = q12-5 donc u12 = u5 q7 = 96 (27) = 12288

Exercice 8 : déterminez le nombre A = 5 + 15 + 45 + … + 295245

Exercice 8 : déterminez le nombre A = 5 + 15 + 45 + … + 295245 A = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un un / un-1 = 3 donc la suite est géométrique, donc A = 1er terme ( 1 – qnb de termes ) / ( 1 – q ) = 5 ( 1 – 3n ) / ( 1 – 3 ) n = ? La suite est géométrique, donc un / um = qn-m donc un = u1 qn-1 donc 295245 = 5 (3n-1) Comme il faut attendre la Terminale pour avoir l’outil permettant de résoudre ce type d’équations où l’inconnue est dans l’exposant, je cherche à la machine le n qui convient ; comme n est un entier, je n’ai pas à prouver l’exactitude du nombre donné par la machine.

Exercice 8 : déterminez le nombre A = 5 + 15 + 45 + … + 295245 A = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un un / un-1 = 3 donc la suite est géométrique, donc A = 1er terme ( 1 – qnb de termes ) / ( 1 – q ) = 5 ( 1 – 3n ) / ( 1 – 3 ) n = ? La suite est géométrique, donc un / um = qn-m donc un = u1 qn-1 donc 295245 = 5 (3n-1) Le seul n qui convient à la calculatrice est n = 11 Je sais que n est un entier, donc le n = 11 trouvé à la machine est une valeur exacte. donc A = 5 ( 1 – 311 ) / ( 1 – 3 ) = 442685

Exercice 9 : Soient deux suites (un) et (vn) définies sur N par : un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 1°) Déterminez leurs 5 premiers termes. Sont-elles arithmétiques ? géométriques ? 2°) Déterminez leur terme général en fonction de n. 3°) Déduisez-en leurs sens de variation, leurs limites, et la somme de leurs n premiers termes.

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 1°) Déterminez leurs 5 premiers termes. u0 = 1 u1 = 2 u0 – 5 = 2(1) – 5 = - 3 u2 = 2 u1 – 5 = 2(-3) – 5 = - 11 Même méthode : on obtient u3 = - 27 u4 = - 59 v0 = 5 – u0 = 5 – 1 = 4 v1 = 5 – u1 = 5 – (-3) = 8 v2 = 5 – u2 = 5 – (-11) = 16 Même méthode : on obtient v3 = 32 v4 = 64 n 1 2 3 4 un - 3 - 11 - 27 - 59 vn 8 16 32 64

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 1°) Sont elles arithmétiques ? géométriques ? un+1 – un - 4 - 8 - 16 - 32 L’écart n’est pas constant entre les termes voisins, la suite n’est pas arithmétique. un+1 / un - 3 11/3 27/11 59/27 Le rapport n’est pas constant entre les termes voisins, la suite n’est pas géométrique. n 1 2 3 4 un - 3 - 11 - 27 - 59

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 1°) Sont elles arithmétiques ? géométriques ? vn+1 – vn 4 8 16 32 L’écart n’est pas constant entre les termes voisins, la suite n’est pas arithmétique. vn+1 / vn 2 2 2 2 Le rapport semble constant entre tous les termes voisins, la suite semble géométrique. n 1 2 3 4 vn 8 16 32 64

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un vn+1 / vn = 2 pour tous les n, 1°) Sont elles arithmétiques ? géométriques ? vn+1 A-t-on = 2 pour tous les n ? On suppose que vn ≠ 0 et un ≠ 5 pour tout n. vn vn+1 5 – un+1 5 – ( 2 un – 5 ) 5 – 2 un + 5 10 – 2 un 2 ( 5 – un ) = = = = = = 2 vn 5 - un 5 - un 5 - un 5 - un 5 - un vn+1 / vn = 2 pour tous les n, donc la suite est géométrique.

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 2°) Déterminez leur terme général en fonction de n. La suite (un) n’est ni arithmétique ni géométrique, donc il n’y a pas de relation entre n’importe quels termes de la suite. La suite (vn) est géométrique, donc vn = v0 × qn vn = 4 × 2n

Réponses : un = 5 - 4 × 2n et vn = 4 × 2n un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 2°) Déterminez leur terme général en fonction de n. La suite (un) n’est ni arithmétique ni géométrique, donc il n’y a pas de relation entre n’importe quels termes de la suite. La suite (vn) est géométrique, donc vn = v0 × qn vn = 4 × 2n vn = 5 - un donc vn + un = 5 donc un = 5 - vn = 5 - 4 × 2n Réponses : un = 5 - 4 × 2n et vn = 4 × 2n

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un un = 5 - 4 × 2n et vn = 4 × 2n 3°) Déduisez-en leurs sens de variation, leurs limites, un = 5 - 4 × 2n et vn = 4 × 2n La suite (vn) est géométrique de raison q > 1 et de 1er terme positif donc elle est strictement croissante. q > 1 et u0 > 0 hypothèse du cours

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un un = 5 - 4 × 2n et vn = 4 × 2n 3°) Déduisez-en leurs sens de variation, leurs limites, un = 5 - 4 × 2n et vn = 4 × 2n La suite (vn) est géométrique de raison q > 1 et de 1er terme positif donc elle est strictement croissante. q > 1 et u0 > 0 hypothèse du cours q > 1 mais u0 < 0

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un un = 5 - 4 × 2n et vn = 4 × 2n 3°) Déduisez-en leurs sens de variation, leurs limites, un = 5 - 4 × 2n et vn = 4 × 2n La suite (vn) est géométrique de raison q > 1 et de 1er terme positif donc elle est strictement croissante. vn = 5 - un donc un = - vn + 5 La suite -(vn) est strictement décroissante, donc la suite (un) est strictement décroissante.

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 3°) Déduisez-en leurs sens de variation, leurs limites, un = 5 - 4 × 2n et vn = 4 × 2n On peut aussi le démontrer par un+1 - un < 0 : un+1 - un = (5 - 4×2n+1 ) - (5 - 4×2n ) = 5 - 4×2n+1 - 5 + 4×2n = - 4×2n21 + 4×2n = - 4×2n+1 + 4×2n = 4×2n ( - 2 + 1 ) = - 4 × 2n < 0 Remarque : il faudra attendre la Terminale pour déterminer le sens de variation d’une fonction du type f(x) = 5 - 4×2x

donc la suite (un) a pour limite - ∞. un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 3°) Déduisez-en leurs sens de variation, leurs limites, un = 5 - 4 × 2n et vn = 4 × 2n La suite (vn) est géométrique de raison q > 1 et de 1er terme positif, donc sa limite est + ∞. vn = 5 - un donc un = 5 - vn donc la suite (un) a pour limite - ∞.

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 3°) et la somme de leurs n premiers termes. S = v0 + v1 + v2 + … + vn-1

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 3°) et la somme de leurs n premiers termes. S = v0 + v1 + v2 + … + vn-1 La suite (vn) est géométrique 1 – qnb de termes 1 – qn 1 – 2n donc S = 1er terme = v0 = 4 = 4 ( 2n – 1 ) = 2n+2 – 4 1 – q 1 – q 1 – 2

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 3°) et la somme de leurs n premiers termes. S = v0 + v1 + v2 + … + vn-1 La suite (vn) est géométrique 1 – qnb de termes 1 – qn 1 – 2n donc S = 1er terme = v0 = 4 = 4 ( 2n – 1 ) = 2n+2 – 4 1 – q 1 – q 1 – 2 vérif : S = 4 + 8 + 16 + 32 = 60 et 24+2 – 4 = 64 – 4 = 60

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 3°) et la somme de leurs n premiers termes. S = v0 + v1 + v2 + … + vn-1 La suite (vn) est géométrique 1 – qnb de termes 1 – qn 1 – 2n donc S = 1er terme = v0 = 4 = 4 ( 2n – 1 ) = 2n+2 – 4 1 – q 1 – q 1 – 2 vérif : S = 4 + 8 + 16 + 32 = 60 et 24+2 – 4 = 64 – 4 = 60 s = u0 + u1 + u2 + … + un-1 = …

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 3°) et la somme de leurs n premiers termes. S = v0 + v1 + v2 + … + vn-1 La suite (vn) est géométrique 1 – qnb de termes 1 – qn 1 – 2n donc S = 1er terme = v0 = 4 = 4 ( 2n – 1 ) = 2n+2 – 4 1 – q 1 – q 1 – 2 vérif : S = 4 + 8 + 16 + 32 = 60 et 24+2 – 4 = 64 – 4 = 60 s = u0 + u1 + u2 + … + un-1 = (5 - v0) + (5 – v1) + (5 – v2) + … + (5 – vn-1) = ( 5 + 5 + 5 + … + 5 ) – ( v0 + v1 + v2 + … + vn-1 ) = 5n – S = 5n – (2n+2 – 4) = 5n – 2n+2 + 4

un+1 = 2 un – 5 u0 = 1 vn = 5 - un 3°) et la somme de leurs n premiers termes. S = v0 + v1 + v2 + … + vn-1 La suite (vn) est géométrique 1 – qnb de termes 1 – qn 1 – 2n donc S = 1er terme = v0 = 4 = 4 ( 2n – 1 ) = 2n+2 – 4 1 – q 1 – q 1 – 2 vérif : S = 4 + 8 + 16 + 32 = 60 et 24+2 – 4 = 64 – 4 = 60 s = u0 + u1 + u2 + … + un-1 = (5 - v0) + (5 – v1) + (5 – v2) + … + (5 – vn-1) = ( 5 + 5 + 5 + … + 5 ) – ( v0 + v1 + v2 + … + vn-1 ) = 5n – S = 5n – (2n+2 – 4) = 5n – 2n+2 + 4 vérif : S = 1 + (-3 )+ (-11) + (-27) = - 40 et 5(4) – 24+2 + 4 = 20 - 64 + 4 = - 40