par les CM2 de Philippe Roux Camille Claudel Bruges MATH EN 3B 2009-2010 oui ça pique PICK… par les CM2 de Philippe Roux Camille Claudel Bruges par les CM2 de Philippe Roux Camille Claudel Bruges

Le problème de M. Pick est de trouver l’aire d’un polygone à partir du nombre de clous en contact avec l’élastique et du nombre de clous à l’intérieur du polygone.

Un polygone est une figure plane fermée dont tous les côté sont des segments

Donc le problème de M. Pick est de trouver l’aire d’un polygone (carrés) à partir du nombre de clous en contact avec l’élastique et du nombre de clous à l’intérieur du polygone. Pour le triangle vert : 8 clous en contact avec l’élastique et 1 à l’intérieur. Pour le triangle rouge : 3 clous en contact avec l’élastique et 2 à l’intérieur. Pour le quadrilatère bleu  : 5 clous en contact avec l’élastique et 7 à l’intérieur.

La consigne était donc de trouver une formule mathématique…

En premier nous avons réalisé des polygones sans clous à l’intérieur… Aire du polygone orange Clous en contact 5 carrés 12 clous Aire du polygone vert Clous en contact 8 carrés 18 clous

nous avons réalisé plein d’autres polygones… C 0,5 3 1 4 1,5 5 2 6 2,5 7 8 3,5 9 10 4,5 11 12 etc. Voici nos observations notées dans le tableau  A= aire C= clous en contact avec l’élastique

et nous avons trouvé ces 2 formules : A= aire C= clous en contact avec l’élastique et nous avons trouvé ces 2 formules : C C – 2 A = ––– – 1 ou A = ––––––– 2 2 A= 12 / 2 – 1= 6 - 1 = 5 A= 18 / 2 – 1= 9 - 1 = 8

Ensuite on a réalisé des polygones avec des clous à l’intérieur… Aire polygone vert Clous en contact Clous à l’intérieur 16 carrés 14 clous 10 clous Aire polygone orange Clous en contact Clous à l’intérieur 10 carrés 12 clous 5 clous

et nous avons trouvé 2 nouvelles formules A= aire C= clous en contact avec l’élastique I = clous à l’intérieur et nous avons trouvé 2 nouvelles formules C C – 2 A = ––– – 1 + I ou A = ––––––– + I 2 2 A = 14 / 2 - 1 + 10 = 7 – 1 + 10 = 16 A= 12 / 2 – 1 + 5 = 6 -1 + 5 = 10

Après avoir encore réfléchi on a fini par trouver que les 2 formules sans clous à l’intérieur étaient égales car : C – 2 C 2 A = –––––– = –– – –– 2 2 2 C = –– – 1 2 et donc on a choisi celle-ci…

Après avoir un peu plus réfléchi encore, on a fini par trouver que les 2 formules avec clous à l’intérieur étaient les mêmes : C – 2 C 2 A = ––––––– + I = –– – –– + I 2 2 2 C = –– – 1 + I 2 et donc on a choisi celle-ci aussi …

ce qui nous faisait… deux formules au lieu de quatre : une sans clous à l’intérieur et une avec clous… C C –– – 1 et –– – 1 + I 2 2 sans et avec

Après avoir encore plus réfléchi … on a fini par comprendre qu’il n’y avait qu’une seule formule qui marchait à tous les coups : C A = –– – 1 + I 2 car I = 0 s’il n’y a pas de clous à l’intérieur… bien évidemment…

vous pouvez vérifier, ça marche à tous les coups… Magique. Non vous pouvez vérifier, ça marche à tous les coups… Magique ? Non ! Logique… Clous en contact Clous à l’intérieur Aire triangle vert  8 1 8/2 - 1 + 1 = 4 triangle rouge 3 2 3/2 -1 + 2 = 2,5 quadrilatère bleu 5 7 5/2 – 1+7 = 8,5 Pour le triangle vert : 8 clous en contact avec l’élastique, et 1 à l’intérieur. Pour le triangle rouge : 3 clous en contact avec l’élastique et 2 à l’intérieur. Pour le quadrilatère bleu  : 5 clous en contact avec l’élastique et 7 à l’intérieur.

à vous … C A = –– – 1 + I 2 A= aire C= clous en contact avec l’élastique I = clous à l’intérieur 16

la petite info… Georg Alexander PICK Sur Internet, Adrien a cherché qui avait inventé ce problème et a découvert que c’était Georg Alexander PICK Né à Vienne le 10 août 1859, il étudie les mathématiques et la physique à l'université de Vienne de 1875 à 1879 et obtient, en 1880, le grade de Docteur de l'université de Vienne. En 1888, il est Professeur de mathématiques à l'université allemande de Prague. En 1942, il est déporté parce que juif et meurt le 26 juillet 1942 dans un camp de concentration en Allemagne…

Nous espérons que notre exposé a été à peu près clair… … et sommes prêts à répondre maintenant à vos questions…