Les plans de mélange Les plans d’expérience : Présentée par : HAFIDI Sofia LAHSAINI Hanae Encadré par: M.Khaled LAHLOU 2012 1

Plan Plans d’expériences: définition et objectifs Plans de mélange: Caractérisation des plans de mélange Représentation géométrique des mélanges Modélisation mathématique Etude de cas 2

un problème multiparamétrique et multicritère Plans d’éxpériences: définition et objectifs Constituant 3 Constituant 2 Constituant 1 Réponse un problème multiparamétrique et multicritère 2012 3

Plan d’expérience Démarche classique Plan d’expérience sécurisante Faire varier un seul facteur à la fois sécurisante sécurisante pour certains, est d’une efficacité assez limitée. En effet, elle exige souvent un nombre plus important d’essais pour des résultats parfois très médiocres efficacité assez limitée résultats parfois pas très fiables 2012 4

Un maximum de renseignements avec un minimum d’expériences Démarche classique Plan d’expérience structurer planifier plan d’expériences Un maximum de renseignements avec un minimum d’expériences 2012 5

Caractérisation des plans de mélange La somme des teneurs de tous les constituants du mélange satisfait la relation: Les représentations géométriques des plans de mélanges sont différentes de celles utilisées pour les plans d'expériences classiques et les modèles mathématiques sont eux aussi profondément modifiés. Contrainte fondamentale des mélanges 6

Représentation géométrique des mélanges Plans de mélange Représentation géométrique des mélanges Si c supérieur à 4 on utilise des tableaux Cas de 3 constituants Cas de 4 constituants 7

Autres types de contraintes Plans de mélange Autres types de contraintes Basses teneurs interdites Hautes teneurs interdites Contrainte de somme constante Contrainte de rapport constant 8

Modélisation mathématique Plans de mélange Modélisation mathématique Cas général (plans d’expérience) On choisit a priori une fonction mathématique qui relie la réponse aux facteurs. On prend un développement limité de la série de Taylor-Mac Laurin. Les dérivées sont supposées constantes et le développement prend la forme d'un polynôme de degré plus ou moins élevé : • y est la réponse ou la grandeur d'intérêt. Elle est mesurée au cours de l'expérimentation et elle est obtenue avec une précision donnée. • x représente le niveau attribué au facteur i par l'expérimentateur pour réaliser un essai. Cette valeur est parfaitement connue. On suppose même que ce niveau est déterminé sans erreur (hypothèse classique de la régression). • a0, ai , aij , a ii sont les coefficients du modèle mathématique adopté a priori. Ils ne sont pas connus et doivent être calculés à partir des résultats des expériences. L'intérêt de modéliser la réponse par un polynôme est de pouvoir calculer ensuite toutes les réponses du domaine d'étude sans être obligé de faire les expériences. Deux compléments doivent être apportés au modèle précédemment décrit. Le premier complément est le "manque d'ajustement". Cette expression traduit le fait que le modèle a priori est fort probablement différent du modèle réel qui régit le phénomène étudié. Il y a un écart entre ces deux modèles. Cet écart est le manque d'ajustement ( lack of fit en anglais). Le second complément est la prise en compte de la nature aléatoire de la réponse.En effet, si l'on mesure plusieurs fois une réponse en un même point expérimental,on n'obtient pas exactement le même résultat. Les résultats sont dispersés. Les dispersions ainsi constatées sont appelées erreurs expérimentales. Ces deux écarts, manque d'ajustement et erreur expérimentale, sont souvent réunis dans un seul écart, notée e. Le modèle utilisé par l'expérimentateur s'écrit alors : 9

Modélisation mathématique Plans de mélange Modélisation mathématique Cas particulier (plans de mélange) Pour trois composants, le modèle du premier degré est: et pour le second degré : 1 er degré: quand on ne soupçonne aucune interaction de l’effet de la concentration de chaque composant sur chacun des autres composants (rare). 2eme degré: -on soupçonne la présence d’interactions de tout ou partie des composants sur chacun des autres composants, - la validité d’un modèle du 1er degré n’est pas établie. 10

Etude de cas : coulis d’injection à base de ciment 4

Ciment Eau Adjuvant Etude de cas : coulis d’injection à base de ciment PLAN DE MELANGE mélanges à paramètres nombreux Nombre élevé d’essais Ciment Eau Adjuvant Ciment+Eau+Adjuvant=1 2012 12

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Etude de cas : coulis d’injection à base de ciment Viscosité ≤ 35 s Décantation ≤ 5 % Résistance en compression à 28 j supérieure à 20 MPa 17

Bibliographie: www.wikipidea.org.fr Séminaire sur les coulis d’injection Organisé par DAH, LPEE, EHTP et Ciments du Maroc Rabat le 08/02/07 Démarche de formulation et d’optimisation des coulis d’injection à base de ciment Par K. Lahlou (EHTP), M. Boufous (CIMAR) et A. Bouda (CIMAR). LES PLANS D’EXPERIENCE / Jacques GOUPY . 2012 18

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