Les Plans d’expériences: Plans Factoriels Réalisé par: ABBOU Zakaria Encadré par : Mr.Lahlou ETTAZY Yassine Année:2012/2013

Plan Introduction Plans factoriels Exemple: cas du béton

Introduction les plans d'expériences: Suite ordonnée d'essais d'une expérimentation à partir du contrôle d’un ou plusieurs paramètres d'entrée. Consiste à obtenir le maximum de renseignements avec le minimum d'expériences

Parmi les différents plans expérimentaux, les plans factoriels sont courants car ils sont les plus simples à mettre en œuvre et ils permettent de mettre en évidence très rapidement l'existence d'interactions entre les paramètres d’entrée. Nous intéressons dans notre cas à ce type du plan expérimental.

LES PLANS FACTORIELS

Vocabulaire de base des plans factoriels Réponse: une grandeur que l’expérimentateur mesure à chaque essai. Facteur: Toute variable susceptible d’influer sur la réponse d’un système lorsque celle-ci tend à changer la valeur. Niveau:La valeur donnée à un facteur pour réaliser un essai.

Nombre d’essais optimisé facteurs Plan factoriel Réponses Nombre d’essais optimisé

Notion d'espace expérimental Le niveau bas du facteur est noté par - 1 et le niveau haut par +1. Le domaine de variation du facteur est constitué de toutes les valeurs comprises entre le niveau bas et le niveau haut.

Chaque facteur est représenté par un axe gradué et orienté Chaque facteur est représenté par un axe gradué et orienté. Les axes des facteurs sont orthogonaux entre eux. L'espace ainsi défini est l'espace expérimental Dans l'espace expérimental, les niveaux des facteurs définissent des points expérimentaux

Notion de surface de réponse : Les réponses associées aux points du domaine d'étude forment la surface de réponse. Les quelques réponses mesurées aux points du plan d'expériences permettent de calculer l'équation de la surface de réponses. On cherche à obtenir la meilleure précision possible sur la surface de réponse tout en limitant le nombre d’expériences.

Notion de modélisation mathématique La fonction mathématique qui relie la réponse aux facteurs est: y est la réponse ou la grandeur d'intérêt. xi représente le niveau attribué au facteur a0, ai, aij, aii sont les coefficients du modèle mathématique. Il faut ajouter un terme tenant compte de la nature aléatoire de la réponse.

Démarche Modélisation Postuler un modèle mathématique Plan d’expérience Définir une série d’essais permettant d’identifier les coefficients du modèle expérimentation Faire les essais et interpréter

Types des plans factoriels Plan factoriel Plans factoriels complets à deux niveaux Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux

Plans factoriels complets à deux niveaux essais k facteurs 2 niveaux par facteur Or, Pour seulement 7 facteurs, il faudrait exécuter 128 essais

Les plans factoriels fractionnaires Pour des raisons de coût et/ou de temps on adopte une deuxième méthode: On n'effectue dans l'expérimentation qu'une fraction des essais du plan complet Le plan fractionnaire, moitié du plan complet possède ½ × 2k ou 2k-1 essais

Exemples: cas du béton %Sable %Gravier E/C L’étude des propriétés du béton demande un nombre d’essai considérable vue la diversité des paramètres influençant son comportement: E/C %Sable %Gravier La résistance du béton

Exemples: cas du béton Facteurs Niveau 1 Niveau 2 E/C 0.3 0.6 Dmax 16 25 Plastifiant Sans Avec Réponse Affaissement

Exemples: cas du béton Le modèle mathématique de la réponse d'un plan factoriel à 3 facteurs comporte 8 coefficients: La forme matricielle s’écrit : AX=Y

Exemples: cas du béton 1 -1 H1 2 H2 3 H3 4 H4 5 H5 6 H6 7 H7 8 H8 Expérience E/C (X1) Dmax (X2) Plastifiant (X3) X1*X2 X1*X3 X2*X3 X1*X2*X3 Affaissement 1 -1 H1 2 H2 3 H3 4 H4 5 H5 6 H6 7 H7 8 H8

Exemples: cas du béton On obtient le système suivant: H1= a0+a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123 H2= a0+a1+a2-a3+a12-a13-a23-a123 H3= a0+a1-a2-a3-a12+a13-a23+a123 H4= a0+a1-a2+a3-a12-a13+a23-a123 H5= a0-a1+a2+a3+-a12+a13-a23-a123 H6= a0-a1-a2+a3+a12-a13-a23+a123 H7= a0-a1+a2-a3-a12-a13+a23+a123 H8= a0-a1-a2-a3+a12+a13+a23-a123

Exemples: cas du béton La résolution du système donne: a0=1/8*(H1+H2+H3+H4+H5+H6+H7+H8) a1=1/8*(-H1+H2-H3+H4-H5+H6-H7+H8) a2=1/8*(-H1-H2+H3+H4-H5-H6+H7+H8) a3=1/8*(-H1-H2-H3-H4+H5+H6+H7+H8) a12=1/8*(H1-H2-H3+H4+H5-H6-H7+H8) a13=1/8*(H1-H2+H3-H4-H5+H6-H7+H8) a23=1/8*(H1+H2-H3-H4-H5-H6+H7+H8) a123=1/8*(-H1+H2+H3-H4+H5-H6-H7+H8)

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Economiser le coût et l’argent. Conclusion Plans factoriels Règles mathématiques et en adoptant une démarche rigoureuse en minimisant le nombre des essais Economiser le coût et l’argent.

Bibliographie Introduction aux plans d'expérience, Jacques Goupy et Lee Creighton, Dunod/L'usine nouvelle, 2006. http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_d'exp%C3%A9rience