Exercice 7 Déterminez en quels points des courbes des fonctions définies sur R par f(x) = 2x² + 12x – 2 et g(x) = - 3x² + 6x – 5 les tangentes respectives sont confondues. Déterminez leurs équations réduites. Faites préalablement une recherche graphique.

Recherche graphique : f(x) = 2x² + 12x – 2 Fonction polynomiale de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 2 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. f(0) = - 2 < 0 et a > 0 donc elle va couper l’axe des abscisses en deux points. Axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 12 / (2(2)) = - 3

g(x) = - 3x² + 6x – 5 Fonction polynomiale de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 3 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. f(0) = - 5 < 0 et a < 0 donc on ne peut savoir si elle va couper l’axe des abscisses, ∆ = (6)² - 4(-3)(-5) = 36 – 60 = - 24 < 0 donc elle ne coupe pas l’axe des x . Axe de symétrie d’équation x = - b/(2a) = - 6 / (2(-3)) = 1

On a donc les courbes des deux fonctions : f g

Recherche graphique de tangentes :

On a donc 2 tangentes communes en 2 couplets de points A et B des courbes respectives de f et g : f A2 A1 B1 B2 g

Détermination algébrique : Soit M( x ; y ) un point quelconque de la tangente à la courbe de f en un point A d’abscisse a. M est quelconque, donc il est représentatif de tous les points de la tangente. yM – yA y – f(a) Coeff. directeur de la droite (AM) = f’(a) = xM – xA x – a Qui donne y = f’(a) x + f(a) – a f’(a)

y = f’(a) x + f(a) – a f’(a) Même méthode pour les tangentes à la courbe de g en un point B d’abscisse b : y = g’(b) x + g(b) – b g’(b)

y = f’(a) x + f(a) – a f’(a) Même méthode pour les tangentes à la courbe de g en un point B d’abscisse b : y = g’(b) x + g(b) – b g’(b) Les tangentes sont confondues, donc Elles ont même coefficient directeur f’(a) = g’(b) Et même ordonnée à l’origine f(a) – a f’(a) = g(b) – b g’(b)

Les deux tangentes en A et B sont confondues Donc Elles ont même coefficient directeur f’(a) = g’(b) Et même ordonnée à l’origine f(a) – a f’(a) = g(b) – b g’(b) f’(x) = ( 2x² + 12x – 2)’ = 4x + 12 g’(x) = ( - 3x² + 6x – 5 )’ = - 6x + 6

Les deux tangentes en A et B sont confondues Donc Elles ont même coefficient directeur f’(a) = g’(b) 4a + 12 = - 6b + 6 Et même ordonnée à l’origine f(a) – a f’(a) = g(b) – b g’(b) (2a² + 12a – 2) – a ( 4a + 12 ) = (- 3b ² + 6b – 5) – b ( - 6b + 6 ) f’(x) = ( 2x² + 12x – 2 )’ = 4x + 12 g’(x) = ( - 3x² + 6x – 5 )’ = - 6x + 6 Système à résoudre !

Les deux tangentes en A et B sont confondues même coefficient directeur f’(a) = g’(b) même ordonnée à l’origine f(a) – a f’(a) = g(b) – b g’(b) 4a + 12 = - 6b + 6 (2a² + 12a – 2) – a (4a + 12) = (- 3b ² + 6b – 5) – b (- 6b + 6) - 2a² – 2 = 3b ² – 5

Résolution - 2a² – 2 = 3b² – 5 4a + 12 = - 6b + 6 C’est un système de 2 équations à 2 inconnues, mais les équations ne sont pas linéaires. On ne peut donc le résoudre par combinaison. Par substitution, on partira de l’équation signifiant l’égalité des coefficients directeurs, car l’autre équation ne permet pas d’exprimer une inconnue en fonction de l’autre avec une seule relation, à cause du carré.

Résolution 4a + 12 = - 6b + 6 - 2a² – 2 = 3b² – 5 1ère équation : 4 2 2

La 2ème équation - 2a² – 2 = 3b² – 5 devient : - 3 3 ² 2 b – – 2 = 3b² – 5 2 2 9 9 9 2 b² + b + – 2 = 3b² – 5 4 2 4

La 2ème équation - 2a² – 2 = 3b² – 5 devient : - 3 3 ² 2 b – – 2 = 3b² – 5 2 2 9 9 - b² - 9 b - – 2 = 3b² – 5 2 2

La 2ème équation - 2a² – 2 = 3b² – 5 devient : - 3 3 ² 2 b – – 2 = 3b² – 5 2 2 15 3 - b² - 9 b - = 0 2 2

La 2ème équation - 2a² – 2 = 3b² – 5 devient : - 3 3 ² 2 b – – 2 = 3b² – 5 2 2 15 3 - b² - 9 b - = 0 - 15b² - 18b - 3 = 0 2 2

La 2ème équation - 2a² – 2 = 3b² – 5 devient : - 3 3 ² 2 b – – 2 = 3b² – 5 2 2 15 3 - b² - 9 b - = 0 - 15b² - 18b - 3 = 0 2 2 15b + 18b + 3 = 0

La 2ème équation - 2a² – 2 = 3b² – 5 devient : - 3 3 ² 2 b – – 2 = 3b² – 5 2 2 15 3 - b² - 9 b - = 0 - 15b² - 18b - 3 = 0 2 2 15b + 18b + 3 = 0 5b² + 6b + 1 = 0

5b² + 6b + 1 = 0 ∆ = (6)² - 4(5)(1) = 36 – 20 = 16 = 4² ∆ = 4² donc deux racines b1 = ( - 6 + 4 ) / ( 2(5) ) = - 2 / (10) = - 1/5 et b2 = ( - 6 - 4 ) / ( 2(-5) ) = - 10 / (10) = - 1 On reprend l’équation n° 1 : a = (- 3/2)b – (3/2) Pour en déduire les inconnues a1 et a2 correspondantes : a1 = (- 3/2)b1 – (3/2) = (- 3/2)(- 1/5) – (3/2) = (3/10) – (3/2) = (3/10) – (15/10) = - 12/10 = - 6/5 a2 = (- 3/2)b2 – (3/2) = (- 3/2)(- 1) – (3/2) = (3/2) – (3/2) = 0

En A à la courbe de f : y = f’(a) x + f(a) – a f’(a) On a donc 2 couplets de points ( A ; B ) d’abscisses ( a ; b ) = ( - 6/5 ; - 1/5 ) et ( a ; b ) = ( 0 ; - 1 ), dont les tangentes respectivement sur les courbes de f et g sont confondues. Equation de ces tangentes : On reprend les équations du début de l’exercice : En A à la courbe de f : y = f’(a) x + f(a) – a f’(a) y = ( 4a + 12 ) x + ( - 2a² - 2 ) En B à la courbe de g : y = g’(b) x + g(b) – b g’(b) y = ( - 6b + 6 ) x + ( 3 b² - 5 )

avec leurs simplifications pour gagner du temps de détermination des images de a et b par les fonctions f’, f, et g’, g : y = ( 4a + 12 ) x + ( - 2a² - 2 ) y = ( - 6b + 6 ) x + ( 3 b² - 5 ) On remplace a et b par leur valeur numérique : 1er couplet de points ( a ; b ) = ( - 6/5 ; - 1/5 ) : y = ( 4(- 6/5) + 12 ) x + ( - 2 (- 6/5)² - 2 ) y = ( - 6(- 1/5) + 6 ) x + ( 3 (- 1/5)² - 5 )

avec leurs simplifications pour gagner du temps de détermination des images de a et b par les fonctions f’, f, et g’, g : y = ( 4a + 12 ) x + ( - 2a² - 2 ) y = ( - 6b + 6 ) x + ( 3 b² - 5 ) On remplace a et b par leur valeur numérique : 1er couplet de points ( a ; b ) = ( - 6/5 ; - 1/5 ) : y = ( 4(- 6/5) + 12 ) x + ( - 2 (- 6/5)² - 2 ) = (36/5) x - (122/25) y = ( - 6(- 1/5) + 6 ) x + ( 3 (- 1/5)² - 5 ) = (36/5) x - (122/25)

1er couplet de points ( a ; b ) = ( - 6/5 ; - 1/5 ) : y = ( 4(- 6/5) + 12 ) x + ( - 2 (- 6/5)² - 2 ) = (36/5) x - (122/25) y = ( - 6(- 1/5) + 6 ) x + ( 3 (- 1/5)² - 5 ) = (36/5) x - (122/25) 2ème couplet de points ( a ; b ) = ( 0 ; - 1 ) : y = ( 4(0) + 12 ) x + ( - 2 (0)² - 2 ) = 12 x - 2 y = ( - 6(- 1) + 6 ) x + ( 3 (- 1)² - 5 ) = 12 x - 2

Réponses : La tangente à la courbe de f en A d’abscisse – 6/5, et la tangente à la courbe de g en B d’abscisse – 1/5, sont confondues, et ont pour équation y = (36/5)x – (122/5) La tangente à la courbe de f en A d’abscisse 0, et la tangente à la courbe de g en B d’abscisse – 1, et ont pour équation y = 12x – 2

Résumé de la méthode : Equation des deux tangentes à la courbe de f en A, et à la courbe de g en B ( a et b inconnus ). 2) Mêmes coefficients directeurs, et mêmes ordonnées à l’origine. 3) Résolution algébrique pour déterminer a et b. 4) Equations des deux tangentes ( idem étape 1 mais a et b connus ).