La relation beta du MEDAF Le portefeuille de marché (M) est efficient au sens de Markovitz. Il est donc sur la frontière efficiente purement risquée ( dans le plan On peut calculer la pente de la tangente à la frontière efficiente purement risquée en ce point: Imaginons que l’on forme un portefeuille constitué d’un des titres risqués i en pourcentage d’investissement et du portefeuille de marché ( en pourcentage (1- )). Le rendement du portefeuille P résultant vérifie alors :
Des expressions précédentes, on déduit: Le titre i est, à l’équilibre ( de marché), détenu dans le portefeuille de marché, à un pourcentage optimal. La demande excédentaire du titre i (en pourcentage α) doit donc être nulle. Les dérivées calculées ci-dessus ont alors pour valeur ( calculéses pour α=0):
On obtient la pente de la tangente en M à la frontière efficiente en écrivant:
La frontière efficiente purement risquée est tangente en M à la frontière efficiente établie en présence d’un titre sans risque (admis ici) La pente calculée précédemment doit donc être égale à la pente de la droite, c’est-à-dire à la performance de Sharpe de l’ensemble des titres risqués échangés sur le marché Cette dernière performance est aussi la performance de Sharpe du portefeuille de marché, ((et d’ailleurs celle de tout portefeuille efficient) d’où, finalement: D’où la relation beta:
Remarque: la performance de Sharpe du portefeuille de marché , et également celle de n’importe quel portefeuille ( purement risqué) efficient est égale à la performance de Sharpe de l’ensemble des titres risqués
Si on considère la régression du rendement net d’un titre i quelconque sur le rendement net du portefeuille de marché: Si La relation beta est vérifiée, la constante de la régression doit donc être nulle. En pratique, on teste la validité du MEDAF sur les données, en testant la nullité des constantes dans les régressions pour tous les titres i.