1 COURBES B-SPLINE Bézier B-Spline Hearn & Baker, Computer Graphics with OpenGL. Prentice-Hall, 2004, chapitre 8.

2 Courbes B-Spline Avantages recherchés : Le degré d’une courbe polynomiale B-Spline ne dépend pas du nombre de points de contrôle (sous certaines restrictions). Une courbe B-Spline permet un contrôle local sur la courbe. Un type de courbe souple et utile mais difficile à comprendre sur le plan intuitif. Hearn & Baker, Computer Graphics. 1994, p On peut modifier la forme de la courbe en ajoutant ou modifiant des points de contrôle.

3 Définition générale Soit1si u  [u k, u k+1 ] B k,1 (u) = 0sinon (u - u k ) B k,d-1 (u) + (u k+d - u) B k+1,d-1 (u), (u k+d-1 - u k ) (u k+d - u k+1 ) u  [u k, u k+d ], 0sinon alors une courbe B-Spline de degré d est de la forme suivante: P(u) = ∑B k,d (u) P k u  [u d-1, u n+1 ],2  d  n + 1 k = 0,1,2,..., n avec n + 1 points de contrôle P 0, P 1, P 2, …, P n. La courbe polynomiale est de degré d – 1 et continue d’ordre d – 2. L’espace paramétrique u est divisé en n + d sous-intervalles où u 0, u 1, …, u n+d.sont les points de rupture. B k,d (u) = Chaque portion de la courbe P(u) dans [u d+i-1, u d+i ], i = 0, 1, …, n+1-d est touchée par d points de contrôle : P i, P i+1, P i+2, …, P i+d-1.

Propriétés ∑B k,d (u) = 1 u  [u d-1, u n+1 ] k = 0,1,2,..., n Cette courbe fait partie de l’enveloppe convexe d’au plus d + 1 points de contrôle. Comment fixer les points de rupture ? 1. Aucune restriction à l’exception que u j  u j+1  j. 2. B-Spline uniforme : u j+1 - u j = une constante c  j. Les fonctions B k,d (u) sont périodiques : B k,d (u) = B k+1,d (u + c) 3. B-Spline passant par P 0 et P n : u j+1 - u j = une constante c  j, sauf u 0 = u 1 = u 2 = … = u d-1 u n+1 = u n+2 = u n+3 = … = u n+d.

5 Courbe B-Spline quadratique uniforme d = 3,n = 2,P 0, P 1 et P 2 P(u) = ∑B k,3 (u) P k u  [u 2, u 3 ] k = 0,1,2 En posant u 2 = 0, u 3 = 1, c = 1, on obtient : P(u) = ½ (1 – u) 2 P 0 + ½ {1 + 2u – 2u 2 } P 1 + ½ u 2 P 2, u  [0, 1] P(0) P(1) P0P0 P1P1 P2P2

6 Courbe B-Spline quadratique uniforme d = 3,n = 3,P 0, P 1, P 2 et P 3 P(u) = ∑B k,3 (u) P k u  [u 2, u 4 ] k = 0,1,2,3 En posant u 2 = 0, u 4 = 1, c = ½, on obtient : 2 (½ – u) 2 P 0 + {½ + 2u – 4u 2 } P u 2 P 2, u  [0, 0.5] 2 (1 - u) 2 P 1 + {-3/2 + 6u – 4u 2 } P (u - ½) 2 P 3,u  [0.5, 1] P(u) = P(u) est continue d’ordre 1 dans [0, 1]. 1 ière portion de la courbe P(u) Changement de variable : v  2u B-Spline quadratique uniforme d = 3,n = 2,avec P 0, P 1 et P 2

7 Courbe B-Spline quadratique uniforme 2 ième portion de la courbe P(u) Changement de variable : v  2 (u - ½) B-Spline quadratique uniforme d = 3,n = 2,avec P 1, P 2 et P 3 d = 3,n = 3,P 0, P 1, P 2 et P 3 (suite) P0P0 P1P1 P2P2 P3P3

8 Courbe B-Spline quadratique uniforme Courbe composite chaque morceau i est une B-Spline quadratique uniforme d = 3,avec les points de contrôle P i-1, P i et P i+1 i = 1, 2, …, n-1. d = 3,n  2,P 0, P 1, P 2, …, P n

9 Courbe B-Spline cubique uniforme Courbe composite chaque morceau i est une B-Spline cubique (d = 4) uniforme avec les points de contrôle P i-1, P i, P i+1 et P i+2, i = 1, 2, …, n-2. d = 4,n  3,P 0, P 1, P 2, …, P n Exercice : Déterminer la forme de la courbe B-Spline cubique (d = 4) uniforme avec les points de contrôle P 0, P 1, P 2 et P 3.

10 Courbe B-Spline quadratique passant par P 0 et P 2 d = 3,n = 2,P 0, P 1 et P 2 Points de rupture : 0, 0, 0, 1, 1, 1 P(u) = ∑B k,3 (u) P k u  [0, 1] k = 0,1,2 On obtient : P(u) = (1 – u) 2 P (1 – u) u P 1 + u 2 P 2, u  [0, 1] Courbe de Bézier de degré 2 P0P0 P1P1 P2P2 Note :Lorsque d = n + 1, la courbe B-Spline se ramène à une courbe de Bézier de degré d – 1.

11 Courbe B-Spline quadratique passant par P 0 et P 3 d = 3,n = 3,P 0, P 1, P 2 et P 3 Points de rupture : 0, 0, 0, 0.5, 1, 1, 1 P(u) = ∑B k,3 (u) P k u  [0, 1] k = 0,1,2,3 On obtient : (1 – 2u) 2 P 0 + 2u (2 – 3u) P 1 + 2u 2 P 2, u  [0, 0.5] 2(1 – u) 2 P 1 + 2(1 – u)(3u – 1) P 2 + (2u – 1) 2 P 3, u  [0.5, 1] P(u) = Malheureusement, les 2 portions de la courbe n’ont pas la même forme. (1 – v) 2 P 0 + ½ v (4 – 3v) P 1 + ½ v 2 P 2, v  [0, 1] ½ (1 – v) 2 P 1 + ½ (1 – v)(3v + 1) P 2 + v 2 P 3,v  [0, 1] P(v) =

12 Courbe B-Spline quadratique passant par P 0 et P 3 d = 3,n = 3,P 0, P 1, P 2 et P 3 Points de rupture : 0, 0, 0, 0.5, 1, 1, 1 P0P0 P1P1 P2P2 P3P3 Note : Pour obtenir une courbe fermée, il s’agit de considérer le cas où P 0 = P n.