ELEMENTS D’ANALYSE STRUCTURALE EN PLASTICITE

HIERARCHISATION DE L’ENSEIGNEMENT DES METHODES D’ANALYSE GLOBALE

Utilité du calcul post-élastique Le calcul courant des structures accepte l’hypothèse du comportement linéaire géométrique et physique → principe de la superposition des effets Cette hypothèse décrit assez bien le comportement des structures courantes sous des charges d’exploitation normales

Utilité du calcul post-élastique Calcul des structures soumises aux actions sismiques de grande intensité Les charges équivalentes sismiques sont calibrées de telle manière que: la structure calculée pour ces charges résiste élastiquement ou avec dégats mineurs aux séismes courants de faible intensité qui se produisent avec une fréquence de quelques années on accepte des dégats importants qui coréspondent a un comportement post-élastique, pour des séismes de grande intensité L’ énergie introduite par le séisme est absorbée par des phénomènes post-élastiques

Méthodes d’analyse globale Analyse élastique 1er ordre Analyse élastique 1er ordre Analyse plastique 1er ordre Analyse plastique 1er ordre Analyse élastique 2nd ordre Analyse élastique 2nd ordre Analyse plastique 2nd ordre Analyse plastique 2nd ordre Objet de ce cours

Principe d'un dimensionnement élastique Charge P => M, N, V =>  max < f Approche équivalente Charge élastique ( max = f) > Charge P

Problèmes du dimensionnement élastique 1. La charge élastique ne donne pas d'information sur la charge de rupture 2. Incohérence en flexion si ajout de matière.

1. Incohérence en flexion si ajout de matière. I<I' v<<v' I/v>I/v'

Loi  pour l’acier doux   ee ee rr pp fyfy uu fufu E EpEp

Idéalisation indéfiniment élastique   E =E=E

Idéalisation élastique-plastique   E fyfy yy

  E fyfy yy

  E fyfy yy

Idéalisation rigide-plastique   fyfy

TREILLIS CHARGE JUSQU’A LA RUINE

45° L EA Système à trois barres Y Y X Equilibre vertical X+2Y cos 45° = P P Par symétrie: Même effort Y dans barres obliques

Système à trois barres P Equation de compatibilité  45° L EA Y Y D’où : X = 2Y X

Système à trois barres Equilibre : X+2Y cos 45° = P Compatibilité : X = 2Y X>Y donc barre verticale se plastifie en premier lieu pour une charge appliquée P=P e telle que X=Af y, d’où: Charge limite élastique

X/Af y Y/Af y P/Af y 0,5 P  PePe 1 Efforts X et Y Déplacement vertical

Système à trois barres Etat de déformation plastique limitée La barre verticale, plastifiée, peut s’étirer sous charge constante: elle est en régime plastique Elle ne peut plus contribuer à la reprise de tout supplément de charge; seules les barres obliques - restées élastiques - peuvent assurer ce rôle Equilibre : X+2Y cos 45°  Af y + 2Y cos 45° = P d’où : Le système est en état de déformation plastique limitée tant que les barres obliques ne plastifient pas à leur tour

Système à trois barres Charge limite plastique Les barres obliques se plastifient à leur tour sous Il y correspond une charge limite plastique Le déplacement s’obtient selon

1 X/Af y Y/Af y P/Af y 0,5  P PePe PlPl Efforts X et Y Déplacement vertical

Système à trois barres Charge limite plastique Lorsque les 3 barres sont plastifiées, il n’y a plus aucun composant du système qui est élastique. Le système peut se déformer sous charge constante, sous réserve de négliger l’effet du changement de géométrie. Cette charge, égale à P l, est la charge limite plastique; on dit que le système est en état de déformation plastique libre. Cette charge est considérée comme la charge de ruine du système.

Système à trois barres Décharge à partir de l’état limite plastique Le déchargement de chacune des barres se fait selon une droite parallèle à la droite de chargement Il en va de même pour la flèche

1 X/Af y Y/Af y P/Af y 0,5  P PePe PlPl A la décharge complète, il subsiste des efforts résiduels et une flèche résiduelle

1 X/Af y Y/Af y P/Af y 0,5  P PePe PlPl A la recharge, le comportement est élastique

Système à trois barres La charge limite plastique est : Obtenue par équilibre après avoir exprimé que toutes les barres ont atteint leurs charges plastiques respectives Obtenue par équilibre après avoir exprimé que toutes les barres ont atteint leurs charges plastiques respectives Calculable directement sans étude de phases élastoplastiques intermédiaires Calculable directement sans étude de phases élastoplastiques intermédiaires

Vérification expérimentale Essais sur des systèmes du type précédent, faits d’acier doux ou d’aluminium, montrent un très bon accord entre théorie et expérience jusqu’à la charge limite plastique P pl Essais sur des systèmes du type précédent, faits d’acier doux ou d’aluminium, montrent un très bon accord entre théorie et expérience jusqu’à la charge limite plastique P pl Au-delà de cette charge, l’expérience montre une légère croissance de la charge au-delà de P pl alors que la théorie conduit à un palier. Au-delà de cette charge, l’expérience montre une légère croissance de la charge au-delà de P pl alors que la théorie conduit à un palier. Cette différence résulte de l’écrouissage, négligé dans la théorie. Cette différence résulte de l’écrouissage, négligé dans la théorie.

SECTION FLECHIE CHARGEE JUSQU’À LA RUINE

Flexion plastique d’une section doublement symétrique h <y<y =y=y  y  <fy<fy =fy=fy =fy=fy =fy=fy d d = y /d  e =2 y /h

Flexion plastique d’une section doublement symétrique M = ∫y dA  e = 2 y /h = y /d  e / = 2d/h Etat élastoplastique =fy=fy d d = y /d h Moment résistant élastique M e = f y W  e = M e /EI= 2 y /h

Flexion plastique d’une section doublement symétrique h =fy=fy M p = ∫y dA = f y ∫ydA = f y Z =  Moment résistant plastique Z=2S  =  e h/2d

Flexion pure plastique d’une section doublement symétrique M p est une idéalisation parce que: La courbure ne peut atteindre le pliage « à bloc » La déformation dans les fibres extrêmes finit par être telle qu’on entre dans le domaine de l’écrouissage jusqu’à atteindre la déformation de rupture

Loi moment-courbure h d d = + - fyfy fyfy fyfy fyfy MM e,d MpMp M p,d = + - = f y W d + f y Z - f y Z d

Loi moment-courbure Fonction de la hauteur relative 2d/h, donc de  e / Si M tend vers M p,  tend vers l’infini et f( e /) tend vers 0 donc M/M e est asymptotique à M p /M e Facteur de forme =M p /M e =Z /W

Loi moment-courbure 2 1, /e/e M/M e 1,27 1,50 1,70 2,0 Premier bénéfice de la plasticité  Adaptation dans la section

Loi moment-courbure 2 1, /e/e M/M e 1,10-1,22 Profilé en double té Fléchi autour de l’axe fort yy Z=M p /M e Ceci revient à admettre que la section reste élastique jusqu’à M p. C’est la base du concept de rotule plastique Loi réelle Loi idéalisée

Loi moment-courbure 1, /e/e M/M e ≈1,5 Loi réelle Loi idéalisée Profilé en double té Fléchi autour de l’axe faible zz

Effet d’une décharge Mise en charge élasto-plastique Décharge élastique Distribution de contraintes résiduelles après décharge

Section à un seul plan de symétrie (plan de flexion) Domaine élastique : l’ANE passe par le centre de gravité jusqu’à atteinte de M e =f y W Domaine élastique : l’ANE passe par le centre de gravité jusqu’à atteinte de M e =f y W Etat limite ultime : l’ANP est tel qu’il y a équilibre de translation horizontal ∫dA=f y (A 1 -A 2 )=0 Etat limite ultime : l’ANP est tel qu’il y a équilibre de translation horizontal ∫dA=f y (A 1 -A 2 )=0 Il y a donc un déplacement de AN dans tout le domaine élastoplastique depuis l’ANE jusqu’à l’ANP Il y a donc un déplacement de AN dans tout le domaine élastoplastique depuis l’ANE jusqu’à l’ANP

Section à un seul plan de symétrie (plan de flexion) ANE ANP A1A1 A2A2 A 1 =A 2 = A/2 y1y1 y2y2 fyfy fyfy fyfy fyfy fyfy <f y Z = A 1 y 1 +A 2 y 2 = (A/2) (y 1 +y 2 )

NOTION DE ROTULE PLASTIQUE

Notion de rotule plastique Théorie de flexion pure généralisée au cas de flexion simple (M+V) et de flexion composée (M+N) car N et V influencent peu le moment plastique. Théorie de flexion pure généralisée au cas de flexion simple (M+V) et de flexion composée (M+N) car N et V influencent peu le moment plastique. Application de la théorie plastique aux ossatures en acier doux. Application de la théorie plastique aux ossatures en acier doux. Une section de Classe 1 ou 2 est caractérisée par un moment plastique M p = f y Z Une section de Classe 1 ou 2 est caractérisée par un moment plastique M p = f y Z Ce moment engendre une courbure en principe infinie.

Notion de rotule plastique La longueur de la zone élasto-plastique reste toujours assez limitée La courbure de la partie élastique reste faible mais celle de la partie élasto-plastique croît rapidement dans la zone partiellement plastifiée et ce d’autant qu’on se rapproche de la section totalement plastifiée Tout se passe donc comme si des tronçons rigides étaient articulés les uns aux autres au droit des sections pleinement plastifiées

Moment Notion de rotule plastique MeMe Courbure MpMp 2 tronçons fléchis élastiquement et zone élasto-plastique 2 tronçons rigides avec rotule plastique

Concept de rotule plastique Rotule plastique = articulation «à frottement» concentrée en une section, celle où M p est atteint. Rotule plastique = articulation «à frottement» concentrée en une section, celle où M p est atteint. Articulation «à frottement», à savoir : Articulation «à frottement», à savoir : Reste rigide tant que M< M pReste rigide tant que M< M p Ne peut tourner que si M p est atteintNe peut tourner que si M p est atteint En-dehors de la rotule, les éléments sont élastiques et leur courbure est négligée devant la courbure naissant dans la rotule plastique. En-dehors de la rotule, les éléments sont élastiques et leur courbure est négligée devant la courbure naissant dans la rotule plastique.

Vérification expérimentale Flèche Charge Réponse expérimentale Charge limite théorique P lim Effet de l’écrouissage Charge limite expérimentale

Charge limite - Poutre bi-encastrée (1) L A C B p - pL²/12 pL²/ pL²/24 -M p p 1 L²/

Charge limite - Poutre bi-encastrée(2) L A C B p p l L²/8 MpMp pL²/8 -M p Rotules plastiques en A et B -M p Rotule plastique en C

Charge limite - Poutre bi-encastrée(3) plpl L A C B plpl A C B 12M e /L² 12M p /L² 16M p /L² M p L²/32EI M p L²/12EI  P M p L²/24EI Après décharge, moment résiduel en A et B M rés = - M p +p l L²/12 =-M p +4M p /3 = M p /3

Charge limite - Poutre bi-encastrée(4) plpl L A C B Pour déterminer la charge limite, il n’est pas nécessaire de suivre l’historique du chargement. On peut directement la déduire de p l L²/8= 2M p d’où p l = 16M p /L² p l L²/8 MpMp -M p Deuxième bénéfice de la plasticité  Adaptation entre sections donné par le rapport entre p l /p 1, soit ici 4/3

Charge limite - Poutre bi-encastrée(5) Au total, les bénéfices de la plasticité sont: Au total, les bénéfices de la plasticité sont: Adaptation dans la section, représentée par le facteur de forme M p /M e, toujours possible pour sections de Classe 1 ou de Classe 2 qui possèdent une certaine réserve de résistance plastique en sectionAdaptation dans la section, représentée par le facteur de forme M p /M e, toujours possible pour sections de Classe 1 ou de Classe 2 qui possèdent une certaine réserve de résistance plastique en section Adaptation entre sections, représentée par le rapport p l /p1, possible dans la mesure où toutes les rotules plastiques requises pour former le mécanisme de ruine plastique ne se forment pas simultanément (et que les classes sont adéquates)Adaptation entre sections, représentée par le rapport p l /p1, possible dans la mesure où toutes les rotules plastiques requises pour former le mécanisme de ruine plastique ne se forment pas simultanément (et que les classes sont adéquates) Pour le cas examiné (IPE) le bénéfice est (≈1,14) x (4/3) = 1,52 soit 52% de plus que ce permet un dimensionnement strictement élastique Pour le cas examiné (IPE) le bénéfice est (≈1,14) x (4/3) = 1,52 soit 52% de plus que ce permet un dimensionnement strictement élastique

Charge limite - Poutre bi-encastrée(6) L A C B -PL/8 PL/8 PL/4 + _ _ Dans le cas présent, les moments aux extrémités et à mi-portée sont égaux (valeur absolue). Les trois rotules vont se former simultanément. Seul bénéfice de la plasticité: adaptation dans la section (facteur de forme)

Charge limite – Ossature (1) Hypothèse de chargement proportionnel Hypothèse de chargement proportionnel Mise en charge jusqu’à formation de rotules plastiques successives Mise en charge jusqu’à formation de rotules plastiques successives Rotules plastiques se forment en des sections où M atteint un maximum local Rotules plastiques se forment en des sections où M atteint un maximum local Point d’application de force concentréePoint d’application de force concentrée Extrémités des barresExtrémités des barres En pleine barre, «quelque part» sous charge répartieEn pleine barre, «quelque part» sous charge répartie Apparition d’une rotule dans une section revient à réduire d’une unité le degré d’hyperstaticité Apparition d’une rotule dans une section revient à réduire d’une unité le degré d’hyperstaticité

Charge limite – Ossature (2) Formation de la h éme rotule rend l‘ossature isostatique Formation de la h éme rotule rend l‘ossature isostatique Formation de la (h+1) éme rotule rend l’ossature hypostatique (mécanisme) Formation de la (h+1) éme rotule rend l’ossature hypostatique (mécanisme) Charge limite correspond à un mécanisme de ruine comportant (h+1) rotules plastiques Charge limite correspond à un mécanisme de ruine comportant (h+1) rotules plastiques Multiplicateur de ruine est le rapport entre la charge limite plastique calculée et la charge de service prescrite, prise comme référence; c’est donc une mesure de la sécurité de l’ossature Multiplicateur de ruine est le rapport entre la charge limite plastique calculée et la charge de service prescrite, prise comme référence; c’est donc une mesure de la sécurité de l’ossature La ruine peut être partielle ou plus que complète selon que la ruine est atteinte pour un nombre de rotules inférieur ou supérieur au degré d’hyperstaticité La ruine peut être partielle ou plus que complète selon que la ruine est atteinte pour un nombre de rotules inférieur ou supérieur au degré d’hyperstaticité

Ruine partielle du portique (h=6) par mécanisme dans la seule partie gauche (h=3) avec 4 rotules plastiques Ruine plus que complète de la poutre continue (h=1) par mécanisme avec 3 rotules plastiques

Charge limite – Ossature (3) Bénéfice de la plasticité généralement appréciable, bien que très variable Bénéfice de la plasticité généralement appréciable, bien que très variable Bénéfice pour ainsi dire inexistant si barres à inertie variable conçues pour être sensiblement d’égale résistance Bénéfice pour ainsi dire inexistant si barres à inertie variable conçues pour être sensiblement d’égale résistance Principe de superposition pas applicable globalement puisque le système statique se modifie au fur et à mesure des rotules plastiques Il convient dès lors de considérer séparément chaque situation de risque (combinaison d’actions) Principe de superposition pas applicable globalement puisque le système statique se modifie au fur et à mesure des rotules plastiques Il convient dès lors de considérer séparément chaque situation de risque (combinaison d’actions)

Charge limite – Ossature (2) Conditions d’application de l’analyse plastique Conditions d’application de l’analyse plastique Toute barre est caractérisée par le moment plastique de sa section transversale M p =f y ZToute barre est caractérisée par le moment plastique de sa section transversale M p =f y Z Acier a une ductilité suffisante pour permettre i) formation d’une rotule plastique, ii) rotation de cette rotule jusqu’à obtention du mécanisme de ruine plastique + classes adéquates des sectionsAcier a une ductilité suffisante pour permettre i) formation d’une rotule plastique, ii) rotation de cette rotule jusqu’à obtention du mécanisme de ruine plastique + classes adéquates des sections Valeur de M p non affectée par N et/ou VValeur de M p non affectée par N et/ou V Aucune instabilité prématurée (membrure, ossature)Aucune instabilité prématurée (membrure, ossature) Charges croissant toutes proportionnellementCharges croissant toutes proportionnellement Déplacements suffisamment faibles pour ne pas modifier le mode d’action des forces sollicitantesDéplacements suffisamment faibles pour ne pas modifier le mode d’action des forces sollicitantes Assemblages capables de transmettre M p de la barreAssemblages capables de transmettre M p de la barre

Charge limite – Ossature (3) Etats initiaux de contraintes susceptibles d’affecter substantiellement la charge limite élastique et de modifier l’ordre d’apparition des rotules plastiques Etats initiaux de contraintes susceptibles d’affecter substantiellement la charge limite élastique et de modifier l’ordre d’apparition des rotules plastiques La confrontation expérimentale montre que: La confrontation expérimentale montre que: Charge limite expérimentale supérieure à la valeur donnée par la théorie, d’où approche sécuritaireCharge limite expérimentale supérieure à la valeur donnée par la théorie, d’où approche sécuritaire Sécurité homogène comparativement à ce que donne un calcul strictement élastiqueSécurité homogène comparativement à ce que donne un calcul strictement élastique

THEOREMES GENERAUX

Théorème des travaux virtuels (1) Dans une ossature déformable en équilibre, à laquelle on donne un état virtuel de déformation, le travail virtuel T e développé par les forces extérieures pendant cette déformation est égal au travail T i absorbé par les efforts intérieurs T e = ∫P i  i + ∫p dx T e = ∫P i  i + ∫p dx T i = ∫(Nds + V dy + M d) T i = ∫(Nds + V dy + M d) L'état virtuel de déformation pris est celui qui est associé au mécanisme de ruine plastique de la structure L'état virtuel de déformation pris est celui qui est associé au mécanisme de ruine plastique de la structure Quantités reliées par les conditions d’équilibre Quantités reliées par les conditions d’équilibre Quantités reliées par les conditions cinématiques du mécanisme Quantités reliées par les conditions cinématiques du mécanisme

Théorème des travaux virtuels (2) Hypothèse: les morceaux restant élastiques sont rigides donc indéformables Hypothèse: les morceaux restant élastiques sont rigides donc indéformables Dans les ossatures, il est de règle de négliger les déformabilités dues à N et V devant celles dues à M Dans les ossatures, il est de règle de négliger les déformabilités dues à N et V devant celles dues à M Le seul travail de déformation intérieur est celui qui est développé dans les rotules plastiques Le seul travail de déformation intérieur est celui qui est développé dans les rotules plastiques ∫P i  i + ∫p dx =  M j  j ∫P i  i + ∫p dx =  M j  j

Théorème des travaux virtuels (3) Application à l’exemple traité précédemment Application à l’exemple traité précédemment ∫P i  i + ∫p dx =  M j  j ∫P i  i + ∫p dx =  M j  j p L A C B    2 x (½ x L/2 x L/2 x  x p L/2   M A +  M B  +2  M C Pour p = p l M A = M B = M p M C =M p p l =16 M p /L²

Etat limite de ruine réel Multiplicateur de ruine l des charges de référence Multiplicateur de ruine l des charges de référence Diagramme des M statiquement admissible (en équilibre avec les forces extérieures appliquées) et plastiquement admissible (en aucune section de l’ossature le moment de flexion n’y dépasse le moment plastique de cette section) Diagramme des M statiquement admissible (en équilibre avec les forces extérieures appliquées) et plastiquement admissible (en aucune section de l’ossature le moment de flexion n’y dépasse le moment plastique de cette section) Mécanisme de ruine, décrit par les rotations  j dans les rotules plastiques, cinématiquement admissible (respectant les liaisons avec le monde extérieur), tel que le travail T e des forces extérieurs est positif Mécanisme de ruine, décrit par les rotations  j dans les rotules plastiques, cinématiquement admissible (respectant les liaisons avec le monde extérieur), tel que le travail T e des forces extérieurs est positif Association des M j aux rotations  j par les lois d’écoulement Association des M j aux rotations  j par les lois d’écoulement   j = 0 si -M pj <M j <M pj   j > 0si M j =M pj   j < 0si M j =-M pj

Concept de diagramme licite Propriétés d’un diagramme de moments M - licite Propriétés d’un diagramme de moments M - licite Etre statiquement admissibleEtre statiquement admissible Etre plastiquement admissibleEtre plastiquement admissible Grand nombre de diagrammes de moments licites (différant entre eux par les emplacements où on annule les efforts intérieurs excédentaires) Grand nombre de diagrammes de moments licites (différant entre eux par les emplacements où on annule les efforts intérieurs excédentaires) A chaque diagramme licite, on peut associer un multiplicateur statique - des charges prises comme référence A chaque diagramme licite, on peut associer un multiplicateur statique - des charges prises comme référence

Concept de mécanisme licite Propriété d’un mécanisme de ruine  j+ licite Propriété d’un mécanisme de ruine  j+ licite Etre cinématiquement admissible, c’est-à-dire respecter les liaisons avec le monde extérieurEtre cinématiquement admissible, c’est-à-dire respecter les liaisons avec le monde extérieur Grand nombre de mécanismes licites (différant entre eux par les emplacements supposés des rotules plastiques requises pour obtenir un mécanisme) Grand nombre de mécanismes licites (différant entre eux par les emplacements supposés des rotules plastiques requises pour obtenir un mécanisme) A chaque mécanisme licite, on peut associer un multiplicateur cinématique + des charges prises comme référence A chaque mécanisme licite, on peut associer un multiplicateur cinématique + des charges prises comme référence

Théorème cinématique A priori le mécanisme de ruine n’est pas connu A priori le mécanisme de ruine n’est pas connu Dans une ossature hyperstatique de degré h, il faut (h+1) rotules plastiques pour former 1 mécanisme Dans une ossature hyperstatique de degré h, il faut (h+1) rotules plastiques pour former 1 mécanisme Multiples manières de situer les rotules potentielles de manière à former un mécanisme licite Multiples manières de situer les rotules potentielles de manière à former un mécanisme licite A un tel mécanisme, on peut associer un multiplicateur cinématique + A un tel mécanisme, on peut associer un multiplicateur cinématique + Parmi ces mécanismes licites, un seul est le mécanisme réel de ruine, auquel correspond l Parmi ces mécanismes licites, un seul est le mécanisme réel de ruine, auquel correspond l Tout multiplicateur cinématique est supérieur ou égal au multiplicateur limite : l ≤ + Tout multiplicateur cinématique est supérieur ou égal au multiplicateur limite : l ≤ +

Théorème statique A priori le diagramme réel n’est pas connu A priori le diagramme réel n’est pas connu Dans une ossature hyperstatique de degré h, il est possible de construire un grand nombre de diagrammes licites Dans une ossature hyperstatique de degré h, il est possible de construire un grand nombre de diagrammes licites A un tel diagramme, on peut associer un multiplicateur statique - A un tel diagramme, on peut associer un multiplicateur statique - Parmi ces diagrammes licites, un seul est le diagramme réel à la ruine, auquel correspond l Parmi ces diagrammes licites, un seul est le diagramme réel à la ruine, auquel correspond l Tout multiplicateur statique est inférieur ou égal au multiplicateur limite : - ≤ l Tout multiplicateur statique est inférieur ou égal au multiplicateur limite : - ≤ l

Lemme de Feinberg Si on renforce un système à poutres fléchies en augmentant le moment plastique M p dans une section au moins tout en ne le réduisant nulle part ailleurs, alors le multiplicateur limite du système renforcé ne peut être inférieur à celui du sysème d’origine.

Théorème d’unicité Si, pour une ossature donnée, soumise à un chargement donné, on peut trouver une distribution licite des M telle que le moment plastique soit atteint en un nombre suffisant de sections pour produire un mécanisme cinématiquement admissible avec des rotules plastiques en ces sections et si, en outre, dans chacune de ces sections, le moment a un signe correspondant au sens de rotation de la rotule dans ce mécanisme, alors le multiplicateur considéré est le mécanisme de ruine Examiner soigneusement la correspondance entre diagramme des M et le mécanisme ! Va servir a contrôler si un mécanisme cinématiquement admissible est le mécanisme de ruine

Contrôle d’un mécanisme licite Mécanisme : (h+1) rotules (ruine complète) Mécanisme : (h+1) rotules (ruine complète) En chaque rotule, mettre la valeur du moment plastique de la section correspondante, affectée du signe de la rotation de cette rotule dans le mécanisme considéré En chaque rotule, mettre la valeur du moment plastique de la section correspondante, affectée du signe de la rotation de cette rotule dans le mécanisme considéré Compléter le diagramme des M Compléter le diagramme des M Comparer M à M p en toute section Si en toute section lMl ≤ M p, alors le mécanisme examiné est le mécanisme de ruine réel Comparer M à M p en toute section Si en toute section lMl ≤ M p, alors le mécanisme examiné est le mécanisme de ruine réel En cas de ruine partielle, lever l’hyperstaticité restante pour compléter le diagramme des M En cas de ruine partielle, lever l’hyperstaticité restante pour compléter le diagramme des M

20 m 10 m 10 kN 14 kN Mécanisme de ruine partiel M p,traverse = 100 kNm M p,poteau = 50 kNm

20 m 10 m 10 kN 14 kN Mécanisme de ruine total M p,traverse = 100 kNm M p,poteau = 50 kNm OK

Analyse plastique des ossatures à barres Deux méthodes de détermination du multiplicateur limite plastique : Deux méthodes de détermination du multiplicateur limite plastique : Méthode cinématique: application du théorème cinématique, donc approche « par le haut »Méthode cinématique: application du théorème cinématique, donc approche « par le haut » Méthode statique: application du théorème statique, donc approche « par le bas»Méthode statique: application du théorème statique, donc approche « par le bas»

METHODE CINEMATIQUE

Méthode cinématique Deux approches : Deux approches : Recherche de tous les mécanismes possibles et détermination de celui d’entre eux qui est le mécanisme de ruine réelRecherche de tous les mécanismes possibles et détermination de celui d’entre eux qui est le mécanisme de ruine réel Recherche de tous les mécanismes simples linéairement indépendants puis combinaison linéaire de ces mécanismes élémentaires pour tendre vers un mécanisme combiné qui est le mécanisme de ruine réelRecherche de tous les mécanismes simples linéairement indépendants puis combinaison linéaire de ces mécanismes élémentaires pour tendre vers un mécanisme combiné qui est le mécanisme de ruine réel Dans chaque approche, tester le mécanisme identifié pour voir s’il s’agit bien du mécanisme de ruine réel Dans chaque approche, tester le mécanisme identifié pour voir s’il s’agit bien du mécanisme de ruine réel

Méthode cinématique Recherche de tous les mécanismes possibles Déterminer le degré d’hyperstaticité h Déterminer le degré d’hyperstaticité h Déterminer le nombre de rotules plastiques requis pour former un mécanisme : h + 1 Déterminer le nombre de rotules plastiques requis pour former un mécanisme : h + 1 Déterminer le nombre de sections potentiellement critiques s Déterminer le nombre de sections potentiellement critiques s Déterminer le nombre de mécanismes possibles Déterminer le nombre de mécanismes possibles Identifier les divers mécanismes possibles Identifier les divers mécanismes possibles Déterminer successivement les valeurs des multiplicateurs cinématiques l,i Déterminer successivement les valeurs des multiplicateurs cinématiques l,i Selectionner le mécanisme de ruine réel comme étant le mécanisme caractérisé par min ( l,i ) Selectionner le mécanisme de ruine réel comme étant le mécanisme caractérisé par min ( l,i )

Méthode cinématique Recherche de tous les mécanismes possibles Le nombre total C s h+1 de mécanismes possibles comprend notamment les mécanismes de ruine partielle, qui sont simplement des mécanismes à (h+1) rotules dont certaines ne tournent pas Le nombre total C s h+1 de mécanismes possibles comprend notamment les mécanismes de ruine partielle, qui sont simplement des mécanismes à (h+1) rotules dont certaines ne tournent pas Lorsque le nombre C s h+1 est faible, la méthode est envisageable et assure pratiquement de trouver le mécanisme de ruine réel Lorsque le nombre C s h+1 est faible, la méthode est envisageable et assure pratiquement de trouver le mécanisme de ruine réel Si ce nombre C s h+1 est élevé, le travail de caractérisation de tous les mécanismes possibles est fastidieux; on recourt alors de préférence à la deuxième approche (combinaison linéaire de mécanismes simples linéairement indépendants) Si ce nombre C s h+1 est élevé, le travail de caractérisation de tous les mécanismes possibles est fastidieux; on recourt alors de préférence à la deuxième approche (combinaison linéaire de mécanismes simples linéairement indépendants)

Exemple 1 Poutre bi-encastrée chargée au tiers de la portée L/3 2L/3 L Degré d’hyperstaticité: h = 2 Nombre de rotules requis : h + 1 = 3 Nombre de sections potentiellement critiques : s = 3 Nombre de mécanismes C s h+1 = 1    -Mp-Mp -Mp-Mp +Mp+Mp + P L/3  M p  +  M p /PL +  l ? OK

Exemple 2 Poutre continue à 2 travées égales et symétriquement chargée par forces concentrées LL LL h = 1 Nbre de rotules: h + 1 = 2 Nbr sect. pot. crit. : s = 3 C s h+1 = 3 Nbre mécan. : C s h+1 = 3 Rotule plastique nécessaire en C parce que moment max Rotules plastiques en C et D + P  L  = M p [(  /(1-  )+  /(1-  )] + P  L  = M p [(  /(1-  )+  /(1-  )]  d’où + = (M p /PL)*(1+  )/[  (1-  )] + = (M p /PL)*(1+  )/[  (1-  )]   1   1  L L A B C D E +MP+MP -MP-MP +MP+MP + = l ? + = l ? OK

Exemple 2 Poutre continue à 2 travées égales et symétriquement chargée par forces concentrées Rotules plastiques en C et E même solution par symétrie: + = (M p /PL)*(1+  )/[  (1-  )] + = (M p /PL)*(1+  )/[  (1-  )]  1   1   LL LL L L A B C D E Rotules plastiques en D et E + P  L(  ’) = + P  L(  ’) = M p [(  /(1-  )+  /(1-  )] + M p [(  ’/(1-  )+  ’/(1-  ’)] d’où, à nouveau: + = (M p /PL)*(1+  )/[  (1-  )] +MP+MP -MP-MP +MP+MP  ’’

Exemple 2 Portique rectangulaire simple encastré aux pieds P P L H MpMp MpMp    h = 3 Nbre de rotules nécess. : h + 1 = 4 Nbre sect. potent. crit. : s = 5 C s h+1 = 5 Nbre de mécan. poss. : C s h+1 = 5 Rotules en PL /2= 4M p  d’où : = 8M p /PL = 8M p /PL Rotules en Mécanisme de poutre

Exemple 2 Portique rectangulaire simple encastré aux pieds P P L H MpMp MpMp  Rotules en PH = 4M p  d’où: = 4M p /PH Mécanisme de panneau   

Exemple 2 Portique rectangulaire simple encastré aux pieds P P L H MpMp MpMp  Rotules en ( PH  PL = 6M p  d’où: =[ 12M p /PL ] /(1 + 2H/L] Mécanisme combiné      

Exemple 2 Portique rectangulaire simple encastré aux pieds P P L H MpMp MpMp  Rotules en , droite ( PH  PL = 6M p  d’où: ,droite =[ 12M p /PL ] /(-1 + 2H/L] , gauche (- PH  PL = 6M p  d’où: ,gauche =[ 12M p /PL ] /(1 - 2H/L] Mécanisme combiné       Vers droite

Exemple 2 Portique rectangulaire simple encastré aux pieds = = 8M p /PL 8M p /PL = 4M p /PH =[ 12M p /PL ] /(1 + 2H/L] ,droite =[ 12M p /PL ] /(-1 + 2H/L] ,gauche =[ 12M p /PL ] /(1 - 2H/L] Toujours plus grand que Donc jamais déterminant

Exemple 2 Portique rectangulaire simple encastré aux pieds PL/M p = PL/M p = PL/M p = 4L/H PL/M p = 12 /(1 + 2H/L] + PL/M p L/H 6 2 Tester le résultat

Exemple 2 Portique rectangulaire simple encastré aux pieds  Rotules en Pour L/H = 2, on teste : = 6M p /PL Mécanisme combiné       -Mp-Mp +Mp+Mp -Mp-Mp +Mp+Mp ?   M2M2 M 3 = + M p M 4 = - M p   P -M 2  +M 3 2  –M 4  =   P (L/2)  -M 2  +2M p  +M p  = 3M p    M 2 = 0 Diagramme des M plastiquement amissible donc OK

Utilisation du centre instané de rotation Détermination des mouvements relatifs des diverses parties rigides pas toujours évidentes (en particulier si barres non orthogonales) Détermination des mouvements relatifs des diverses parties rigides pas toujours évidentes (en particulier si barres non orthogonales) Systématisation à l’aide du concept de centre instantané de rotation (C.I.) Systématisation à l’aide du concept de centre instantané de rotation (C.I.) Si deux points d’une pièce rigide subissent des déplacements très petits orientés selon deux directions d A et d B, le C.I. de la pièce se trouve à l’intersection des normales en A et B aux directions d A et d B Si deux points d’une pièce rigide subissent des déplacements très petits orientés selon deux directions d A et d B, le C.I. de la pièce se trouve à l’intersection des normales en A et B aux directions d A et d B

Détermination du centre instantané de rotation A B   C.I.

P P L L L L 4L L L/2 h = 1 donc 2 rotules L/4 L L 3L  4L4L L  4 3  4 C.I Utilisation du centre instantané de rotation

Mécanismes simples indépendants Mécanisme de poutre (déjà évoqué) Mécanisme de poutre (déjà évoqué) Mécanisme de panneau (déjà évoqué) Mécanisme de panneau (déjà évoqué) Mécanisme de noeud Mécanisme de noeud

Mécanisme de nœud (1) h = 3 Donc 4 rotules d d C MpMp MpMp MpMp C L H    d/(L-d)  d/(H-d)  L/(L-d)  H/(H-d) + = M p [2+2d/(H-d)+2d/(L-d)]/C + minimum si d  0 donc + = 2M p /C

Mécanisme de nœud (2) + = (M p + M’ p + M’’ p )/C C MpMp M’ p M’’ p MpMp

Méthode cinématique par combinaison de mécanismes simples indépendants Méthode plus directe que celle consistant à rechercher tous les mécanismes possibles Méthode plus directe que celle consistant à rechercher tous les mécanismes possibles

Méthode cinématique par combinaison de mécanismes simples indépendants Principes: Principes: Identifier tous les mécanismes simples et les caractériser par leur + iIdentifier tous les mécanismes simples et les caractériser par leur + i Combiner 2 ou plus de ces mécanismes afin d’obtenir un mécanisme combiné caractérisé par un + inférieur à ceux caractérisant les mécanismes simples utilisésCombiner 2 ou plus de ces mécanismes afin d’obtenir un mécanisme combiné caractérisé par un + inférieur à ceux caractérisant les mécanismes simples utilisés Procéder ainsi successivement jusqu’à ne plus pouvoir améliorer la solutionProcéder ainsi successivement jusqu’à ne plus pouvoir améliorer la solution Tester le mécanisme obtenu pour s’assurer s’il s’agit bien du mécanisme de ruineTester le mécanisme obtenu pour s’assurer s’il s’agit bien du mécanisme de ruine

Méthode cinématique par combinaison de mécanismes simples indépendants Nombre de mécanismes simples Nombre de mécanismes simples Connaissance des M dans les s sections potentiellement critques permet de déterminer complètement le diagramme des MConnaissance des M dans les s sections potentiellement critques permet de déterminer complètement le diagramme des M Si h est le degré d’hyperstaticité, ces s moments sont reliés entre eux par des équations d’équilibre linéairement indépendantes en nombre e = s – hSi h est le degré d’hyperstaticité, ces s moments sont reliés entre eux par des équations d’équilibre linéairement indépendantes en nombre e = s – h Toute autre équation d’équilibre entre M dans diverses sections ne sait être qu’une combinaison linéaire de ces (s-h) équationsToute autre équation d’équilibre entre M dans diverses sections ne sait être qu’une combinaison linéaire de ces (s-h) équations

Méthode cinématique par combinaison de mécanismes simples indépendants Nombre de mécanismes simples (suite) Nombre de mécanismes simples (suite) Toute équation d’équilibre entre M dans diverses sections peut s’obtenir par application du théorème des travaux virtuels à un état virtuel de déplacements, lui-même associé au mécanisme que l’on obtiendrait en plaçant des rotules dans les sections considéréesToute équation d’équilibre entre M dans diverses sections peut s’obtenir par application du théorème des travaux virtuels à un état virtuel de déplacements, lui-même associé au mécanisme que l’on obtiendrait en plaçant des rotules dans les sections considérées Correspondance univoque entre une équation d’équilibre et un mécanisme de ruine possibleCorrespondance univoque entre une équation d’équilibre et un mécanisme de ruine possible Donc e = m = (s – h) mécanismes indépendants parmi les C s h+1 mécanismes possiblesDonc e = m = (s – h) mécanismes indépendants parmi les C s h+1 mécanismes possibles

Méthode cinématique par combinaison de mécanismes simples indépendants Règles générales Règles générales −  + =  M pj  j /  p i  i −Lors d’une combinaison, éliminer une rotule commune aux mécanismes combinés dans l’espoir d’éventuellement réduire le + −A cette fin, on peut faire tourner un nœud à 3 barres pour réduire le travail intérieur à ce nœud −Si charge répartie, situer la rotule à mi-longueur sous la charge, quitte à rechercher la position réelle ultérieurement et de manière plus précise

Exemple 1 Portique rectangulaire simple encastré aux pieds (1) P P L L/ MpMp MpMp h = 3 s = 5 m = s – h = =    Mécanisme de poutre  Mécanisme de panneau   

Exemple 1 Portique rectangulaire simple encastré aux pieds (2)    Mécanisme de poutre  Mécanisme de panneau   

Exemple 2 Portique rectangulaire double encastré aux pieds (1) h = 6 s = 10 Nbre de mécanismes possibles : C s h+1 = 120 Nbre de mécanismes simples : m = s – h = = 4 2P2P P 2L MpMp MpMp M p MpMp Résultante 4P

2P2P P 2L MpMp MpMp M p MpMp Résultante 4P Mécanisme de poutre Gauche

2P2P P 2L MpMp MpMp M p MpMp Résultante 4P Mécanisme de poutre Droite

2P2P P 2L MpMp MpMp M p MpMp Résultante 4P Mécanisme de panneau

Mécanisme de noeud 2P2P P 2L MpMp MpMp M p MpMp Résultante 4P

Optimisation sur position de la rotule sous charge répartie ne modifie pas significatvement le résultat

Mécanisme testé 2P2P P 2L MpMp MpMp M p MpMp Résultante 4P M 1 = - M p M 3 = + 2M p M 4 = - 2M p M 5 = + M p M 8 = - M p M 9 = + M p M 10 = - M p Reste à déterminer : M 2, M 6, M 7

(1)-M 2 + 2M 3 - M 4 = 2  PL  - M 2 + 4M p + 2M p  5,5M p (4)M 4 + M 5 – M 6 = =0  -2M p +M p - M 6 =0 (2) - M 6 + 2M 7 – M 8 = 2  PL  - M 6 + 2M 7 + M p = 5,5M p Solution M 2 = 0,5 M p M 6 = - M p M 7 = 1,75 M p

MpMp MpMp M p MpMp Diagramme est plastiquement admissible  Mécanisme de ruine confirmé

METHODE STATIQUE Pour mémoire (non vue dans ce cours)

FACTEURS AFFECTANT LA RESISTANCE ULTIME EN SECTION

Le problème Concept de rotule plastique : M p = Zf y Concept de rotule plastique : M p = Zf y En réalité, barres d’ossature soumises à M, N et V En réalité, barres d’ossature soumises à M, N et V Quid de l'influence de N et V sur la résistance en flexion ? Quid de l'influence de N et V sur la résistance en flexion ?

Effets de l’effort normal (1) Effort normal excentré = Effort axial + Flexion Effort normal excentré = Effort axial + Flexion Sous N excentré croissant, divers stades de comportement Sous N excentré croissant, divers stades de comportement

Effets de l’effort normal (2) e fyfy f yc fyfy fyfy fyfy fyfy fyfy Courbure infinie

Effets de l’effort normal (3) = + fyfy fyfy - + d d h /2 N M M = M p – M p,d = ( Z – Z d ) f y M p = Z f y N = A d f y m = M/M p = 1- ( Z d /Z ) n = N/N p = A d /A N p = A f y

Effets de l’effort normal (4) Section rectangulaire m = 1- ( Z d /Z ) = 1 -(4d²/h²) n = A d /A = 2 d/h h 2d2d b Z = bh²/4 A = bh Z d = bd² A d = 2 bd m = 1 – n² n m 1 1

Effets de l’effort normal (5) Section en double té h haha b t a Distinguer flexion d’axe fort et flexion d’axe faible Expression de la relation m =f( n ) différente selon la position de l’axe neutre plastique (traversant la semelle or l’âme) n m 1 1 Axe faible Axe fort M + N A.N.P.

Effets de l’effort normal (6) Section en double té - Pratique Flexion d’axe fort Flexion d’axe faible m n 1 1 m n 1 1 c 2c2c m = (1- n )/(1- c ) m = 1- [(n-2c)/(1-2 c )]² m = 1 c = A a /2 A c  0,18 pour profilés en I c  0,10 pour profilés en H

Effets de l’effort tranchant En théorie, problème complexe et solution peu convaincante En pratique, préférence donnée à une solution empirique, inspirée de résultats d’essais –Profilés laminés fléchis autour de l’axe fort : moment résistant admis non affecté par l’effort tranchant tant que V  V pl (résistance de l’âme seule) –Profilés symétriques obtenus par soudage : moment résistant admis non affecté par l’effort tranchant tant que V  V pl /3 Selon l’Eurocode 3, pas d’influence de l’effort de cisaillement tant que: V  0,5 Vpl