Chapitre 8 Equations

Objectifs : Savoir résoudre une équation

I. Equations Définition : Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombre(s) inconnu(s). Ceux-ci sont le plus souvent désignés par des lettres. Exemple : 𝑥 + 5 = 17 – 2𝑥 est une équation d'inconnue 𝑥.

Résoudre une équation d'inconnue 𝒙, c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre 𝑥 (si elles existent) qui vérifient l'égalité, c'est-à-dire que l'égalité soit vraie. Chacune de ces valeurs est une solution de l'équation. Exemples : On considère notre équation 𝑥 + 5 = 17 – 2𝑥 Le nombre 2 est-il solution de cette équation ? Calcul du 1er membre : 𝒙 = 2 : 2 + 5 = 7 Calcul du 2eme membre : 𝒙 = 2 : 17 – 2 x 2 = 13 L'égalité n'est pas vérifiée pour 𝒙 = 2, donc le nombre 2 n'est pas solution de cette équation.

Propriété : On ne modifie pas une égalité lorsqu'on ajoute (ou l'on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres. Exemple : – 2 + 𝑥 = - 3 En ajoutant 2 à chacun des membres de l'égalité, on obtient – 2 + 𝑥 + 2 = - 3 + 2 c'est-à-dire 𝑥 = - 1

Propriété : On ne modifie pas une égalité lorsqu'on multiplie (ou l'on divise) un même nombre non nul à chacun de ses membres. Exemple : –5𝑥 = 10 En divisant par - 5 à chacun des membres de l'égalité, on obtient – 5𝑥 : ( - 5 ) = 10 : ( - 5 ) c'est-à-dire 𝑥 = - 2

x + 5 = 17 – 2x II. Résoudre une équation On considère l'équation d'inconnue x : x + 5 = 17 – 2x

1ère étape : 𝑥 + 5 + 𝟐𝒙 = 17 – 2𝑥 + 𝟐𝒙 3𝑥 + 5 = 17

2ème étape : 3𝑥 + 5 − 𝟓 = 17 – 𝟓 3𝑥 = 12

3ème étape : 3𝑥 : 𝟑 = 12 : 𝟑 𝑥 = 𝟒

4ème étape : Premier membre : 4 + 5 = 9 On vérifie : Premier membre : 4 + 5 = 9 Deuxième membre : 17 – 2 x 4 = 17 – 8 = 9

L'équation admet une solution : 4 5ème étape : On conclue : L'équation admet une solution : 4

Remarque : En pratique, on utilise une méthode plus rapide. Lorsque l'on « passe un membre d'un autre côté » quand il est ajouté ou soustrait, on le transforme en son opposé. Lorsque l'on « passe un membre d'un autre côté » quand il est multiplié ou soustrait, on le transforme en son inverse.

III. Résoudre un problème Alexandra et Thomas choisissent un même nombre. Alexandra multiplie ce nombre par 5 et ajoute 14 au résultat. Thomas ajoute 29 au nombre choisi. Ils trouvent le même résultat. Quel est le nombre qu'ils ont choisi au départ ?

1ère étape : Choix de l’inconnue : On note 𝑥 le nombre choisi au départ.

2ème étape : Mise en équation : 5𝑥 + 14 = 𝑥 + 29

3ème étape : Résolution de l’équation 5𝑥 + 14 = 𝑥 + 29 5𝑥+14 −𝑥=29 4𝑥=29 −14 4𝑥=15 𝑥=3,25

4ème étape : Conclusion : Le nombre choisi au départ est donc 3,75.

IV. Equations produits Propriété: Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul. Soient A et B deux expressions , si A × B = 0 alors A = 0 ou B = 0.

Exemples : Résoudre l'équation (4𝑥 +8)(21 − 7𝑥) = 0 Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul. Donc : 4𝑥 +8 = 0 ou 21 − 7𝑥 = 0 4𝑥 = −8 ou − 7𝑥 = −21 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 3 Les solutions de l'équation sont les nombres - 2 et 3 .