Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal 2) La densité volumique de charge

Conducteur ohmique Dans un conducteur ohmique fixe en équilibre dans un référentiel galiléen, en M, à la date t :  = 0 Un conducteur ohmique est localement neutre à tout instant

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal 2) La densité volumique de charge 3) Équation de propagation a) Cas général

Les équations locales de Maxwell : L’équation locale du flux magnétique : divB = 0 L’équation locale de Maxwell – Faraday :

Les équations locales de Maxwell : L’équation locale de Maxwell – Gauss : L’équation locale de Maxwell – Ampère :

L’équation de propagation de E : rot(rotE) = grad(divE) – E = – E

L’équation de propagation de E : Finalement :

L’équation de propagation de E : ou

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal 2) La densité volumique de charge 3) Équation de propagation a) Cas général b) Cas des basses fréquences

L’équation de propagation de E : En M, à la date t :

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal 2) La densité volumique de charge 3) Équation de propagation 4) Relation de dispersion a) Cas général

La relation de dispersion dans un métal

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 4) Relation de dispersion a) Cas général b) Cas des basses fréquences : l’effet de peau

pour t = et T

Tableau récapitulatif Fréquences (Hz) 50 104 106 108 1010  (m) 104 = 1 cm 650 = 0,65 mm 65 6,5 0,65

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 1) Conductivité électrique d’un métal 2) La densité volumique de charge 3) Équation de propagation 4) Relation de dispersion 5) Structure de l’onde

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur 6) Aspect énergétique en basse fréquence

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 1) Modèle du conducteur parfait

Conducteur parfait :  << distances caractéristiques du matériau Modèle du conducteur parfait Définition physique : On appelle modèle du conducteur parfait la limite obtenue lorsque l’épaisseur de peau est négligeable devant toutes les grandeurs macroscopiques caractéristiques du problème : Conducteur parfait :  << distances caractéristiques du matériau

Modèle du conducteur parfait Définition mathématique : Un conducteur parfait est un conducteur idéal de conductivité électrique infinie. L’épaisseur de peau est donc nulle. C’est un modèle limite.

Modèle du conducteur parfait Dans un conducteur parfait, en régime variable : E = 0, j = 0,  = 0 et B = 0 A la surface du conducteur parfait : js  0.

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 1) Modèle du conducteur parfait 2) Réflexion d’une O.E.P.P.M. en incidence normale a) Position du problème

Première relation de passage du champ électrique  et js (1) (2) M

Seconde relation de passage du champ électrique  et js (1) (2) M Et2(M) – Et1(M) = 0

Première relation de passage du champ magnétique  et js (1) (2) M Bn2(M) – Bn1(M) = 0

Seconde relation de passage du champ magnétique  et js (1) (2) M Bt2(M) – Bt1(M) = 0.js  n12

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 1) Modèle du conducteur parfait 2) Réflexion d’une O.E.P.P.M. en incidence normale a) Équation de propagation b) L’onde réfléchie

Lors de la réflexion sous incidence normale sur un conducteur parfait, l’onde réfléchie a même pulsation, même amplitude que l’onde incidente mais elle se propage en sens inverse. Au niveau de la surface réfléchissante, les champs électriques incident et réfléchi sont en opposition de phase tandis que les champs magnétiques incident et réfléchi sont en phase.

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 1) Modèle du conducteur parfait 2) Réflexion d’une O.E.P.P.M. en incidence normale 3) Les ondes stationnaires a) Retour sur l’équation de D’Alembert

Les ondes stationnaires ventre de vibration nœud de vibration

Une O.P.P.M. peut se décomposer en deux ondes stationnaires de même pulsation, de même amplitude et en double quadrature

Une onde stationnaire peut se décomposer en deux O. P. P. M Une onde stationnaire peut se décomposer en deux O.P.P.M. de même pulsation, de même amplitude et se propageant en sens opposés

Le choix de l’écriture de la solution dépend du problème à étudier en particulier des conditions aux limites (nœud).

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 3) Les ondes stationnaires a) Retour sur l’équation de D’Alembert b) Retour sur la réflexion de l’onde

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 3) Les ondes stationnaires a) Retour sur l’équation de D’Alembert b) Retour sur la réflexion de l’onde c) État surfacique du conducteur parfait

Champ incident Vide Conducteur parfait Champ créé par les courants surfaciques x = 0

Champs résultants Vide Conducteur parfait x = 0

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait 3) Les ondes stationnaires a) Retour sur l’équation de D’Alembert b) Retour sur la réflexion de l’onde c) État surfacique du conducteur parfait d) Aspect énergétique

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait III) La cavité unidimensionnelle 1) Position du problème

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait III) La cavité unidimensionnelle 1) Position du problème 2) Exploitation des conditions aux limites

Les ondes électromagnétiques dans un conducteur I) Propagation d’une O.E.P.P.M dans un conducteur II) Réflexion sur un métal parfait III) La cavité unidimensionnelle 1) Position du problème 2) Exploitation des conditions aux limites 3) Les modes propres

Par théorème de superposition, la solution générale de ce problème peut s’écrire sous la forme d’une somme infinie :

Par théorème de superposition, la solution générale de ce problème peut s’écrire sous la forme d’une somme infinie :

Mode fondamental : 1 N V n = 1

Harmonique 2 : 2 = 2 1 N V n = 2 L = 2 2

Harmonique 3 : 3 = 31 N V n = 3 3

Harmonique 4 : 4 = 41 N V n = 4 4 L = 24