Décompositions de l’Opérateur de Dirac dans L’Algèbre de Clifford International Mathematical Forum, Vol. 6, 2011, no. 61, 3023 - 3041 Décompositions de l’Opérateur de Dirac dans L’Algèbre de Clifford Mohamed Ben Ammar Universite de Carthage Département de Mathématiques Institut Préparatoire aux Etudes d’Ingénieur de Nabeul El Mrezka 8000, Hammemet-Tunisie m−benammar@ymail.com Abstract In this article, I am interested in the spectral decomposition of the operator of Dirac D in the algebra of Clifford and the effects of this decomposition on the solutions of the equation Dφ = λφ. Then, I used the method of the separation of variables to decompose D into an angular operator and a radial operator and to show that this has an influence on the solutions of the equation mentioned above. Finally, I calculated the spectral ray of D and I proved that its in- variability depends on the invariability of its proper values (for example by the representations of the spinorial group and the automorphisms of the algebra of Clifford) and that its variation depends on the metric chosen on Rm. After That, I have proved the existence of a relation between the solutions of Dirac operator and those of Laplace operator. Résumé: L’opérateur de Dirac et plus généralement la géométrie spinorielle restent au-jourd’hui encore assez mal compris par les mathématiciens et les spineurs sont loins d’avoir dévoilétoutes les facettes qu’on peut leur soup¸conner. Une des raisons les plus importantes de cette incompréhension est peut être de nature algébrique. On s’intéresse a` la décomposition spectrale de l’opérateur de Dirac dans l’algebre de Clifford. La théorie générale des opérateurs ellip-tiques nous assure que son spectre est discret et les multiplicités des valeurs propres sont finies.

L’article est organis´e comme suit : 3024 M. Ben Ammar Puis j’ai utilis´e la m´ethode de s´eparation des variables pour d´ecomposer D en op´erateur angulaire et op´erateur radial et que ceci a une influence sur les solutions de l’´equation Dq = λq. 1 Enfin, j’ai calcul´e le rayon spectral de D et j’ai montr´e que son invariance d´epend de l’invariance de ses valeurs propres. J’ai d´emontr l’existence d’une relation entre les solutions de l’op´erateur de Dirac et celles de l’op´erateur de Laplace. J’ai montr´e son invariance par les repr´esentations du groupe spinoriel et les automorphismes de l’algèbre de Clifford. Mais sa variation d´epend de la m´etrique choisie. L’article est organis´e comme suit : D´ecomposition spectrale de l’op´erateur de Dirac dans l’algèbre de Clif-ford, Système complet d’idempotents dans l’algèbre de Clifford. D´ecomposition de l’op´erateur de Dirac D en partie radiale et partie angulaire. Harmoniques sph´eriques relativement a` ✷ et harmoniques Cliffordiens (resp spinoriels) relativement a` l’op´erateur de Dirac D. 4)Rayon spectral de l’op´erateur de Dirac. I/ Decomposition spectrale de l’operateur de Dirac dans l’algèbre de Clifford, Système complet d’idempotents dans l’algèbre de Clifford: Rappelons quelques g´en´eralit´es sur les idempotents dans les algèbres de Clif- ford CL(Rm),o`u Q forme quadratique de signature (p,q) surRm, et aussi la construction de l’espace des spineurs S ; a ´et´e faite de la manière suivante : Definition 1-1 : Un ´el´ement c de CL(Rm) est dit idempotent si c2 = c. Deux idempotents c et d dans CL(Rm) sont dits annulateurs l’un de l’autre si cd = dc = 0. On dit que les idempotents c1, c2, ...cm dans CL(Rm) forment un système complet si a) c2i = ci , b) cicj = 0 si i = j , c) c1 + c2 + ... + ck = 1CL(IRm) 'Keywords: Opérateur de Dirac, algèbre de Clifford, rayon spectral.

Alors il existe des polynˆomes Pj tel quePj= pj.(L0(x)) Décompositions de l’opérateur de Dirac 3025 4) Un idempotent c est primitif s’il n’est pas somme de deux idempotents non nuls annulateurs l’un de l’autre. Comme la d´etermination des idempotents primitifs de CL(118m) nous emm`ene a` l’´etude des id´eux a` gauche de l’alg`ebre de Clifford, en formant un produit e maximal d’idempotents commutants et mutuellement non annulateurs, on obtien un idempotent primitif. L’espace des spineurs S en tant qu’id´eal minimal a` gauche de CL(118m) qui s’´ecrit sous la forme S = CL(118m).e o`u e est l’idempotent primitif de CL(118m). Par cons´equent on a r´ealis´e l’alg`ebre de Clifford comme alg`ebre des endomor-phismes qui op`erent sur S, (c’est la repr´esentation spinorielle). Th´eor`eme 1-2 : L’alg`ebre de Clifford CL(118m) se d´ecompose en une somme directe de 2k id´eaux a` gauche et que chaque id´eal a comme dimension 2m−k, o`u k d´epend du nombre de Radon Hurwitz et de la signature de la m´etrique sur 118m. Preuve : Si eT1, eT2, ...eTk est un ensemble d’´el´ements commutants de la base de CL(118m) tels que e2Ti = 1. Alors le choix des signes des ´el´ements eTi dans le preoduit 12(1+eT1)(1+eT2)...12(1+eTk) varie ind´ependament et nous obtenons 2k idempotents qui sont mutuellement annulateurs l’un de l’autre et leur somme vaut 1CL(Rm) et chaque e2Tj = 1CL(~m) [voir 1,2]. Th´eor`eme 1-3 (Spectral) : Pour tout ´el´ement x dans CL(118m), il existe des nombres r´eels uniques λ1, λ2, ..., λs tous distincts et un syst`eme complet d’idempotenrs dont leur somme est 1CL(Rm) ; c1, c2,...,cs qui sont mutuellement annulateurs 2 a` 2 tel qu’on a : x = λ1c1 + λ2c2 +...+ λscs, avec cj ∈ 118[x], pour 1 ≤ j ≤ s o`u s = 2k. Les r´eels λj sont appel´ee valeurs propres et l’´ecriture de x de cette mani`ere s’appelle la d´ecomposition spectrale de x. Preuve : Soit y ∈ 118[x] et L(y) ∈ End(CL(118m)) d´efinie par L(y)(t) = yt. D´esignons par L0(y) la restriction de L(y) a` 118[x]. Alors L0(y) est un endomorphisme sym´etrique de l’espace 118[x] euclidien. Alors il existe des projections orthogonales P1, ..., Pk dans 118[x] telle que P1 +... +Pk = I et les mombres r´eels λ1,...,λk telle que L0(x) = λ1P1 +...+ λkPk. Alors il existe des polynˆomes Pj tel quePj= pj.(L0(x)) Posons cj = pj(x). utilisons l’associativit´e de l’alg`ebre 118[x], on obtient L0(cj) = L0(pj(x)) = pj(L0(x)) =Pj De même : k k L0( λjcj) = λjPj = L0(x) j=1 j=1

Fixons j,p(j)(x) = 11(X − λi), on a : 3026 M. Ben Ammar Alors L0 est injective (en effet si L0(y) = 0 = y = L0(y).1CL(Rm)= 0) = c2i = ci, cicj = 0. k k si i = j, cj=1CL(Rm), par cons´equent x = λjcj j=1 j=1 Prouvons lunicit´e, x = λjcj = p(x) = p(λj)cj, pour chaque polynˆome p. Fixons j,p(j)(x) = 11(X − λi), on a : i=j p(j)(x) = 11(λj − λi)cj, qui montre que cj appartient a` R[x], alors tous les λj sont distincts. Alors L0(cj) sont mutuellement des projecteurs orthogonaux et ainsi les λj sont nécessairement les valeurs propres de L0(x). Chaque cj est la projection or-thogonale L0(cj).1CL(Rm de 1CL(Rm) sur le sous-espace propre de L0(x) corre-spondant a` λj d’o`u l’unicité. Corollaire 1-4 : 1) Pour x E Rm. Si x admet la décomposition spectrale suivante : r x = j=1 (x/cj) λjcj, avec λj = ||cj||2 x2 = Q(x).1CL(Rm), Q forme quadratique déduite du point scalaire euclidien. r exp(x) = eλjcj, j=1 2) Pour 1 < j < r , cj a deux valeurs propres 0 et 1. et Rm = E0 E1 o`u Ek = {y E Rm / cj(y) = ky} pour k = 0,1. cj en tant qu’endomorphisme sur l’espace des spineurs). Exemple :R2, Q(x) =x21 + x22 ; (e1, e2) base de R2 avec e21 = e22 = 1 = x2-1 est le polynˆome minimal de e1 et e2 alors -1 et 1 sont les deux valeurs propres : e1(e1 − 1) = e21 − e1 = 1 − e1 = −(e1 − 1) e1(1+e2) = e1 +e2 1 = e1 +1 = (e1 −1)et(e1 +1) sont les deux vecteurs propres associés respectivement a` -1 et 1 pour l’endomorphisme e1 en tant qu’opérateur linéaire sur l’espace des spineurs S.

Décompositions de l’opérateur de Dirac 3027 Le calcul de la partie radiale de l’operateur de Laplace c’est a dire sa restriction aux fonctions K-invariantes. On sait qu’un champ de vecteur K-invariant φ sur CL(Rm)-module depend seulement de ses valeurs propres : φ(x) = Ψ(λ1, ..., λr), et si x = 2k λici E i=1 est la decomposition spectrale de x. Le champ de vecteur Ψ est invariant par le groupe des permutations Sr. Nous voulons calculer la partie radiale de l’operateur de Dirac, c’est a dire ses restrictions aux fonctions K-invariantes (K-sous-groupe compact maximal du groupe spinoriel Spin (r,s)). Un champ de vecteurs f sur Rm a valeurs dans CL(Rm)-module, K-invariant depend uniquement des valeurs propres : f(x) = F(λ1, λ2, ..., λr). Comme pour x E Rm m x = xiei, i=1 sa decomposition spectrale est : 2k x = E λjcj, λj ER i=1 E f(x) = |α|=p fα(x)eα, eα = ei1ei2...eip ; α = (i1, i2, ...,ip) |α| = i1+i2+...+ip, 0≤p≤m avec i1 < i2 <...< ip : Alors chaque composante fα est ˜K-invariant, par suite on a : fα(x1,...,xm) = Fα(λ1, λ2, ..., λ2k) Th´eor`eme 1-5 : La decomposition spectrale de l’operateur de Dirac D s’ecrit : D= 2k E ci ∂∂μio`u (Ci) un systeme didempotents ; 1 < i < 2k complet pour CL(Rm). i=1 Preuve : On a : C1 + C2 + ... + C2k = 1CL(Rm) et C2i = Ci, CiCj = 0 pour i = j Pour x E Rm, x s’ecrit : x = x1e1 + x2e2 +...+ xmem = μ1C1 +...+ μ2kC2k (decomposition spectrale)

3028 M. Ben Ammar Par suite V1 < j < m, ej = λ1jC1 +...+ λ2kjC2k, les λij sont uniquement d´etermin´es par la r`egle de multiplication suivante : eiej + ejei = 0 si i=j ±2 sii=j Pour eA = eα1eα2...eαn avec 1 < α1 < α2 <...< αn < m on a : eAeB = (_1)P(A∩B)(_1)P(A,B)eAΔB o`u : p(A) = Card(A), p(A, B) = p(A, j) et p(A, j) = card{i E A/i > j}. j∈B Comme D s’´ecrit localement : ∂ λijCi) ∂xj D= m j=1 ej ∂ = ∂xj 2k ( i=1 ∂ λij )Ci ∂xj = 2k i=1 m ( j=1 ∂ Posons ∂μi = m j=1 λij ∂) pour 1 < i < 2k ∂xj Par suite D = Corollaire 1-6 : L’op´erateur de Laplace 0 s’´ecrit : 2k i=1 ∂ Ci ∂μi 0 = 2k j=1 ∂2 Cj ∂μ2j Si φ est un champ de Clifford de classe C1 sur 118m tel queDφ= λφ, pour λ E IR, alors : ∂φj ∂μj = λφj V 1 < j < 2k Preuve : 1) vu que (Ci)1≤i≤2k est un syst`eme d’idempotents complet et que D s’´ecrit localement : D= m j=1 ej ∂ ∂xj

✷ = ( )2 = E ~ ∂ ∂2 x ∈ Rm, φ(x) = ~ φj(x)Cj Dφ(x) = ∂φj (x)Cj = λ ∂μj Décompositions de l’opérateur de Dirac 3029 et que ✷ = D2 par suite on a : ✷ = ( 2k 2k ∂ ∂2 )2 = E j=1 ∂μj j=1j car C2i = Ci et CiCj = 0 pour i = j. 2) Pour : 2k x ∈ Rm, φ(x) = ~ φj(x)Cj j=1 Dφ(x) = 2k ~ j=1 ∂φj (x)Cj = λ ∂μj φj(x)Cj D’après l’unicitede la decomposition spectrale on a : ∂φj ∂μj = λφj V 1 ≤ j ≤ 2k. II/ D´ecomposition de l’op´erateur de Dirac D en partie radiale et partie angulaire : Nous ne pouvons pas nier l’existance de l’inertie que joue l’espace des polynˆomes a` valeurs dans l’algèbre de Clifford CL(Rm)ou l’espace des spineurs dans les CL(Rm)-modules sur quoi opère l’operateur de Dirac D. Alors il est naturel dans ce contexte d’introduire les bases de pˆolynˆomes orthogonaux relativement a` un produit scalaire sur l’espace de Hilbert CL(Rm); (resp S) qui vont nous servir au developpement spectral pour tout champ de Clifford (resp de Spineurs) et qui a une influence sur la decomposition spectrale de l’operateur D ; lorsque nous voulons resoudre l’equationDφ= λφ pour φ champ a` valeurs dans CL(Rm)-module). Par suite nous utilisons la methode de separation de variables radiale et angulaire qui s’impose dans la decomposition de D. On a besoin de definir les operateurs differentiels suivants : D´efinition 2-1 : 1) L’operateur d’Euler est defini localement par : E= m j=1 xj ∂ ∂xj

2) L’opérateur de Dirac angulaire est défini par: 3030 M. Ben Ammar 2) L’opérateur de Dirac angulaire est défini par: F = − j<k a a ejek(xj − xk axj ) axk Proposition 2-2 : 1/xD=-E- F 2/x∧D=- F Preuve : Il suffit d’écrire : m j=1 x = m xjej et D = j=1 ej a axj et déduire 1/ et 2/. L’opérateur d’Euler mesure le degréd’homogénitédes polynômes et l’opérateur de Dirac angulaire mesure le degréd’harmonicitéspinorielle. Comme ces deux opérateurs commutent, on peut étudier simultanément leurs fonctions propres. Lemme 2-3 : Les harmoniques spineurs (resp Cliffordiens) de degrék dans Rm a` valeurs dans le CL(Rm)-module et qui sont des champs de vecteurs pro-pres de E et F vérifent les deux égalités suivantes : i/ E Pk(x) = kPk(x). ii/ FPk(x) = −kPk(x) On note Mk(Rm, CL(Rm)) ; (resp Mk(Rm, S)) l’espace des polynômes har-moniques Cliffordiens (resp spinoriels) relativement a` D de degrék définis sur Rm a` valeurs dans CL(Rm) ; (resp S). Preuve: i) Un polynôme homogène Rk de degrék et harmonique relativement a` D : DRk = 0 s’écrit : Rk(x) = eARk,A(x) A o`u Rk,A un polynôme homogène a` valeurs réelles de degrék. E[Rk] = eAE[Rk,A] = eAkRk,A = kRk A A

Irm par rapport a` la mesure de Gauss : Décompositions de l’opérateur de Dirac 3031 ii)Γ(Rk) = (−E − xD)[Rk] = −kRk. Exemple : Les polynˆomes radiaux de Clifford-Hermite ont eteintroduits par une generalisation convenablement choisie des polynˆomes de Hermite sur la droite reelle de la maniere suivante : He(x) = exp(x21+. 2..+41 )(De[exp(−(x21+2 ...+41))]) Ce sont des polynˆomes de degres~en x, appelepolynˆome de Clifford-Hermite. Une relation de recurrence montre que (x − D)[Ht−1(x)] = HP(x) = (x − D)t[1CL(m)] et que D[Ht(x)] = CeHt−1(x) o`u C2p = 2P et C2p+1 = 2p+m. De plus ces polynomes de Clifford-Hermite radiaux sont des champs de Clifford propres relativement a` l’operateur de Dirac angulaire : (xD − Dx)[He(x)] = αtHe(x) o`u α2p = m et α2p+1 = -m + 2, [voir 3]. Ils satisfont aussi la relation de recurrence : Ht+1(x) = (x − D)[Ht(x)] et que Ht(x) sont mutuellement ortogonaux dans Irm par rapport a` la mesure de Gauss : pour t on a : Ht(x)Ht(x)exp( X1 x2 2 m)dx1,...,dxm = 0. m 2 Notation : Designons par Pk = CLk(Irm)[x1,...,xm] : l’espace des polynˆomes homogenes de degrek a` coefficients dans CL(Irm) ; muni du produit scalaire de Fischer : Pour P, Q E Pk, x EIrm;∂x = (∂x1∂, ..., ∂ ∂xm ). (P,Q) = P(∂x).Q(x), o`u la conjugaison est l’antiinvolution de CL(Irm) definie Ce produit scalaire induit un produit scalaire sur l’espace des polynˆomes a` par : ej = −ej et ab = ba. coefficients dans l’espace des spineurs noteS[x1, ..., xm] (P(x)e,Q(x)e) = e P(∂x)Q(x)e = [P(∂x)Q(x)]0e. o`u e est un idempotent primitif de CL(Irm), (car eae = [a]0e, [a]0 la partie Il induit l’unique decomposition orthogonale de l’espace des polynˆomes ho- scalaire de a). mogenes de degrek, a` valeurs dans CL(Irm)-module (c’est a` dire CL(Irm) ou Par exemple pour chaque Pk(x)e E Pk.e ≡ Sk[x1, ..., xm] ≡ CLk(Irm)e[x1,..., xm] l’espace S des spineurs, sur quoi opere l’operateur de Dirac D.

D(x2pPk) = Dx[x2p_1Pk] = (−E − m + F)(x2p_1Pk) 3032 M. Ben Ammar Pk(x)e = Pk(x)e + xPk+1(x)e pour Pk_1 E Pk_1 et Pk E Jk(Rm,S) : (C’estadireDPk=0): CLk(Rm)e[x1, ...,xm] = Jk(Rm,S)⊥xCLk_1(Rm)e[x1, ...,xm]. Cette décomposition existe aussi pour les polynômes homogènes a coèfficients dans l’algèbre de Clifford de degrék : CLk(Rm)[x1, ..., xm]: CLk(Rm)[x1, ..., xm] = Jk(Rm,CL(Rm))⊥xCLk_1(Rm)[x1, ..., xm]. De plus pour chaque polynôme Rk E Pk on a : Rk(x) = k xPRk_p(x) avec Rk_p E Jk_p(Rm, CL(Rm)) p=0 (appelédécomposition Cliffordienne) Une décomposition analogue pour les polynômes a coéfficients dans l’espace des spineurs suit automatiquement (appelée décomposition spinorielle). On écrit souvent Jk quand on ne précise pas l’ensemble d’arrivée CL(Rm)ou S. Lemme 2-4 : Pour tout Pk E Jk(Rm,CL(Rm)) on a : F(xPk) = (k + m − 1)xPk E(xpPk) = (p + k)xpPk F(x2pPk) = −kx2pPk F(x2p+1Pk) = (k + m − 1)x2p+1Pk Preuve: i) xD[xPk] = x(−E − m + F)(Pk) car xD + Dx =F - E - m. Utilisons le fait que xPk E Pk+1 par suite (-2k-m)xPk = -(E+F)(xPk) = - (k+1)xPk − F(xPk) d’o`u F(xPk) = (k + m − 1)xPk. ii)se déduit immédiatement du fait que xp.Pk E Pk+p. iii)Comme xD(r) = -r o`u r = x21 + ... + x2nAlors F(r) = 0 par suite F(x2pPk) = x2pF(Pk) = −kx2pPk) iv) F(x2p+1Pk) = x2pF(xPk)= (k+m-1)x2p+1Pk. Il en résulte qu’on a : Théorème 2-5 : D(xpPk) = Bp,kxp_1Pk avec Bp,k = {_p pour p pair _(p_1+2k+m) p our p impair Preuve: D(x2pPk) = Dx[x2p_1Pk] = (−E − m + F)(x2p_1Pk)

x 2k+m−2˜Q(x) est harmonique de Décompositions de l’opérateur de Dirac 3033 =-(2p+k-1)x2p−1Pk − mx2p−1Pk +(k + m − 1)x2p−1Pk = - (2p)x2p−1Pk Th´eor`eme 2-6 : Soit φ un champ de Clifford defini sur Rm de classe C°° et harmonique relativement a` l’operateur de Laplace 0. Alors le champ de Clifford ψ = Eφ est harmonique relativement a` 0. et Dψ est harmonique de Clifford relativement a` l’operateur de Dirac D. De plus 0(Rφ) est harmonique de Clifford relativement a` 0 pour R = x2 1 +...+ x2n = 11x2. Preuve : 1) Notons : ψ = Eφ = m i=1 xi ∂φ ∂xi 0ψ = 20φ + m i=1 ∂ xi ∂x (0φ) = 0 si 0φ = 0 i par suite ψ est harmonique et comme 0 = D2 ⇒ D(Dψ) = 0ψ = 0 ⇒ Dψ est harmonique de Clifford relativement a` D. 2) ∀i ∈ {1, 2, ...,m} ∂φ ∂xi (Rφ) = 2xiφ + R ∂φ ∂xi ∂2(Rφ) ∂xi + ∂2φ ∂x2 i = 2φ + 4xi i , par suite : ∂φ ∂x2 0(Rφ) = 2mφ + 4 m i=1 ∂φ xi puisque 0φ = 0 ∂xi d’apr`es 1) on conclut que 0[0(Rφ] = 0. Proposition et d´efinition 2-7 : Si Pk est un harmonique de Clifford de degres k relativement a` D. Alors Qk(x) = x iixiimPk( x iixii2) = x iixii2k+m Pk(x) est un harmonique de Clifford relativement a` D, de degres-(k + m − 1) defini dans Rm − {0}. L’application lineaire A ∈ L(Pk, P−(k+m−1)) est appeleoperateur de Clifford polynˆomial de degre-(2k + m - 1) Reciproquement si ˜Qk est un harmonique de Clifford relativement a` D de degre -(k+m-1), alors ˜Pk(x) =:HA( x iixii2 ) = xII x 2k+m−2˜Q(x) est harmonique de Clifford relativement a` D ae degrek.

La reciproque se demontre par la mˆeme methode. Proposition 2-8 : 3034 M. Ben Ammar Preuve : Il est evident que Qk est homog`ene de degre-(k+m-1), puisque Qk(tx) = tk+1xPk(x) = t−(k+m−1)Qk(x). t2k+miixii2k+m De plus dans Irm\{01 D[Qk(x)] = D[ 1 iixii2k+m+2]xPk + 1iixii2k+mD[xPk] = −(2k + m) x iixii2k+m+2 xPk − (2k + m) 1 iixii2k+m Pk. (2k+m)Pk = iixii2k+m ii(xii2k+mm) 2k+ Pk = 0. On a utilise D[ 1 r2k+m] = −(2k + m) 1 r2k+m+1 D(r) (2k+m) = r2k+m+1 . x r = −(2k + m) x r2k+m+2 La reciproque se demontre par la mˆeme methode. Proposition 2-8 : En termes de coordonnees spheriques l’operateur de Dirac D s’ecrit locale- ment sous la forme : D = ω( ∂ + Γ) o`u ω2 = −1 ∂r 1 r Γ(ω) = (m − 1)ω Preuve : On sait que Vx E Irm, x = rω par suite rωD = −(r ∂∂r + Γ) ou ωD = −(∂r∂ + Γr ) = D = ω( ∂∂r + rΓ ) D(x) = -m = ω(∂∂r + 1rΓ)(rω) = −m par suite ω(ω +Γ(ω)) = −m mais ω2 = −1 = ωΓ(ω) = −(m − 1), mais ω2 = −1 C’est a` dire ω−1 = −ω = Γ(ω) = +(m − 1)ω. Proposition 2-9 : On a : Γω = ω(m − 1 − Γ) Γx = x(m − 1 − Γ) ΓD = D(m − 1 − Γ) Evident. se deduit d’apres i) Γω = (m − 1)ω − ωΓ Comme [Γ, r] = 0 = Γx = x(m − 1 − Γ) ΓD = Γω(∂∂r + 1rΓ) = ω(m − 1 −Γ)(∂∂r + 1rΓ) = ω(∂∂r + 1rΓ)(m − 1 − Γ) = D(m − 1 − Γ) ; [voir 2,3] III/ Harmoniques sph´eriques relativement a` 0 et harmoniques Cliffordiens (resp spinoriels) relativement a` l’op´erateur de Dirac D : On designe par Hk(Irm, CL(Irm), 0) ; Hk(Irm, S, 0) ; (resp Hk(Irm, CL(Irm), D)); Hk(Irm, S, 0)) : l’espace vectoriel des champs harmoniques relativement a` 0

_(j a` spin pr`es par d´efaut Décompositions de l’opérateur de Dirac 3035 (resp a` D) homogènes de degrék d´efinis sur Irm a` valeurs dans CL(Irm) ; (resp S) ; de classe C∞. Remarque 3-1 : 93k(Irm, CL(Irm), D) C Hk(Irm, CL(Irm), 0) Si Pk_1 E 93k_1(Irm, CL(Irm), D) alors xPk_1 E Hk(Irm, CL(Irm); 0) Proposition 3-2 : L’espace des harmoniques sphériques relativement a` 0 ad-met la décomposition suivante : Hk(Irm, CL(Irm); 0) = 93k(Irm, CL(Irm), D)+ x93k_1(Irm, CL(Irm), D) Preuve : Pour tout Rk E Hk(Irm, CL(Irm); 0) on pose Pk_1 = D(Rk) , alors Pk_1 E 93k_1 et D[Pk_1] = −(m + 2k − 2)Pk_1 Par conséquent : Qk = Rk + m+21k_2xPk_1 est harmonique relativement a` 0. Corollaire 3-3 : La décomposition ci-dessus existe pour l’espace Hk(Irm, S, 0) = 93k(Irm, S) ED x.93k_1(Irm, S). Preuve : Démonstration est une déduction de la proposition 3-2. Exemple 3-4 : Il est connu qu’en mécanique quantique que pour le moment angulaire d’orbite j, la fonction de Wave ψj = ψj(θ, β) est solution de l’équation differentielle : (E) : [si1nθ:θ(sinθ + sin12θ ∂∂β22 ]ψj + j(j + 1)ψj = 0, ( écrite dans le système en coordonnées sphériques). Dans la théorie quantique de l’éléctron, la fonction de Wave ψk a` valeurs dans l’espace des spineurs S est un état propre relativement a` l’opérateur Γ : (E’) : Γψk = kψk Comme Γ2 =−[ 1 ∂ (Sine ) ∂2 ]+ Γ [sinθ ∂θ ao sin20 ∂β2 On en déduit que : k2 = j(j + 1) + k, cette équation possède deux solutions : j+1 a` spin pr`es par exc`es k = _(j a` spin pr`es par d´efaut Par suite les solutions a` valeurs dans S de (E’) sont aussi solutions de (E). Th´eor`eme 3-5 : Soitψun champ de Clifford (resp de Spineurs) de classe C1 sur Irm et qui admet la décomposition suivante en partie radiale et partie

(r, e1,...,em_1) = N gj(r)hj(e1, ..., em_1) 3036 M. Ben Ammar angulaire relativement a` une base (eα) de CL(Rm) ; (resp (eαf)α base de S) : (r, e1,...,em_1) = N gj(r)hj(e1, ..., em_1) o`u N = dimiCL(Rm) = 2m ; si est un champ de Clifford (resp = N = dimS = 2[m ] si est un champ de spineurs), avec gj homogène de degrék (solution propre relativement a` l’opérateur de Dirac radiale E) et h harmonique de Clifford, (resp de spineurs) relativement a` l’opérateur de Dirac angulaire F associéa` la valeur propre k’. j=1 Alors est harmonique de Clifford (resp de spineurs) relativement a` l’opérateur x D pour x E Rm, associéa` la valeur propre -(k+k’). Preuve : x D = -(E +F) pour x E Rm, avec x = (r,e1, e2, ..., em_1, ses coor-données sphériques. E(gj)(r) = kgj(r); Fhj(e1, ..., em_1) = k'hj(e1, ..., em_1) Par suite xD = − N [E(gj)(r)hj(e1, ...,em_1) + gj(r)Fhj(e1, ...,em_1)] N j=1 j=1 kgj(r)hj(e1, ..., em_1) + k'gj(r)hj(e1, ..., em_1)] = − D’o`u xD = −(k + k') (r, e1, ..., em_1) IV/ Rayon spectral de l’opérateur de Dirac: Nous avons montréque la métrique surl’algèbre de Clifford CL(Rm)est l’extention de la forme quadratique q sur Rm en posant: ˜q(u) = 2_mTr(u.uτ),o`u τ est l’antiinvolution principale de l’algèbre CL(Rm), et cette métrique est neutre et que sa détermination induit la détermination celle de l’espace des spineurs S, [voir 4]. D’autre part l’opérateur de Dirac opère sur les champs de Clifford et sur les champs de spineurs et qui sont définis sur un domaine inclus dansRm, de plus de classe C1 au moins sur Rm. Je m’interesse particulièrement a` l’espace C1(Sm_1, CL(Rm)) muni du produit scalaire <, > défini par: F1, F2 E C1(Sm_1, CL(Rm)) on a < F1, F2 > fSm−1 2_mTr(F1τ(x)F2(x))dx; afin que je puisse déterminer le rayon spectral de l’opérateur de Dirac.

Décompositions de l’opérateur de Dirac 3037 Th´eor`eme 4-1 : L’op´erateur de Dirac, est un op´erateur autoadjoint relativement au produit scalaire <, > d´efini sur l’espace C1(Sm−1, CL(118m)) Alors la norme de D subordonn´ee a` la norme d´eduite de ce produit scalaire, est ´egal a` son rayon spectral. 11|D11| = e(D). Preuve : L’op´erateur de Dirac D est un endomorphisme autoadjoint de l’espace C1(Sm−1, CL(118m)) muni du produit scalaire <, >. Alors D est diagonalisable, ses valeurs propres sont r´eelles, ses sous-espaces propres sont orthogonaux deux a` deux. Il existe une base orthogonale de C1(Sm−1, CL(118m)) dans laquelle la matrice de D est diagonale r´eelle ; construite de la fa¸con suivante : On procède par exemple a` choisir des fonctions f1, f2, ..., de L2(Sm−1,118)constitu´ees des fonctions propres de l’op´erateur de Dirac D : Dfi = λifi directement ; (ou bien a` partir de ✷ en posant ✷gi = λ2igi et on prend fi = λigi + Dgi) et par suite (fieA) ; o`u (eA = eα1.eα2...eαk avec 1 ≤ α1 < α2 <...< αk ≤ m qui forme une base de CL(118m) orthonormale relativement a` ˜q) ou même une base du type (fiTj) avec Tj base de champs de Clifford relativement a` D d´efinis sur Sm−1, v´erifiant DTj = μjTj ´el´ement de L2(Sm−1, CL(118m)) et qui donne D(fiTj). Alors la matrice de D relativement a` une telle base s’´ecrit : ⎛ ⎜ ⎝ α1 α2 0 ⎟ et L2(Sm−1, CL(118m)) admet une d´ecomposition orthogonale 0 ... ⎠ de Hilbert (somme directe de sous-espaces propres relativement a` D. Soit T etφ ∈ C1(Sm−1, CL(118m)) tel que D(T) = λT| < DET)/φ > | ≤ ρ(D)11φ1111T11 d’après l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Si φ et T ont une norme inferieure ou ´egale a` 1, on obtient | < D(T)|φ > | ≤ ρ(D). Par cons´equent l’ensemble{|< DT)/φ > | telque φ, T ∈ C1(Sm−1, CL(118m)), avec ~φ~ ≤ 1, 11T11 ≤ 1} par suite Sup{| < DT)/φ > | ; (φ, T) ∈ C1(Sm−1, CL(118m))11φ11 ≤ 1, ≤ 1} ≤ ρ(D) Or la boule unit´e dans C1(Sm−1, CL(118m)) est invariant par −IdC1(Sm−1,CL(m)). Les ensembles {| < DT)/φ > |/(φ, T) ∈ C1(Sm−1, CL(118m)) avec ~φ~ ≤ 1, 11T11 ≤ 1}

φ(x) = (a1 + x1,...,amxm), soit T ∈ C1(Sm−1, CL(Rm)) telle que DT(x) = 3038 M. Ben Ammar et {< D(T)| −φ>, φ, T ∈ C1(Sm−1,CL(Rm)),~φ~≤ 1, 11T11 ≤ 1} sont egaux. Il existe k ∈ N tel que |λk| = ρ(D), or | < D(fkeA|fkeA > | ∈{|< D(T)|φ > |, ∀φ, T ∈ C1(Sm−1, CL(Rm))oullφll ≤ 1, 11T11 ≤ 1} D’o`u l’egalite11|D11| = ρ(D) Th´eor`eme 4-2 : Le rayon spectral de l’operateur de Dirac D est invariant par : Le groupe de translation de Rm La representation adjointe du groupe spinoriel. L’antiinvolution principale τ de l’alg`ebre de Clifford CL(Rm), et par tout automorphisme du groupe spinoriel. De plus si φ est une homothetie de Rm de rapport μ ∈ R* Alors ρ(φD) = |μ|ρ(D). Preuve : i) soit φ une translation de Rm de vecteur a = (a1, ..., am); x = (x1,...,xm) par rapport a` (ei)1<i<m base orthonormee de (Rm, q) φ(x) = (a1 + x1,...,amxm), soit T ∈ C1(Sm−1, CL(Rm)) telle que DT(x) = λT(x), λ∈ R. L’antiinvolution principale τ de CL(Rm) est definie par : Pour eα = eα1eα2...eαk, on a τ(eα) = eαkeαk−1...eα2eα1 de plus τD = D puisque D s’ecrit localement : E m j=1 ;suite τD = D⇒τDT = τ(λT) = λτ(T) = λT ∂xj D= ej d’o`u ρ(D) est invariant par τ et par toute antiinvolution de CL(Rm). T ◦ φ(x1, ..., xm) = E(x1 + a1, ...,xm + am)eα α Posons (φD)(T) = D(T ◦ φ) ; par suite on a : D(T ◦ φ)(x1, ..., xm) = EDTα(x1 + a1,...,xm + am)eα α m =E(E α j=1 ∂Tα ∂xj (x1 + a1,...,xm + am)ej)eα E = Tα(x1 + a1,...,xm + am)eα = λT ◦ φ(x1,...,xm) α D’o`uρ(φD) = ρ(D).

(x)(u1u2...u2k)ejeα(u1u2...u2k)−1 Décompositions de l’opérateur de Dirac 3039 ii)Soit u = u1u2...u2k avec u E Spin(m) Ad(u)eα = (u1u2...u2keα(u1u2...u−12k = (−1)2kpeα = eα Pour 1 < α1 < α2 <...< αp < m Ad(u) D 111(x1, ..., xm) = Ad(u) D( E 111α(x1,...,xm)eα) α E = Ad(u)( j,α ej ∂ ∂ ∂xj 111α(x)eα) = E ∂x3 111α(x)Ad(u)(ejeα) α,j • E= α,j ∂111α ∂xj (x)(u1u2...u2k)ejeα(u1u2...u2k)−1 E= α,j ∂111 ∂xα j (x)ejeα(−1)(p−1)(2k) = D111(x) = λ111(x) Par suite ρ(Ad(u)D) = ρ(D) Vu E Spin(m). iii) Pour φ(x1,...,xm) = (μx1, ...,μxm), alors φD(111)(x1,...,xm) = D(111)(μx1, ...,μxm) = μD111 = λμ111 d’o`u le resultat. On sait que tout champ 111 de spineurs depend de la representation spinorielle d’une part, d’autre part depend aussi de la metrique choisie sur la varieteRe- mannienne (on plus mˆeme sur l’espace quadratique 118m) Il est bien connu que deux metriques euclidiennes g et h sur l’espace sont l’image l’une de l’autre par une application lineaire~appelemorphisme des espaces quadratiques : h = £∗g. [6,7,8] De plus on a montre[4] que la determination de la metrique sur CL(1Rm)induit la determination de la metrique sur l’espace des spineurs. Alors pour deux metriques spinorielles γ et η (correspondant a` la mˆame classe spinorielle, mais a` deux metriques g et h distinctes), il est possible de comparer les operateurs de Dirac Dγ et Dη agissant respectivement sur les champs de γ - spineurs et de η- spineurs. [8] Alors m’operateur de Dirac depend de la metrique choisie qui induit la dependance de ses valeurs propres et par la suite de son rayon spectral. D’o`u : Th´eor`eme 4-3 : La variation de l’operateur de Dirac et de ses valeurs propres par changement de metrique induit la variation de son rayon spectral.

3040 M. Ben Ammar Théorème [8] : Les valeurs propres de l’opérateur de Dirac qui sont associées a` la métrique spinorielle standard sur la sph`ere Sm−1 sont toutes critiques (pour les variation préservant le volume totale). Preuve : Soit γ la métrique spinorielle standard (de courbure sectionnelle constante et égale a` 1). Les valeurs propres de Dγ sont égales en valeur absolue a` ±(k + n2) pour k ∈ N [9]. Les spineurs propres correspondant aux valeurs propres minimales ±n2 sont les spineurs de Killing. REFERENCES Pertti Lounesto Clifford Algebras and Hestenes Spinors Foundations of phys vol 23 N◦9 (1993) p1203-1237. Pertti Lounesto and G.P.Wene. idempotent structure of Clifford alge-bras. Acta-Appl. Math 9(1987) pp165-173. F. Brak, H.De Schepper, N. Schepper and F. Sommen. Hermitean Clifford - Hermite Polynomials. Adv. appl. Clifford. alg 17 (2007) 311-330. Mohamed. Ben Ammar: Structures sur les espaces des spineurs quater-niens et structures sur les espaces des spineurs réels. Rendiconti del seminario Matematico di Messina serie II, vol II (1993) pp1-10. Jean-Pierre Bourguignon and Paul Gauduchon. Spineurs, Operateurs de Dirac et variations de métriques Comm. Math. Phys (1992) 144, 581 - 599. Binz, E, Pferschy, R : The Dirac Opérator and the change of métric. C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada V269-274 (1983).

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