Développement et applications de la mécanique newtonienne Au XIXeme Siècle Mécanique hamiltonienne, probabilités et thermodynamqiue

La réversibilité : Pas de distinction entre le passé et le futur Idéal classique = Existence d’une réalité objective (microscopique) caractérisée par Le déterminisme : Tout est donné (ses états futurs comme son histoire) si l’on connaît la configuration du système à un instant donné (conditions initiales) La réversibilité : Pas de distinction entre le passé et le futur Monde totalement prédictible mais cette réalité objective est accessible en principe et non en pratique: limitation de nos moyens intellectuels et matériels (caractère grossier des moyens expérimentaux)

Nuage à l’instant t Nuage initial Schéma probabiliste Hasard subjectif Physique statistique classique : Comment concilier « prédictibilité de principe » et « non prévisibilité pratique »: Comment mesurer les CI? Nuage à l’instant t Nuage initial Etat initial parfaitement connu Etat à t Evolutions possibles Evolution Etat initial non parfaitement connu (distribution) Extension du domaine = degré d’ignorance sur l’état initial Evolution Evolution déterministe des distributions de probabilités!! Schéma probabiliste Hasard subjectif

Succès du hasard subjectif et contradictions de l’approche microscopique Evolution (constatée) irréversible des grands systèmes Pas d’évolution macroscopique Diffusion Configuration finale du gaz: répartition homogène des particules dans les compartiments Configuration initiale du gaz Le morceau de sucre dissout dans le café peut-il se reconstituer? L’irréversibilité macroscopique est-elle une illusion? Dynamique microscopique (approche exacte): prédit l’évolution inverse Théorème de récurrence de Poincaré

Mais d’autres découvertes vont ébranler ces certitudes… Comment lever la contradiction? Irréversibilité = illusion « pratique » Le monde reste déterministe et réversible: la machinerie cosmique obéit à la mécanique bien huilée de Newton qui laisse peu de place à l’incertitude! Argument de Poincaré: le temps de retour augmente très vite avec la taille du système et donc l’évolution prédite n’est pas observable Conséquences: Tout hasard est subjectif et la réduction de la Thermodynamique (Boltzmann) à la Mécanique est illusoire Mais d’autres découvertes vont ébranler ces certitudes… *Mouvement brownien (R. Brown, 1827) : décrit par A. Einstein (1905) puis Langevin (dynamique non déterministe). Justification microscopique de la diffusion. Modèle simple: marche aléatoire * Poincaré (début XXème siècle) découvre l’instabilité et l’imprédictibilité (non calculabilité) dans des systèmes simples (3 corps)

Mécanique analytique: Hamilton-Jacobi (analogie optique/mécanique) - Mouvement d’une particule dans un champ de forces: équivalence optique/mécanique Trajets perpendiculaires à une famille de surfaces paramétrée par l’action de Jacobi S Optique géométrique: principe de Fermat S1 S2 S3 Surfaces de Jacobi Surfaces d’ondes Particules identiques soumises à des CI différentes Rayons lumineux équivalence optique/mécanique: - trajets des particules analogues aux rayons d’une onde - quantité de mouvement analogue à un indice de réfraction - lois de la mécanique déduites d’un principe de moindre action analogue au principe de Fermat. Simple analogie?

Relativité et électromagnétisme

Problème de l’espace absolu: la crise relativiste Invariance galiléenne de la mécanique. - Incompatibilité Mécanique de Newton/Electromagnétisme de Maxwell (non invariance galiléenne). Une prédiction fondamentale: dissymétrie entre deux situations Aimant en mouvement par rapport à l’espace absolu Aimant au repos absolu Courant induit Pas de courant induit

Problème de l’espace absolu: la crise relativiste - Expérience de Michelson et Morley (1881): test de la non invariance de l’optique et mise en évidence de l’espace absolu Résultat négatif!!!! Interprétation de Lorentz: contraction du bras parallèle à la direction du déplacement.

C’est quoi la relativité ? Le mot fait référence à l’un des pans les plus importants de la physique moderne qui comprend: *La théorie de la relativité restreinte *La théorie de la relativité générale C’est avant tout une théorie-cadre qui décrit de façon correcte les notions d’espace (longueurs mesurées) et de temps (durées mesurées): ces grandeurs sont relatives à l’observateur. L’étude des phénomènes électromagnétiques a révélé le sens profond de l’espace et du temps physiques: le cadre dans lequel se déroulent les phénomènes n’est plus tout à fait conforme à notre intuition directe (sensible) du monde… et cela parce que le sens commun s’exerce dans un monde où les vitesses sont faibles par rapport à la vitesse de la lumière.

La diversité des points de vue: Comment faire de la Physique avec des points de vue différents? Chacun peut donner une description du monde selon son propre point de vue: La « perception » des phénomènes par un observateur va dépendre de son mouvement (ici le point de vue correspond au mouvement de l ’observateur). C’est la relativité des phénomènes.

Exemple 1: Relativité du mouvement Manifestation historique: Un changement de point de vue... transition du modèle géocentrique (Ptolémée) au modèle héliocentrique (Copernic) Pour l’observateur en mouvement le trajet suivi par l’objet est courbe! Pour l’observateur immobile la chute de l’objet est verticale

La fréquence augmente: la source « bleuit » La source « rougit » Le même phénomène est perçu différemment (couleur différente de la source)

Mais la physique n’est pas un catalogue de tous les points de vue Mais la physique n’est pas un catalogue de tous les points de vue! Les points de vue peuvent différer (perception des phénomènes) mais les phénomènes sont les mêmes !!!! Comment les concilier? il y a des correspondances entre les points de vue qui se reflètent dans les lois physiques : Les lois restent les mêmes (Invariance)! Le principe de Relativité traite sur un même pied tous les points de vue jetés sur le monde en précisant le mode de passage d’un point de vue à l’autre: C’est une réalisation de l’objectivité physique Un point de vue sur le monde est celui qu’un observateur projette sur l’univers physique

Relativité Restreinte Si l’équivalence est réalisée pour une catégorie spécifique d’observateurs = Relativité Restreinte Si l’équivalence de tous les observateurs est réalisée = Relativité Générale Type privilégié d’observateurs découvert par Galilée: les observateurs inertiels

Le principe de relativité restreinte Deux postulats 1°. Les lois physiques sont les mêmes dans tous les référentiels en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres 2°. La vitesse de la lumière a toujours la même valeur dans le vide, quel que soit le référentiel. Equivalence des observateurs inertiels et extension de la relativité galiléenne à toute la physique Invariance de la vitesse de lumière (Exp. Michelson-Morley) Règles de passage entre deux référentiels galiléens: Transformations de Lorentz Y Y’ Vitesse V X O O’ X’

Repérage simultané par l’observateur des extrémités de l’objet Conséquences Contraction des longueurs Repérage simultané par l’observateur des extrémités de l’objet B A Transformation de Lorentz

Dilatation des durées * La simultanéité de deux événements dépend de l’observateur * La durée d’un événement dépend de l’observateur: Le temps s’écoule moins vite! …où le temps devient relatif à l ’observateur…..

Théorème de Pythagore usuel Théorème de Pythagore modifié Emergence de l’espace-temps Evénement: quelque chose qui se passe en un point donné à un moment donné. L ’espace-temps est l ’ensemble des événements. La localisation (lieu et moment) de l ’événement dépend du mouvement de l ’observateur. Mais la « distance » (intervalle d ’univers) entre deux événements ne dépend pas de l ’observateur. Cette notion de distance donne lieu à un théorème de Pythagore modifié: La ligne droite est le chemin le plus long!! Théorème de Pythagore usuel Théorème de Pythagore modifié Le trajet AB est plus long que A-C-B! A B C D a b D*D=a*a+b*b A B C Axe temps Le chemin A-B est plus court que A-C-B: Le chemin le plus court est la ligne droite L’espace-temps n’est pas euclidien!! Interprétation physique de la distance: La distance entre deux points A et C est = c X temps écoulé pour la particule (temps propre) allant de A à C

Comment se représenter intuitivement l’espace-temps de Minkowski? Ecoulement du temps (4ème dimension) Espace à t1 Espace à t5 Empilement de feuillets: chaque feuillet représente l ’espace usuel (3D) à un instant donné Comparaison à 1 film: une image est l ’un des feuillets et leur ensemble (la bande) l ’espace- temps Le trajet d ’une particule dans l ’espace- temps= ligne d ’univers (histoire de la particule). La longueur de la ligne entre deux points est la durée du voyage pour la particule entre ces points 20

Propriété fondamentale: Invariant par transformation de Lorentz Causalité relativiste : Intervalle d’univers A tout couple d’événements (P,Q) on associe un invariant fondamental Durée séparant les événements Distance spatiale séparant les événements nul: genre lumière négatif : genre espace Positif : genre temps Propriété fondamentale: Invariant par transformation de Lorentz

Causalité: Cône de lumière et séparabilité du monde relativiste Ligne d’univers d’une particule Temps Futur Section à temps constant Génératrices du cône: Ensemble des histoires possibles d’un rayon lumineux passant par le sommet O Espace Ailleurs Passé Sphère de causalité

Le point de vue adopté en RR est loin d’être le plus général!!! Les observateurs concernés sont ceux attachés à des référentiels d’inertie globaux… Elle affirme l’équivalence pour la formulation des lois de la physique de cette seule catégorie d’observateurs… ...Il faudrait y inclure les observateurs accélérés... Le point de vue géométrique adopté par Minkowski facilite le passage à la Relativité Générale (Principe de covariance généralisé). Dans cette transition la gravitation joue un rôle essentiel mis en évidence par Einstein dans deux expériences de pensée remarquables: * A partir de l’universalité de la chute libre découverte par Galilée (Principe d’équivalence faible), il établit l’équivalence physique des effets de l’accélération (forces d’inertie) d’un référentiel et de la gravitation (principe d’équivalence fort) * Réinterprète géométriquement l’universalité de la chute libre: les observateurs en chute libre sont localement inertiels.

Gravitation Et Relativité

Le principe de l’inertie est vérifié dans ma cabine en chute libre: Accélération et gravitation Les lois de la chute libre de Galilée sont vérifiées bien qu’il n ’y ait aucun champ de gravitation extérieur: J’interprète l’accélération de la cabine comme un champ de gravitation!! Le principe de l’inertie est vérifié dans ma cabine en chute libre: Un objet libre se déplace en ligne droite à vitesse constante par rapport à moi!!

Nous sommes donc conduits à une conclusion fondamentale: Un observateur en chute libre dans un champ de gravitation est localement inertiel C’est l’un des principes fondateurs de la R.G.: Localement, on ne peut pas distinguer entre les effets de l ’accélération et de la gravitation (Principe d ’équivalence fort).

Distinction entre accélération.... Tiré avec une force constante(accélération uniforme)

......et gravitation Localement l’observateur interprète ce rapprochement comme dû à une force entre les corps….

Interprétation: Une théorie géométrique de la gravitation Les expériences précédentes suggèrent une reformulation du principe de l’inertie: il est valide localement dans les référentiels en chute libre. Et dans ces référentiels, tout se passe comme si (localement) aucune force n’était présente... Comment concilier ces points de vue contradictoires?

Dans l’espace de Minkowski, une particule libre décrit une droite à vitesse constante. Le ref. lié à la particule est (globalement) inertiel.. En présence d ’un champ de gravitation, la particule en chute libre doit être considérée comme libre (principe d’équivalence) Cela n’est pas possible dans l’espace de Minkowski: le trajet de la particule est courbe…Elle n’est donc pas libre dans ce type d’espace!!

L ’espace de Minkowski n’est donc plus le « bon espace » en présence de gravitation. - Le principe d’équivalence impose que dans le nouvel espace-temps, les trajectoires de chute libre, bien que courbes sont des mouvements libres - Pour un mouvement libre, l’accélération est nulle: cette condition entraîne que ces courbes sont des géodésiques du bon espace. L’espace-temps accomodant la gravitation est donc courbe!! Ainsi, une particule en chute libre suit une géodésique de l’espace- temps courbe (extension du principe de l’inertie)

Mais comment déterminer cet espace-temps? Contenu (physique) matériel et énergétique Géométrie variable de l ’espace-temps Inversement, une particule libre y décrit une géodésique. D ’après le ppe d ’équivalence, cet espace courbe est localement (espace tangent) minkowskien: les lois de la R.R. sont valides localement... La gravitation est la manifestation de cette courbure!!