La relation entre le taux d’intérêt discret et continu
PLACEMENT BANCAIRE DE 100$ Taux d’intérêt: 10 % Investissement Initial A : 100 $ Nombre d’année : 1
Relation à expliquer A eRcⁿ = A [ 1 + Rm/m]mⁿ Cette équation détermine la relation entre l’investissement d’un capital A à un taux d’intérêt continu et celui à un taux d’intérêt discret
VF = A eRc*ⁿ La valeur finale du portefeuille A pourrait croitre de eRc*ⁿ Taux d’intérêt continu * nombre d’année
On utilise alors un taux continu Rc VF = A eRc*ⁿ On supposera que la capitalisation est faite à chaque instant. Le nombre de périodes tend vers l’infini et la durée des périodes tend vers 0. On utilise alors un taux continu Rc
VF = A [ 1 + Rm/m]mⁿ La valeur future de l’investissement avec un taux discret varie selon la périodicité du taux : annuelle, semestrielle, trimestrielle, hebdomadaire…etc.
VF = A [ 1 + Rm/m ]mn m représente le nombre de période par an « pour une périodicité mensuelle : m = 12 »
VF = A [ 1 + Rm/m ]mⁿ L’intérêt sera capitalisé m fois pendant l’année au taux d’intérêt par m-ième de période égal à
ET la valeur cumulée est
VF = 100[ 1 + Rm/m ]mⁿ Fréquence périodique Valeur Finale 1 110.000 $ 2 110.250 $ 4 110.381 $ 12 110.471 $ 360 110.516 $ CONTINU 110.517 $
VF = A [ 1 + Rm/m ]mⁿ On constate que VF augmente avec le nombre des périodes de capitalisation
VF = 100 eRc*ⁿ Si on applique un taux d’intérêt jusqu'à l’infini c'est-à-dire sous la forme continue, on obtient la valeur finale la plus élevée qui correspond à 110.517$.
Rendement périodique équivalent Rm = m ( eRc/m⁻¹ ) Fréquence périodique Valeur Finale Rendement périodique équivalent Rendement continu 1 110.000 $ 10 % 9.531 % 2 110.250 $ 9.7618 % 4 110.381 $ 9.6455 % 12 110.471 $ 9.5690 % 360 110.516 $ 9.5323 % CONTINU 110.517 $ 9.5310 %
Rendement continu Rc = mLn[ 1 + Rm/m] Fréquence périodique Valeur Finale Rendement périodique équivalent Rendement continu 1 110.000 $ 10 % 9.531 % 2 110.250 $ 9.7618 % 4 110.381 $ 9.6455 % 12 110.471 $ 9.5690 % 360 110.516 $ 9.5323 % CONTINU 110.517 $ 9.5310 %