Algèbre de BOOLE

Contenu de cours Introduction Portes logiques de base Propriétés algébriques Fonctions logiques Simplification des fonctions logiques

Introduction George Boole est un mathématicien anglais ( 1815-1864). Il a fait des travaux dont les quels il parle: d’algèbre binaire De variables booléennes : que ne prennent que deux valeurs VRAI ou FAUX. D’opérateurs décrits par une table de vérité Et d’opérateurs réalisés par des portes logiques

Portes logiques de base 4

Opération suiveuse (OUI) Table de Symbole français Équation vérité S = A A S 1 A S Symbole américain

Opération inverseuse (NON)

Opération produit (ET)

Opération somme (OU)

Opération NON-ET (NAND)

Opération NON-OU (NOR)

Opération OU exclusif (XOR)

Opération NON OU exclusif (XNOR) Table de Symbole normalisé Équation vérité ____ S = A⊕B A B S 1 Symbole usuel

Propriétés algébriques 13

Lois ET OU Identité 1.A = A 0+A = A Nullité 0.A = 0 1+A = 1 Associativité (A.B).C = A.(B.C) (A+B)+C = A+(B+C) Commutativité A.B = B.A A+B = B+A Distributivité A.(B+C) = A.B + A.C Idempotence A.A = A A+A = A

Lois ET OU Inversion Absorption (1) A.(A+B) = A A+A.B = A (2) Loi de De Morgan Involution

Algèbre de Boole: démonstrations

>1 & & Exemple d’application : Simplification : S = c (a + b) a a + b.c b b.c & & S = c.(a + b.c) c Simplification : S = c.(a + b.c) S = a.c + b.c.c S = a.c + b.c S = c (a + b)

Fonctions logiques 18

C’est une fonction qui relie N variables logiques avec un ensemble d’opérateurs logiques de base. Dans l’Algèbre de Boole il existe trois opérateurs de base : NON , ET , OU. La valeur d’une fonction logique est égale à 1 ou 0 selon les valeurs des variables logiques. Si une fonction logique possède N variables logiques  2n combinaisons alors la fonction possède 2n valeurs. Les 2n combinaisons sont représentées dans une table qui s’appelle table de vérité ( TV ). Fonction logique 19

Fonction logique Exemple d’une fonction logique La fonction possède 3 variables  23 combinaisons A B C F 1 Fonction logique Une table de vérité 20

Extraction de la fonction logique à partir de la Table de Vérité Exemple : A B C S 1 21

F = produit des max termes F = somme des min termes F = produit des max termes 22

Forme canonique d’une fonction logique On appelle forme canonique d’une fonction la forme où chaque terme de la fonction comporte toutes les variables. Exemple : Il existe plusieurs formes canoniques : les plus utilisées sont la première et la deuxième forme . 23

Première forme canonique Première forme canonique (forme disjonctive) : somme de produits C’est la somme des min termes. Une disjonction de conjonctions. Exemple : Cette forme est la forme la plus utilisée. 24

Schéma d’un circuit logique ( Logigramme) Deuxième forme canonique Deuxième forme canonique (conjonctive): produit de sommes Le produit des max termes Conjonction de disjonctions Exemple : Schéma d’un circuit logique ( Logigramme) 25

Exercice 1 Déterminer la première et la deuxième forme canonique à partir de la TV suivante ? A B F 1 26

Schéma d’un circuit logique ( Logigramme) C’est la traduction de la fonction logique en un schéma électronique. Le principe consiste à remplacer chaque opérateur logique par la porte logique qui lui correspond. Exemple1

Exercice 1 Donner le logigramme des fonctions suivantes :