Robert Botet Martine Meireles, Marie-Laure Rami, Bernard Cabane Comportement de dispersions colloïdales hétérogènes en taille - inversion des données saxs- Robert Botet Martine Meireles, Marie-Laure Rami, Bernard Cabane

Les sphères polydisperses… On voudrait analyser les courbes SAXS d’un empilement compact de sphères très polydisperses mais c’est difficile… structure aléatoire la plus compacte possible avec une distribution log-normale des rayons des grains

Les sphères polydisperses… On voudrait analyser les courbes SAXS d’un empilement compact de sphères très polydisperses mais c’est difficile… bien qu’on sache calculer numériquement le I(q)… donc fit, etc…

Les sphères polydisperses… Alors, on commence par un système très dilué de sphères très polydisperses c’est plus facile… système dilué de sphères avec une distribution log-normale des rayons des grains

Intensité SAXS par des sphères polydisperses… Si dilué que le facteur de structure = 1, et donc… avec f(r) = distribution des rayons

Inversion de l’intensité SAXS par des sphères polydisperses… et… un miracle mathématique!…

Inversion de l’intensité SAXS par des sphères polydisperses… (Titchmarsh, 1924) et… un miracle mathématique!  il existe une formule d’inversion exacte avec:

Inversion de l’intensité SAXS par des sphères polydisperses… (Titchmarsh, 1924) et… un miracle mathématique!  il existe une formule d’inversion exacte …mais elle n’est malheureusement pas utilisée…

Pourquoi la formule Bateman-Titchmarsh-Fox n’est pas utilisée… Connaître les valeurs exactes de f(r) demande une quantité infinie d’information …et les données expérimentales n’en fournissent qu’une quantité finie… q=1.0552 10-2 nm-1 q=1.0966 10-2 nm-1 q=1.1380 10-2 nm-1 q=1.1794 10-2 nm-1 q=1.2208 10-2 nm-1 q=1.2622 10-2 nm-1 q=1.3036 10-2 nm-1 q=1.3450 10-2 nm-1 q=1.3864 10-2 nm-1 q=1.4278 10-2 nm-1 …

Une autre façon d’utiliser la formule Bateman-Titchmarsh-Fox… n’essayez pas de calculer exactement f(r): une bonne valeur moyenne suffit… f(r) <f(r)> r-Dr/2 r r+Dr/2 … où <f(r)> est la valeur moyenne de la distribution sur un petit intervalle Dr centré en certaines valeurs de r

Une autre façon d’utiliser la formule Bateman-Titchmarsh-Fox… théorie de l’information →# optimum de valeurs de r et écart minimum entre ces valeurs, cohérents avec la quantité d’information contenue dans les données de SAXS <f(r)> (Taupin et Luzzati, 1982) … … r1 rmax r

Exemple: l’échantillon 17c connaissant qmin=1.10-2 et qmax=4.10-4, la théorie de l’information donne: rmax=300nm Dr=2.7nm et la <distribution des rayons>:

Exemple: l’échantillon 17c théorie de l’information: rmax=300nm Dr=2.7nm et la <distribution des rayons>:

Exemple: l’échantillon 17c théorie de l’information: rmax=300nm Dr=2.7nm donc pas d’information pour r < 2.7nm et r > 300nm … si on en veut, il faut utiliser d’autres expériences par exemple: Surface spécifique : 15.6m2/g Pression osmotique: 1 kPa pour f=10% compatibles avec le loi trouvée et extrapolée entre r0=1.5nm et r1=50nm

Exemple: l’échantillon 17c théorie de l’information: rmax=300nm Dr=2.7nm … et si on veut une précision plus grande que Dr ?... Dr=1nm

Exemple: l’échantillon 17c théorie de l’information: rmax=300nm Dr=2.7nm … et si on veut une précision plus grande que Dr ?... …et si on rajoute un bruit à I(q)?... Dr=1nm <(DI)2>=0.05I(q)

Conclusion… Il semble que la formule de Bateman-Titchmarsh-Fox donne de bons résultats pour l’inversion de l’intensité SAXS par des systèmes très dilués de billes polydisperses, si l’on veut bien se limiter à la précision déduite de la théorie de l’information on a alors accès à une valeur moyenne de la distribution en taille en des valeurs imposées des rayons (dépendantes du domaine des valeurs expérimentales de q utilisées)