CARACTERISTIQUES D’INERTIE DES SOLIDES 1/13 CARACTERISTIQUES D’INERTIE DES SOLIDES 1) CENTRE D’INERTIE 2) MOMENT D’INERTIE 3) MATRICE D’INERTIE 4) SOLIDES ELEMENTAIRES

1) CENTRE D’INERTIE a) Définition : 2/13 a) Définition : On appelle centre d’inertie (ou centre de gravité) d’un solide S le point G, unique et fixe dans S, défini par : intégrale triple Sur l’ensemble du solide S. M est un point « courant » qui décrit totalement le solide S. si solide homogène : si g est constant : centre de masse = centre de volume centre de masse = centre de gravité Habituellement nous « mélangerons » tous ces points… Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie Solides élémentaires

s’il existe, pour un solide S, 3/13 b) Propriétés : Symétrie matérielle : s’il existe, pour un solide S, un élément de symétrie (plan, axe), d’un point de vue répartition des masses, le centre d’inertie G appartient alors à cet élément de symétrie. Nous sommes très souvent dans cette situation avec un plan de symétrie ou un axe de révolution. Différent d’un axe de symétrie ! Axe de révolution (et de symétrie) Axe de symétrie (mais pas de révolution) Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie Solides élémentaires

soit A un point quelconque, on a : 4/13 Position : soit A un point quelconque, on a : Relation de barycentre. Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie Solides élémentaires

si on appelle ( xG yG zG ) les composantes de Nota : 5/13 si on appelle ( xG yG zG ) les composantes de Nota : on a en projection sur les axes du repère : Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie Solides élémentaires

masses respectives mi et de centres d’inertie Gi , on a : Associativité : pour un ensemble de n solides Si de 6/13 masses respectives mi et de centres d’inertie Gi , on a : masse totale Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie Solides élémentaires

Par simple associativité, on a : 1 2 3 G3 G1 G2 y x z O 7/13 c) Exemple : Symétrie xG = 0 Par simple associativité, on a : en projection sur y et z ou bien : Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie Solides élémentaires

 H V = dv = Application à un cylindre 8/13 R H O z x y Prenons l’élément de matière suivant : dy dr r y  Préliminaire calcul du volume : H dv = V = Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie Solides élémentaires

Finalement : Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie 9/13 Finalement : Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie Solides élémentaires

Partons de la définition H O z x y 10/13 Calcul de la position du centre de gravité : Par symétrie G est sur l’axe O y Il appartient aussi au plan médian horizontal (par symétrie) mais faisons comme si on ne l’avait pas vu… dy dr r y  Partons de la définition Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie Solides élémentaires

 Calcul de yG H O y R x z y r dr dy Centre d’inertie Moment d’inertie 11/13 dy dr r y  Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie Solides élémentaires

 d’où : soit : H O y R x z y r dr dy Centre d’inertie Moment 12/13 d’où : dy dr r y  soit : Centre d’inertie Moment d’inertie Matrice d’inertie Solides élémentaires

Ce qu’il faut avoir retenu 13/13 Ce qu’il faut avoir retenu (minimum « vital »…) Savoir utiliser les éléments de symétrie pour déterminer un centre de gravité. Connaître la différence entre un axe de symétrie et un axe de révolution. Savoir utiliser l’associativité et la relation de barycentre. Le calcul intégral pour déterminer un centre de gravité n’est pas au programme…