Commande en boucle ouverte et à horizon fini de l’alunissage de Lunar Lander Dans cette séance : problème de « gouvernabilité » de l’alunissage de Lunar Lander Formulation mathématique du problème de gouvernabilité Solution du problème de gouvernabilité Illustration avec la commande horizontale normalisée de Lunar Lander Calcul et mise en œuvre dans l’animation Lunar Lander Définition du projet associé au cours Commande par Ordinateur * pour retrouver cette présentation, http://cours.polytech.unice.fr/intcom/3.seance ainsi que les scripts TD3Blin.sce et Scilab2Flash.sce, solutions Scilab de TD3

Problème de l’alunissage de Lunar Lander en boucle ouverte et avec un horizon fini À l’instant t = 0, les capteurs de Lunar Lander indiquent sa position et sa vitesse regroupées dans le vecteur d’état X0 Peut-on utiliser les entrées de commandes pour atteindre le point d’alunissage et la vitesse d’impact souhaités (dans Xh) au bout de h périodes d’échantillonnage seulement ? On rappelle l’équation d’état discrétisée de Lunar Lander : S’il existe une solution, quelque soient X0 et Xh, le processus d’alunissage de Lunar Lander est ‘entièrement gouvernable’ et h est l’horizon (fini) de l’alunissage (de durée hTe) 29/11/2018

Formulation mathématique du problème de gouvernabilité lors de l’alunissage de Lunar Lander Il faut trouver U vérifiant y=GU. G : matrice de gouvernabilité, U : vecteur des commandes successives h : horizon de la commande y dépend de X0, Xh, et A 29/11/2018

Importance de la matrice de gouvernabilité G Il s’agit de trouver un vecteur U de taille 2h vérifiant : G est la matrice d’une application de R2h dans R4, et possède 4 lignes et 2h colonnes, soit gk le kième vecteur colonne de G : 29/11/2018

Conditions d’existence d’une ou plusieurs solutions au problème de gouvernabilité de Lunar Lander S’il existe quatre vecteurs colonnes linéairement indépendants dans la matrice G, ces vecteurs forment une base de R4, et il existe au moins une solution U : soient ga, gb, gc et gd ces quatre vecteurs, D’où la solution U où toutes les composantes sont nulles sauf les quatre composantes ua, ub, uc, et ud puisque : On dit aussi que G est de rang 4, et que G est de rang complet 29/11/2018

Solution du problème de gouvernabilité de Lunar Lander Si h = 2, G est carrée, si elle est de rang 4, elle est inversible, et il existe une et une seule solution Si h > 2, et G de rang 4, la matrice (GGT)-1 existe (cf. démo ci-dessous) d’où une solution du problème de gouvernabilité : Vérification : G+ est une pseudo inverse à droite de G car : Démonstration de l’existence de (GGT)-1 : l'application U  y= GU engendre R4, et détermine une application surjective de R2h dans R4 : pour tout y, il existe au moins un vecteur U tel que y= GU. L’application y  U= GTy est une injection de R4 dans R2h : u = GTy et u = GTy1 => y = y1. L’application : yx=GGT y est une bijection de R4 (composition d’une injection et d’une surjection) et GGT est inversible C.Q.F.D. 29/11/2018

Alunissage de Lunar Lander ‘en temps minimal’ équations horizontale et verticale de Lunar Lander : Pour le mouvement horizontal de Lunar Lander : Quel est le vecteur d’état final Xh ? Que vaut la matrice G si h=2 ? Quel est le rang de G ? Quel est la durée d’alunissage ? Comment calculer le vecteur des commandes ? Qu’est ce qui change pour le mouvement horizontal ? 29/11/2018

Pour simplifier : on fait le calcul pour le mouvement horizontal normalisé (c’est-à-dire e=1 ms-1kg-1, Te=1s) Note : pour le mouvement vertical, peu de modification, si ce n’est qu’il faut retrouver la commande ay appliquée au réacteur vertical en ajoutant à la commande u le terme glune/e. 29/11/2018

Calcul de la commande en boucle ouverte avec h=2 du mouvement horizontal normalisé de Lunar Lander (on utilise Matlab) %séance 3 s=ss([0,1;0,0],[0;1],[1 0],0) Te=1 % échantillonnage (s) sd=c2d(s,Te) ad=get(sd,'a') bd=get(sd,'b') G=[ad*bd, bd] x0=[1 0]‘; xf=[0;0]; a=inv(G)*(xf-(ad^2)*x0) x1=ad*x0+bd*a(1) x2=ad*x1+bd*a(2) x=[x0,x1,x2] plot(x(1,:),x(2,:)) maxcom=num2str(max(abs(a))); carbu=num2str(sum(abs(a)))*Te Dure=num2str(2*Te) title([‘maxcom’, maxCom, ‘carburant’,carbu, ‘durée’,dure]) grid, xtitle(‘x’),ytitle=(‘dx/dt’); Matlab  Scilab %  // ss  syslin c2d  dscr num2str  string 29/11/2018

Que se passe t’il si l'horizon augmente ? h=3 puis h=6 Ici on représente la trajectoire dans le plan de phase (x, dx/dt) 29/11/2018

Application avec Scilab : alunissage de Lunar Lander en boucle ouverte avec un horizon de h=100 périodes d’échantillonnage //tiré du script : TD3Blin.sce Te = 0.04; h = 100; // horizon Tvol= h*Te;//durée d‘alunissage X0= [45;1;51;-1]; //état initial Xh = [0;0;0;0] // état d’alunissage //équations de Lunar Lander mvide= 6839; // masse à vide (kg) mfuel= 816.5; // masse de carburant (kg) m= mvide+ mfuel; // masse totale ve= 4500; // vitesse d'éjection (en m/s) erg= ve/m; // noté epsilon g_lune= 1.6; //gravité lunaire en m/s² A = [0,1,0,0;0,0,0,0;0,0,0,1;0,0,0,0]; B = [0,0;erg,0;0,0;0,erg]; C = [1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; ll = syslin('c', A, B, C); //discrétisation des équations Lunar Lander lld = dscr(ll, Te); Ad = lld('a'); Bd = lld('b'); Cd = lld('c'); // //calcul de la matrice de gouvernabilité G = Bd; //Calcul de G for n = 1:h-1 do G = [(Ad^n)*Bd, G]; end if rank(G) <> size(Ad,1) disp("pas de solution") else // calcul de la solution y = Xh - (Ad^h) * X0; Gt = G'; u = (Gt * (inv(G * Gt))) * y; //vecteur des commandes des réacteurs a = u; //calcul de ay(n)= u(2*n)+glune/erg for n = 1:h do a(2*n) = a(2*n) + g_lune/erg end disp(sum(abs(a))*Te, "Consommation :") disp(max(abs(a)), "Commande maximale") // //Scilab2text : a dans 'com.txt' fileid='com.txt' fp=mopen(pwd()+'\'+fileid,'w'); Kt=u'; Ks=string(u(1)); for k=2:length(u), Ks=Ks+','+string(Kt(k)); mputstr(Ks,fp); mclose(fp); 29/11/2018

Mise en œuvre des résultats du script précédent ‘o’ clavier pour ce mode de commande commandes successives des réacteurs ax et ay lues dans le fichier ‘com.txt’. h=100 Te = 40 ms Tvol = 4 s fuel consommé : 123 kg commande maximale : 34 m/(kg*s) 29/11/2018

Description du projet associé au cours Objectif : simuler les équations et la loi de commande d’un processus physique par un ordinateur Technologie : html5 et javaScript, Processing, … vtk ? Phaser? Effectifs : deux à trois élèves par groupe de projet Durée : les quatre séances de travaux dirigés à venir Scilab : discrétise le processus et calcule la loi de commande Sujet du projet (détails, cf. page suivante) Résultats demandés : Notice de l’application avec les équations, la loi de commande, l’utilisation Un exécutable Windows, ou une page html, ou … 29/11/2018

Description du projet associé au cours Cadre et contenu imposé du projet Choisir un processus physique linéaire d’ordre 1, 2, 2x2= 4 comme Lunar Lander, … Écrire les équations du processus sous la forme de commande de la représentation d’état. Discrétiser les équations du processus au besoin avec ou sans l’aide de Scilab Simuler la commande manuelle de la sortie du processus, i.e. on contrôle directement les entrées de commande avec le clavier, la souris, … Ajouter une loi de commande des sorties du processus: pour contrôler les sorties, on fixe maintenant une consigne pour le système bouclé avec le clavier, la souris, … Tester la stabilité, le temps de réponse, la précision du système bouclé Sur un tableau de bord, on affichera l’état du processus, le temps simulé, les entrées de commande la valeur maximum des entrées de commande, l’énergie de commande. [Selon le temps disponible : on ajoute une animation même rudimentaire pour augmenter le caractère ludique de la simulation, ainsi que des scores, des sons, et un jeu simple (réflexe, adresse, stratégie d’économie d’énergie, …) 29/11/2018

Exemple du projet de J. et A. Boursier (2012-13) 29/11/2018

Saisir ‘T’, cliquer pour construire la trajectoire point par point 29/11/2018