Présentation des nouveaux programmes de sixième B. Jauffret et C. Roncin IA IPR de mathématiques.

Extrait de l’introduction générale des programmes du collège « A l’école primaire, une proportion importante d’élèves s’intéresse à la pratique des mathématiques et y trouve du plaisir. Le maintien de cet intérêt pour les mathématiques reste une préoccupation du collège… » D’emblée, la nécessité d’une continuité est affichée au niveau des objectifs Extrait de l’introduction générale des programmes du collège

Extrait de l’introduction générale des programmes du collège « Il est possible de se livrer, à partir d’un nombre limité de connaissances, à une activité mathématique véritable, avec son lot de questions ouvertes, de recherches pleines de surprises, de conclusions dont on parvient à se convaincre. Une telle activité, accessible aux élèves, a une valeur formatrice évidente et leur permet d’acquérir les savoirs et savoir-faire qui leur seront nécessaires. » Les programmes rénovés pour le collège, et tout particulièrement celui de sixième, ont été conçus en mettant l’accent sur l’indispensable continuité entre les deux niveaux. Un premier signal fort : l’organisation générale des programmes Extrait de l’introduction générale des programmes du collège

Organisation des programmes

Objectifs de chaque champ pour la classe de sixième

Organisation et gestion de données, fonctions. Mettre en place les principaux raisonnements qui permettent de traiter les situations de proportionnalité Proportionnalité Initier à la représentation de données sous diverses formes (tableaux, graphiques,…) Gestion de données : organisation et représentation.

Nombres et calcul conforter et étendre les connaissances sur les décimaux : désignation, ordre, calcul Nombres entiers. mettre en place une nouvelle signification de l’écriture fractionnaire (quotient de deux entiers) Fraction et quotient développer le calcul mental et l’utilisation rationnelle des calculatrices Deux questions

Géométrie compléter la connaissance des propriétés de certaines figures planes et du parallélépipède rectangle, les reconnaître dans une configuration complexe. utiliser les propriétés de la symétrie axiale, reliées aux notions de médiatrice d’un segment et de bissectrice d’un angle. maîtriser l’usage de techniques de construction et l’utilisation des instruments adaptés. (triangles, rectangle, losange, cerf-volant, carré, cercle)

À l ’école… (extrait du doc. d’accompagnement des nouveaux programmes de l’école primaire) L’une des finalités du travail relatif à la géométrie à l’école élémentaire est d’amener les élèves à passer d’une reconnaissance perceptive des objets mathématiques du plan et de l’espace à une connaissance de ces objets appuyée sur certaines propriétés, vérifiées à l’aide d’instruments. Cette géométrie est donc essentiellement expérimentale, même si quelques questions nécessitant des déductions doivent déjà être proposées. Elle est organisée autour de cinq grands types de problèmes: reproduire, décrire, représenter, construire, localiser.

En sixième… (extrait du doc. d’accompagnement des nouveaux programmes de l’école primaire) En sixième, où la géométrie occupe une place nettement plus importante qu’à l’école primaire (environ un tiers du temps au collège contre un cinquième du temps dédié aux mathématiques à l’école primaire), les élèves ne travaillent pas sur des objets nouveaux. Les travaux conduits à ce niveau doivent prendre en compte les acquis antérieurs, évalués avec précision et se fixer de nouveaux enjeux. Les activités conduites doivent viser en particulier à stabiliser les connaissances des élèves, à les structurer, et peu à peu à les hiérarchiser… avec notamment, un objectif d’initiation à la déduction.

Géométrie à l’école et au collège Validation : appui sur le dessin Objets: reconnaissance de forme (perception, intuition, utilisation des instruments) Validation : appui sur le texte qui définit la figure Objets: - les solides sont définis par leur forme - les quadrilatères changent de statut En 6ème la géométrie occupe une place nettement plus importante qu’à l’école (environ 2/3 du temps contre 1/5) En 6ème, les élèves ne travaillent pas sur de nouveaux objets; ce sont les enjeux qui changent École : dessin (unique) Collège : figure (objet de référence, correspond à plusieurs dessins possibles) Préparation à l’école: Par un travail sur les dessins pour passer d’une analyse perceptive à une analyse instrumentée (connaissance des propriétés) Activités clefs: Décrire Reproduire (il faut d’abord analyser, travail sur les propriétés) Représenter à main levée, faire un schéma (se détacher de la réalité) Travailler à partir d’un schéma (ne plus mesurer sur le dessin mais lire l’information dans le texte ou codée pour amener l’idée que le texte est prioritaire sur le réel) Construire un dessin, réaliser un objet Localiser: reconnaître une figure dans une figure complexe (passage du perceptif à l’expérimenté)

Exercice de passage       D E A B C 4 7 Calculer EB Calculer EB

Grandeurs et mesure Compléter les connaissances relatives aux longueurs, masses et durées Consolider la notion d’angle, à partir des premières expériences de l’école primaire Assurer la maîtrise de la notion d’aire (distinguée de celle de périmètre) et celle du système d’unités de mesure des aires Mettre en place la notion de volume et commencer l’étude du système d’unités de mesure

Objectifs généraux

Objectifs visés Consolider, enrichir et structurer les acquis de l’école primaire Préparer à l’acquisition des méthodes et des modes de pensée caractéristiques des mathématiques développer la capacité à utiliser les outils mathématiques dans différents domaines (vie courante, autres disciplines)

Prise en compte des connaissances antérieures des élèves mettre en valeur des points forts et repérer des difficultés de chaque élève à partir d’évaluations diagnostiques faire fonctionner les notions et « outils » déjà étudiés dans de nouvelles situations, autrement que par des révisions

Activité mathématique de l’élève Elle doit être essentiellement orientée vers : la résolution de problèmes la modélisation de quelques situations l’apprentissage progressif de la démonstration La place centrale des résolutions de problèmes: Identifier et formuler un problème ; Conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples ; Bâtir une argumentation ; Contrôler les résultats obtenus ; Communiquer une recherche ; Mettre en forme une solution. Initiation progressive à la démonstration: La préoccupation de prouver et de démontrer ne doit pas se cantonner au domaine géométrique ; Il y a lieu de distinguer la recherche de la mise en forme d’une preuve ; On passe progressivement d’une validation orale à une démonstration écrite. École: maîtrise de la langue Écrire=plus narration de recherche que démonstration.

Lire, écrire, parler en mathématiques. Lire : s’entraîner à mieux lire et mieux comprendre un texte mathématique Ecrire :  - écrits « de recherche » écrits destinés à être communiqués et discutés qui doivent faire l’objet d’un souci de lisibilité et d’explicitation écrits « de référence » destinés à être conservés (cours, corrigés) produire des textes destinés à être l’objet d’une amélioration progressive du point de vue de la précision du langage et de la rigueur ; et être capable de bien distinguer et de mettre en œuvre les trois types d’écrit :

Lire, écrire, parler en mathématiques. - articuler et formuler les différentes étapes d’un raisonnement  communiquer, argumenter à propos de la validité d’une solution améliorer la précision du langage pour se faire comprendre des autres lors d’un débat argumentatif La place accordée à l’oral doit rester importante

Travail personnel des élèves Il est indispensable pour que les élèves parviennent à consolider leurs connaissances et à acquérir une certaine autonomie, tant en classe que hors de la classe. Il n’est pas forcément écrit : cette habitude de travail hors de la classe peut être prise très tôt dans la scolarité.

Proportionnalité « La résolution de problèmes de proportionnalité, déjà travaillée à l’école primaire, se poursuit avec des outils nouveaux », il s’agit de : Traiter les problèmes de proportionnalité en utilisant des raisonnements appropriés (passage à l’unité, rapport de linéarité, coefficient de proportionnalité) ; Reconnaître si une situation relève ou non de la proportionnalité ; Appliquer un taux de pourcentage. Organisation et gestion de données, fonctions

Gestion de données : organisation et représentation. A l’entrée en sixième, les résultats des évaluations nationales montrent que les élèves sont capables de lire les informations à partir d’un tableau ou d’un graphique. Il s’agit de les amener à organiser eux-mêmes des données en choisissant un mode de représentation adapté (pour les tableaux) et de poursuivre l’interprétation des autres types de graphiques. Nombres et calcul

Nombres entiers. Pour les nombres entiers naturels, les connaissances relatives : à la désignation orale, littérale ou chiffrée à l’ordre sont attendues et indispensables à la poursuite des apprentissages au collège.

Nombres décimaux. En s’appuyant sur le travail fait à l’école, il s’agit de : connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture d’un entier ou d’un décimal associer diverses désignations d’un nombre décimal (écriture à virgule, fraction décimale) comparer des nombres, les ranger, les placer sur une droite graduée, intercaler un nombre entre deux autres les règles utilisées doivent être justifiées en s’appuyant sur la signification des écritures décimales donner des valeurs approchées et rechercher des ordres de grandeur

Écritures décimales • Du côté de l’école primaire, le travail sur la compréhension des écritures décimales (valeur des chiffres en fonction de leur position, relations entre unités de rangs différents) est insuffisant et laisse trop rapidement la place à la mise en place de techniques ou de questions formelles (repérage du chiffre des dizaines et de celui des unités, par exemple)  • Du côté du collège, une reprise est nécessaire, sans refaire ce qui a été fait à l’école primaire, mais en sollicitant en permanence la compréhension des écritures décimales… et donc en évitant d’aller trop rapidement vers l’utilisation de techniques non justifiées Nombres et calcul Extraits de la conférence de Roland Charnay aux journées IG-IPR de mathématiques de Lyon le 18 mai 2004

Fraction et quotient « La notion de quotient occupe une place centrale en sixième sous ses différentes significations : quotient euclidien, décimal, fractionnaire ». Il s’agit donc de mettre en place une nouvelle signification de l’écriture fractionnaire en interprétant le quotient de deux entiers a et b comme le nombre qui, multiplié par b, donne a.

Fractions ou quotient d’entiers ? Deux constructions d'un segment ayant pour longueur cm. Construction sollicitant l'aspect “fraction” et l'expression “Douze septièmes” Construction sollicitant l'aspect “quotient” et l'expression “Le septième de 12 cm” Les deux segments obtenus ont-ils bien la même longueur ?

Les fractions sont des nombres. Depuis l'école, on sait que 14, c'est 2 fois 7, ce qu'on écrit : 7  2, et que 12 n'est pas égal à un nombre entier de fois 7. En revanche, les exemples traités précédemment dans le cadre des mesures de longueur donnent du sens à l'énoncé suivant : « 12, c'est fois 7 » , ce que l'on note : la multiplication d’un entier ou d’un décimal par le quotient de deux entiers : « prendre une fraction » d’une quantité. Autrement dit, est le nombre qui, multiplié par 7, donne 12.

Nombres : changement de point de vue : douze septièmes 1,2 : une unité et deux dixièmes : septième de douze 1,2 : dixième de 12 12/7 est un nombre, pas une opération à effectuer Ces nouveaux nombres vont pouvoir servir pour traiter des problèmes de proportionnalité là où les nombres entiers ou décimaux ne suffisent pas, tout en gardant les mêmes procédures de traitement (généralisation du “nombre de fois”).

Evolution de la notion de nombre au cours de la scolarité Des entiers naturels aux décimaux : renoncer à l’idée de nombres qui se suivent accepter l’intercalation "sans fin" Passage aux fractions quotients : accepter qu’un nombre ne s’exprime pas nécessairement par une suite de chiffres Passage aux négatifs : renoncer au fait qu’un nombre exprime une quantité ou la mesure d’une grandeur Nombres et calcul

Deux questions Quels sont les besoins en calcul du futur acteur social et professionnel ? Quels sont les besoins en calcul pour l’apprentissage des mathématiques ?

Apprendre à calculer pour… apprendre à rendre calculables des situations par un travail de modélisation (cf. résolution de problèmes) apprendre à traiter des calculs de façon automatisée ou raisonnée pour aboutir à un résultat exact ou approché apprendre à organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine (Cf. initiation à l’usage du tableur au collège)

Calcul mental Calcul d’usage, utile dans la vie ordinaire Indispensable pour le calcul posé Moyen privilégié de contrôle Calcul réfléchi : lien entre raisonnement et calcul Indispensable à l'acquisition de nouvelles connaissances, à leur représentation mentale Aide à la résolution de problèmes : se ramener à un cas qui peut être traité mentalement Calcul réfléchi : lien entre raisonnement et calcul (choix et mise en œuvre d'une procédure adaptée), utilisation de connaissances sur les nombres et les opérations sur les nombres

Calcul instrumenté l’utilisation d’une machine ou d'un logiciel doit être contrôlée la calculatrice est une aide dans la résolution de problèmes l’apprentissage de certaines fonctionnalités peut être un objectif l’utilisation de la machine ou du logiciel fournit des problèmes

Calcul posé : recentrage dans deux directions Bonne maîtrise des techniques dans des cas dits « simples » Compréhension et justification de ces techniques

L'extension du calcul aux décimaux suppose des restructurations de connaissances Sens de la multiplication liée, pour les entiers, à l'addition itérée Sens de la division liée, pour les entiers, au partage

La multiplication La multiplication d’un nombre décimal par un entier est un acquis du cycle 3. La multiplication de deux nombres décimaux est à mettre en place en sixième, aussi bien du point de vue du sens que du point de vue de la technique posée. Le sens de la multiplication de deux décimaux est en rupture avec celui de la multiplication de deux entiers notamment par le fait que dans ce cas « une multiplication » n’agrandit pas toujours.

La division Au cycle 3, des problèmes mettant en œuvre des divisions euclidiennes ont été résolus par les élèves à l’aide de  procédures personnelles.  En sixième, il s’agit de  reconnaître des situations qui peuvent être traitées à l’aide d’une division euclidienne et d’interpréter les résultats obtenus : on attend la mise en place d’une procédure experte. Les élèves doivent savoir calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers ou d’un décimal par un entier, dans des cas simples Géométrie Calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers ou d’un décimal par un entier, dans des cas simples