Exo 4 : Méthode : parabole si f(x) = ax² + bx + c orientation selon le signe de a axe de symétrie d’équ. x = -b/(2a) sommet coord. ( -b/(2a) ; f(-b/(2a)) ) 5) f(0) puis nombre d’intersections avec l’axe des x, puis signes de leurs abscisses.

Exo 4 : 1°) 4x² - 4x + 1 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 4 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - (- 4) Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = ½ 2a 2(4) ½

Exo 4 : 1°) 4x² - 4x + 1 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 4 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - (- 4) Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = ½ 2a 2(4) f(½) = 4(½)² - 4(½) + 1 = 1 – 2 + 1 = 0 Elle a un sommet de coordonnées ( ½ ; 0 ). ½

Exo 4 : 1°) 4x² - 4x + 1 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 4 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - (- 4) Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = ½ 2a 2(4) 1 f(½) = 4(½)² - 4(½) + 1 = 1 – 2 + 1 = 0 Elle a un sommet de coordonnées ( ½ ; 0 ). f(0) = 1 ½

Exo 4 : 1°) 4x² - 4x + 1 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 4 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - (- 4) Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = ½ 2a 2(4) 1 f(½) = 4(½)² - 4(½) + 1 = 1 – 2 + 1 = 0 Elle a un sommet de coordonnées ( ½ ; 0 ). f(0) = 1 Il y a 1 solution à l’équation f(x) = 0 ½ d’abscisses ½ positive.

Exo 4 : 2°) x² + 5x - 9 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 1 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - 5 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - 2,5 2a 2(1) -2,5

Exo 4 : 2°) x² + 5x - 9 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 1 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - 5 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - 2,5 2a 2(1) -2,5 f(½) = (- 2,5)² + 5(- 2,5) – 9 = - 15,25 Elle a un sommet de coord. (- 2,5 ; - 15,25 ). -15,25

Exo 4 : 2°) x² + 5x - 9 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 1 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - 5 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - 2,5 2a 2(1) -2,5 f(½) = (- 2,5)² + 5(- 2,5) – 9 = - 15,25 Elle a un sommet de coord. (- 2,5 ; - 15,25 ). -9 f(0) = - 9 -15,25

Exo 4 : 2°) x² + 5x - 9 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 1 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - 5 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - 2,5 2a 2(1) -2,5 f(½) = (- 2,5)² + 5(- 2,5) – 9 = - 15,25 Elle a un sommet de coord. (- 2,5 ; - 15,25 ). -9 f(0) = - 9 Il y a 2 solutions à l’équation f(x) = 0 -15,25 d’abscisses l’une positive et l’autre négative.

Exo 4 : 3°) - 2x² + 16x - 34 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 2 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - 16 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 4 2a 2(- 2) 4

Exo 4 : 3°) - 2x² + 16x - 34 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 2 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - 16 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 4 2a 2(- 2) 4 f(4) = - 2(4²) + 16(4) – 34 = - 2 -2 Elle a un sommet de coord. ( 4 ; - 2 ).

Exo 4 : 3°) - 2x² + 16x - 34 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 2 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - 16 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 4 2a 2(- 2) 4 f(4) = - 2(4²) + 16(4) – 34 = - 2 -2 Elle a un sommet de coord. ( 4 ; - 2 ). f(0) = - 34 -34

Exo 4 : 3°) - 2x² + 16x - 34 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 2 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - 16 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 4 2a 2(- 2) 4 f(4) = - 2(4²) + 16(4) – 34 = - 2 -2 Elle a un sommet de coord. ( 4 ; - 2 ). f(0) = - 34 -34 Il y a 0 solution à l’équation f(x) = 0

Exo 4 : 4°) - 9x² - 6x - 1 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 9 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - (- 6) Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - ⅓ 2a 2(- 9) -⅓

Exo 4 : 4°) - 9x² - 6x - 1 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 9 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - (- 6) Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - ⅓ 2a 2(- 9) -⅓ f(- ⅓ ) = - 9(- ⅓)² - 6(- ⅓) – 1 = - 1 + 2 – 1 = 0 Elle a un sommet de coord. ( - ⅓ ; 0 ).

Exo 4 : 4°) - 9x² - 6x - 1 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 9 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - (- 6) Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - ⅓ 2a 2(- 9) -⅓ f(- ⅓ ) = - 9(- ⅓)² - 6(- ⅓) – 1 = - 1 + 2 – 1 = 0 Elle a un sommet de coord. ( - ⅓ ; 0 ). -1 f(0) = - 1

Exo 4 : 4°) - 9x² - 6x - 1 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 9 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - (- 6) Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - ⅓ 2a 2(- 9) -⅓ f(- ⅓ ) = - 9(- ⅓)² - 6(- ⅓) – 1 = - 1 + 2 – 1 = 0 Elle a un sommet de coord. ( - ⅓ ; 0 ). -1 f(0) = - 1 Il y a 1 solution à l’équation f(x) = 0 d’abscisse - ⅓ négative.

Exo 4 : 5°) 2x² + 4x + 4 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 2 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - 4 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - 1 2a 2(2) -1

Exo 4 : 5°) 2x² + 4x + 4 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 2 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - 4 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - 1 2a 2(2) f(- 1) = 2(- 1)² + 4(- 1) + 4 = 2 Elle a un sommet de coord. ( - 1 ; 2 ). 2 -1

Exo 4 : 5°) 2x² + 4x + 4 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 2 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - 4 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - 1 2a 2(2) f(- 1) = 2(- 1)² + 4(- 1) + 4 = 2 4 Elle a un sommet de coord. ( - 1 ; 2 ). 2 f(0) = 4 -1

Exo 4 : 5°) 2x² + 4x + 4 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = 2 > 0 donc la parabole est orientée vers le haut. - b - 4 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = - 1 2a 2(2) f(- 1) = 2(- 1)² + 4(- 1) + 4 = 2 4 Elle a un sommet de coord. ( - 1 ; 2 ). 2 f(0) = 4 Il y a 0 solution à l’équation f(x) = 0 -1

Exo 4 : 6°) - 3x² + 9x + 3 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 3 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - 9 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 1,5 2a 2(- 3) 1,5

Exo 4 : 6°) - 3x² + 9x + 3 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 3 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - 9 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 1,5 2a 2(- 3) 9,75 f(1,5) = - 3(1,5²) + 9(1,5) + 3 = 9,75 Elle a un sommet de coord. ( 1,5 ; 9,75 ). 1,5

Exo 4 : 6°) - 3x² + 9x + 3 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 3 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - 9 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 1,5 2a 2(- 3) 9,75 f(1,5) = - 3(1,5²) + 9(1,5) + 3 = 9,75 3 Elle a un sommet de coord. ( 1,5 ; 9,75 ). f(0) = 3 1,5

Exo 4 : 6°) - 3x² + 9x + 3 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 3 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - 9 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 1,5 2a 2(- 3) 9,75 f(1,5) = - 3(1,5²) + 9(1,5) + 3 = 9,75 3 Elle a un sommet de coord. ( 1,5 ; 9,75 ). f(0) = 3 1,5 Il y a 2 solutions à l’équation f(x) = 0 d’abscisses l’une positive et l’autre négative.

C1 positif positif négatif positif C2 négatif positif positif positif Exercice : Tracez sans justifier sur 4 repères différents les formes des courbes suivantes des fonctions polynômes degré 2 : a xsommet ysommet f(0) C1 positif positif négatif positif C2 négatif positif positif positif C3 négatif négatif nul négatif C4 positif négatif positif positif Déduisez-en le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 et le signe de ces solutions.

C1 xs > 0 ys < 0 C1

C1 a > 0 xs > 0 ys < 0 C1

C1 a > 0 xs > 0 ys < 0 f(0) > 0 C1 Méthode : sommet → orientation → f(0)

C1 a > 0 xs > 0 ys < 0 f(0) > 0 C1 L’équation f(x) = 0 a deux solutions, de signes positifs.

C2 xs > 0 ys > 0 C1 2 solutions + + C2

C2 a < 0 xs > 0 ys > 0 C1 2 solutions + + C2

C2 a < 0 xs > 0 ys > 0 f(0) > 0 C1 2 solutions + + C2

C2 a < 0 xs > 0 ys > 0 f(0) > 0 C1 2 solutions + + C2 L’équation f(x) = 0 a deux solutions, l’une de signe positif l’autre de signe négatif.

C2 a < 0 xs > 0 ys > 0 f(0) > 0 C1 2 solutions + + C2 2 solutions - +

C3 xs < 0 ys = 0 C1 C3 2 solutions + + C2 2 solutions - +

C3 a < 0 xs < 0 ys = 0 C1 C3 2 solutions + + C2 2 solutions - +

C3 a < 0 xs < 0 ys = 0 f(0) < 0 C1 C3 2 solutions + + C2 2 solutions - +

C3 a < 0 xs < 0 ys = 0 f(0) < 0 C1 C3 2 solutions + + C2 1 solutions - 2 solutions - +

C4 xs < 0 ys > 0 C1 C3 2 solutions + + C2 1 solutions - C4 2 solutions - +

C4 a > 0 xs < 0 ys > 0 C1 C3 2 solutions + + C2 1 solutions - C4 2 solutions - +

C4 a > 0 xs < 0 ys > 0 f(0) > 0 C1 C3 2 solutions + + C2 1 solutions - C4 2 solutions - +

C4 a > 0 xs < 0 ys > 0 f(0) > 0 C1 C3 2 solutions + + C2 1 solutions - C4 2 solutions - + 0 solution