Le modèle d’évaluation des actifs financiers à l’équilibre Université Mohamed V FSJES AGDAL -Rabat Master Sciences de Gestion. Semestre 2 Séminaire: Finance de marché Le modèle d’évaluation des actifs financiers à l’équilibre Préparé par BENABDELMOUNA Yassir EL MEJDOUBI Hind ELHALOUI ADIL 2008-2009 Encadré par: Mr EL HAJ EZZAHID

PLAN I. Hypothèses du modèle II. Présentation du modèle III PLAN I. Hypothèses du modèle II. Présentation du modèle III. Interprétation du modèle IV. Les prolongements du MEDAFE

I. Hypothèses du modèle Les investisseurs sont averses au risque et maximisent leur espérance d’utilité; Ils ont des anticipations homogènes sur le rendement des actifs qui suivent des lois normales . Ils sont tous d’accord sur la moyenne et la variance qui définissent les lois normales; Les quantités d’actifs offerts sont fixées, les actifs sont parfaitement divisibles; L’information est gratuite et parfaitement disponible pour les investisseurs Le modèle est monopériodique : les moyennes et variances des actifs sont supposées constantes Il existe un actif sans risque que l’on peut prêter et emprunter sans limite

II. Présentation du modèle: la démonstration de Sharpe Elle repose sur les résultats de la gestion de portefeuille moyenne-variance A l’équilibre , le portefeuille de marché (M) doit être sur la frontière d’efficience: Les agents construisent tous la même frontière d’efficience puisqu’ils ont des anticipations homogènes; La frontière d’efficience est obtenue par la combinaison linéaire d’un portefeuille efficient et de l’actif sans risque Les agents détiennent tous le même portefeuille d’actifs risqués, ils adaptent leur portefeuille en fonction de leur attitude face au risque. Les structures des demandes sont toutes identiques: A l’équilibre, les prix sont tels que les proportions de chaque titre sont égales à la valeur de marché du titre/ valeur de marché de tous les titres.

Construction de l’équation du MEDAFE Selon Sharpe, l’investisseur partage sa richesse entre : Un actif risqué (I); Le portefeuille du marché(Y compris le titre (I)) Le portefeuille n’est pas parfaitement diversifié.

On isolant E(r I) on obtient: Le MEDAF permet d'évaluer l'espérance de rentabilité d'un actif risqué (I) On isolant E(r I) on obtient: E(r I) = RF + [E(r M) - RF] Cov (r I, r M) Var (r M) Espérance du Taux La prime de risque d’intérêt rendement sans risque Coefficient β de l’actif risqué (I)

Le coefficient β Signification: Le rapport Cov (r I, r M) Var (r M) est le coefficient de régression des rendements du titre I sur les rendements du marché: C’est la quantité de risque propre à l’actif I.

Interprétation: Si β=1, l’actif ne réagit pas aux mouvements du marché, il rapporte la prime de risque moyenne Si β < 1 , l’actif varie moins que la moyenne , il amorti les chocs provoqués par le mouvement du marché ( c’est un actif défensif. Si β > 1 , l’actif I amplifie les mouvements du marché, ils sont offensifs.

Le MEDAF permet d'évaluer le prix du risque pour les investisseurs, c'est-à-dire l'espérance de rentabilité d'un actif risqué (I)

L ’utilisation du MEDAF dans la gestion de portefeuille Droite du MEDAF La droite de marché est très riche en information, elle permet de déterminer le taux de rentabilité à exiger d’un titre compte tenu du seul risque qui est rémunéré, c'est-à-dire le risque de marché. La pente de la courbe est fonction du degré d’aversion au risque de l’ensemble des investisseurs du Marché

En théorie dans un marché efficient, un actif devrait toujours être sur la droite Mais il existe des inefficiences… (A) a un sur rendement, opportunité d’achat (B) a un sous rendement, trop chère

L’utilisation du MEDAF D’évaluer les stratégies de gestion de portefeuille Déterminer les coûts des capitaux propres. D’approcher le taux d’actualisation en matière du choix d’investissement

L ’utilisation du MEDAF dans la gestion de portefeuille La stratégie d ’investissement passive : portefeuille indexé La stratégie d ’investissement active : rechercher activement les valeurs sous-évaluées ou surévaluées, pour en tirer un profit rapide Question : comment juger la performance d ’un gestionnaire de portefeuille ? Il suffit de comparer la gestion (active) au gain qui aurait été obtenu par une stratégie passive. La différence entre la rentabilité du portefeuille géré et celle du portefeuille « passif » est appelée alpha (a) Un bon gérant aura un alpha positif

L ’utilisation du MEDAF dans la gestion de portefeuille L’Alpha: « C’est la différence entre le rendement d’un titre et celui attendu en fonction de la théorie du MEDAF » α = E(Ri ) − EMEDAF( Ri) α = E( R)-[ RF+(E(Rm)-RF). ßi ] Si Alpha >0 titre sous évalué Achat Si Alpha <0 titre sur évalué Vente La mise en place d’arbitrages doit faire tendre l’Alpha vers 0

Le jeux de l’arbitrage

Utilisation du MEDAF pour le coût des capitaux propres Le MEDAF permet de déterminer quelle sera la prime de risque exigée pour une action donnée (pour un Beta donné) On peut en déduire le coût des capitaux propres, ou l’exigence de rentabilité des actionnaires d ’une société Ce coût des capitaux propres sert de taux d ’actualisation pour les évaluations des actions ( Formule de Gordon Shapiro) Ce coût des capitaux propres permet de déterminer le coût du capital, qui sert de taux d ’actualisation pour les choix d’investissement.

ETUDE DE CAS Notre étude de cas se limitera dans un premier point à étudier le rendement espérer d’une action , et dans un deuxième points , à démontrer l’utilité de la diversification. A des fins d’illustration des calculs, on a réduit la valeur des variables à une observation par période, soit le cours du dernier jour du mois. Sur la même durée on a relevé la valeur de l’indice boursier de la Bourse des Valeurs de Casablanca indice MAZI.

Ri(n)=[Vi(n)-Vi(n-1)]/ Vi(n-1)

β ONA = Covariance (R ONA, R MAZI) Calcul du Béta : β ONA = Covariance (R ONA, R MAZI) Variance (MAZI)

Covariance (ONA,MAZI) = 0.0083/12 = 0,00069 Ainsi : Covariance (ONA,MAZI) = 0.0083/12 = 0,00069 Variance (MAZI) = 0.0072/12= 0.00059 β ONA = 0.00069/0.00059 β ONA = 1.1634>1

Interprétation Le Bêta du Titre ONA sur une période de 12 mois est supérieur à 1. On peut en déduire que ce titre amplifiera les variations du marché.

Le rendement moyen espéré sur le marché égale à 0.10. E(RMAZI)= 0.10 Calcul du rendement : En considérant : Le rendement libre du risque (taux d’emprunt sans risque) égale à 0.05 Rf = 0.05. Le rendement moyen espéré sur le marché égale à 0.10. E(RMAZI)= 0.10 Le rendement requis s’obtient par simple calcul : E(ONA)= Rf + [E(RMAZI)-Rf] β ONA E(ONA) = 0.05+ ( 0.10 - 0.05) 1.1634 E(ONA)= 0.1081  

CONCLUSION En admettant, un rendement de 10% du marché boursier et un rendement libre du risque de l’ordre de 5%, un investisseur devra exigé un rendement minimum de 10,80% du Titre ONA afin qu’il est une juste rémunération du titre.

Diversification du portefeuille : β ACRED = 0.000075/0.000596 β ACRED = 0,1258 <1

Interprétation : L’observation du titre ACRED sur une période de 12 MOIS fait ressortir un Bêta inférieur à 1. On peut en déduire que ce titre amortira les variations du marché.

L’espérance de Rentabilité du titre ACRED E(ACRED)=Rf + [E(MAZI)-Rf] X β ACRED E(ACRED)=0.05+[0,1-0.05] X 0,1258 E(ACRED)= 0,056294 Interprétation : Pour rémunérer le risque qui se présente lors de l’acquisition d’un titre ACRED, un investisseur devrait exiger une rentabilité minimum de 5,63 % et ce dans une visibilité de rendement de marché de 10% et d’une rémunération d’emprunt sans risque de l’ordre de 5%

LA DIVERSIFICATION On considère un portefeuille composé des deux titres (ONA et ACRED) à raison de 30% d’actions ONA et de 70% d’actions ACRED. E(P)=70%E(ACRED)+30%E(ONA) E(P)=(70% X 0.056294)+(30% X 0.1081) E(P)= 0,0718358

CONSTAT L’espérance de rentabilité du portefeuille a été amortie par le titre ACRED mais amplifier par le titre ONA et ceux dans les même conditions de visibilité du marché (RF=5% ; E(Rm)=10%).

Calcul du Risque du Portefeuille σ ²(P) = [70%E(ACRED)]² + [30%E(ONA)]² + 2[70%X30%] COV(ONA,ACRED) On a: COV(ONA,ACRED)= 0,000041 Donc σ² (P) = (0.7 x 0.056)²+(0.3 x 0.1081)²+2 x 0,000041 x 0.7 x 03) σ² (P) = 0,00001722+ 0,0010517049+ 0,00153664 σ² (P) = 0,0026055649 Ainsi : σ (P) = 0,051

INTERPRETATIONS - L’espérance de rendement du portefeuille P qui rémunère le risque de 5 % (σ (P) = 0,051) est de 7.18%. - L’espérance de rendement du titre ONA qui rémunère le risque de 6.48% (σ (ONA) = 0,0648) est de 10,81 %. - L’espérance de rendement du titre ACRED qui rémunère le risque de 4.42% (σ (ACRED) = 0,0442) est de 5.62 %.

Constat : La diversification du portefeuille permet de réduire le risque d’une manière plus significatif que la réduction du rendement, autrement dit, le MEDAF permet d’optimiser le portefeuille en terme de rapport Rentabilité/Risque.

Prolongement, tests et critiques du MEDAF 1. Le modèle à deux facteurs Le modèle classique du MEDAF suppose, outre que les marchés sont concurrentiels, qu’il existe un actif sans risque et des marchés parfaits, i.e l’inexistence de contraintes quantitatives d’endettement. Fisher Black, a démontré que, même en l’absence de telles hypothèses il était possible d’obtenir la relation linéaire entre la rentabilité espérée et le risque.

Le modèle à deux facteurs Black propose de remplacer le taux sans risque par un portefeuille ayant des caractéristiques similaires appelé « portefeuille conjugué ». Pour tout portefeuille p de la frontière, son portefeuille conjugué z(p) est le portefeuille dont la covariance est nulle: z(p) : cov(Rp,Rz(p))= 0

Le modèle à deux facteurs Théorème (Black (1972)) Même en l’absence d’un actif sans risque, le rendement moyen de tout portefeuille efficient est une fonction linéaire de son bêta : E(Rj) = E(Rz(m)) + βj (E(Rm) − E(Rz(m)) où βj = cov(Rm, Rj) σ2m

Le modèle à deux facteurs L’intérêt du modèle de Black est sa capacité à étendre le MEDAF aux économies où les agents sont soumis à des contraintes d’endettement. Avec: E(Rz(m))> RF Le taux d’intérêt effectif auquel les agents s’endettent est supérieur au taux prêteur.

2. Les tests et leurs critiques Tester le MEDAF suppose que l’on connaisse au moins trois variables : les rendements espérés, les betas et le portefeuille de marché. Si ces variables étaient connues, il ne resterait alors qu’à tester l’équation de la prime de risque. Malheureusement, la connaissance de ces variables étant a priori impossible, des stratégies d’évaluation contournant cette difficulté ont été proposées.

Black, Jensen & Scholes (BJS) [BJS72] ont été les premiers à proposer une évaluation du MEDAF. Pour tester le modèle suivant : Ra = γ0 + γ1.βa + Ea et déterminer si le MEDAF est un bon reflet de la réalité. Avec: γ1 est la prime du risque sur le marché; γ0 est le taux du zéro-beta; Ea est le résidu de la régression.

Ces auteurs ont essayés de mettre en évidence une relation entre les rentabilités passées et le Beta des titres. Ils ont classiquement assimilé le rendement espéré au rendement moyen historique; le portefeuille de marché au portefeuille du marché boursier étudié, le NYSE de 1931 à 1965; le rendement certain étant le taux du T-bill à 30 jours. La technique d’estimation consiste à regrouper les actifs échangés en 10 portefeuilles déterminés par les betas historiques.

Les valeurs estimées par BJS sont :. γ0 = 0. 519%, γ1 = 1 Les valeurs estimées par BJS sont : γ0 = 0.519%, γ1 = 1.08% E(R1)=0,00519+0,0108β1

Résultat: le MEDAF classique est rejeté et confirmation de la version zéro beta du modèle de BLACK La prime de risque estimée pour un risque systématique nul (β = 0) est de 0.519 au lieu d’être nulle.