CHAPITRE 8 Equations, Inégalités

Objectifs: - Reconnaître si un nombre donné est solution d’une équation ou non. - Résoudre une équation du premier degré à une inconnue. Résoudre des problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue. aaaaaa - Comparer des nombres.

Comment en est-on arrivé là ? Aujourd’hui 4x ²+ 3x – 10 = 0 René Descartes Vers 1640 4xx + 3x 10 François Viète Vers 1600 4 in A quad + 3 in A aequatur 10 Simon Stevin Fin XVIe 4 2 + 3 1 egales 10 0 Tartaglia Début XVIe 4q p 3R equale 10N Nicolas Chuquet Fin XVe 4² p 3¹ egault 10º Luca Pacioli Quattro qdrat che gioto agli tre nº facia 10 (traduit par 4 carrés joints à 3 nombres font 10) Diophante IIIe Δʸδ ζγ εστι ι (traduit par inconnue carré 4 et inconnue 3 est 10) Babyloniens et Egyptiens IIe millénaire avant J.C. Problèmes se ramenant à ce genre d’équation.

Notion d’équation 1) Vocabulaire Inconnue Equation c’est une lettre qui cache un nombre cherché → c’est une opération « à trous » dont « les trous » sont remplacés par une inconnue → Equation c’est chercher et trouver le nombre caché sous l’inconnue. Résoudre une équation Solution c’est le nombre caché sous l’inconnue  → Vérification : 10 x 0,625 - 2 = 2 x 0,625 + 3 donc 0,625 est solution.

Exemple : Vérifier si 10 et 14 sont solutions de l’équation On a 4 x (10 - 2) = 32 et 3 x 10 + 6 = 36 Non, 10 n’est pas solution de l’équation  car 32 ≠ 36 ! On a 4 x (14 - 2) = 48 et 3 x 14 + 6 = 48 Oui, 14 est solution de l’équation  car on trouve 48 des deux côtés de l’équation en remplaçant x par 14 !

2) Problème conduisant à une équation Une carte d’abonnement pour le cinéma coûte 10€. Avec cette carte, le prix d’une entrée est de 4€. 1) Calculer le prix à payer pour 2, 3, puis 10 entrées. pour 2 entrées : 10 + 2 x 4 = 18 € pour 3 entrées : 10 + 3 x 4 = 22 € pour 10 entrées : 10 + 10 x 4 = 50 € 2) Soit x le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de x le prix à payer (en comptant l’abonnement). On a 10 + x x 4 soit encore 4x + 10 3) Ecrire l’équation qui permet de trouver le nombre d’entrées quand on dispose d’une somme de 70 €. On a 4x + 10 = 70 Pour une somme de 70€ Prix à payer en fonction de x

II. Résolutions d’équations Les deux règles de résolution Pour résoudre une équation, on peut appliquer les deux règles suivantes : Règle n°1 : On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres d’une équation. Exemple: On a 5 + 2 = 1 + 4 5 + 2 - 1 = 1 + 4 - 1 On enlève « une noire » à chaque membre de l’équation. 4 + 2 = 4

Règle n°2 : On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre non nul. Exemple: On a = 400 grammes ÷ 2 = 400 grammes ÷ 2 On divise par 2 chaque membre de l’équation. = 200 grammes

2) Quatre exemples Résoudre les équations suivantes : Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine +4 à gauche en ajoutant dans chaque membre -4 (Règle n°1 ) On élimine 12 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 12 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est

Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine -13 à gauche en ajoutant dans chaque membre +13 (Règle n°1 ) On élimine -5x à droite en ajoutant dans chaque membre +5x (Règle n°1 ) On élimine 9 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 9 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est

On va d’abord développer et réduire chaque membre de l’équation avant de passer à la résolution. On peut maintenant passer à la résolution comme pour l’exemple n°2. La solution de cette équation est

On va d’abord réduire chaque membre 2x x7 On va d’abord réduire chaque membre de l’équation au même dénominateur, ici 14. x7 2x On peut supprimer maintenant les dénominateurs qui sont égaux (Règle n°2 ) On peut maintenant passer à la résolution comme pour l’exemple n°1. La solution de cette équation est

III. Ordre et inégalités 1) Vocabulaire et notation x < 4 signifie que  x est strictement inférieur à 4 x > 5 signifie que x est strictement supérieur à 5 a ≤ 3 signifie que  a est inférieur ou égal à 3 a ≥ b signifie que  a est supérieur ou égal à b

2) Signe d’une différence Si a – b < 0 alors a < b Si a – b > 0 alors a > b Remarque : Les réciproques sont également vraies. Exemple : Avec la calculatrice on trouve que ≈ -0,000957… Donc ‹ 0 ‹ D’où

3) Ordre et opérations a) Ordre et addition Les nombres a + c et b + c sont dans le même ordre que a et b. Si a < b alors a + c < b + c Exemple : On sait que x ≤ 8 En déduire une inégalité vérifiée par chacune des expressions suivantes : x + 3 et x - 9 on a x + 3 ≤ 8 + 3 d’où x + 3 ≤ 11 on a x - 9 ≤ 8 - 9 d’où x - 9 ≤ -1

b) Ordre et multiplication Si c > 0, alors les nombres a x c et b x c sont dans le même ordre que a et b. Si a < b et c > 0 alors a x c < b x c Exemple : Compléter par < ou >  (x étant strictement positif) Comme 1,05 < 1,5 et x > 0 alors 1,05 x x < 1,5 x x > 0 > Comme π > 3,14 et alors

Si c < 0, alors les nombres a x c et b x c sont dans le sens inverse de a et b. Si a < b et c < 0 alors a x c > b x c Exemple : Compléter par < ou >  Comme π > 3,14 et -3 < 0 alors <