COMMANDE PREDICTIVE D’UN MOTEUR A COURANT CONTINU Par : NTOUBA Fréderic Paulin Noé Sous la direction de : Dr MELINGUI Achille, CC, UY1(ENSP) M2R GELE, Année Académique 2017/2018

1. Introduction à la Commande Prédictive (MPC); 2. Commande Prédictive basée sur le modèle d’état; 3. Modélisation dans le domaine fréquentiel du moteur à courant continu ; 4. Simulation des réponses indicielle et impulsionnelle dans Matlab 2015a; 5. Modèle d’état discret équivalent du modèle fréquentiel; 6. Application de la MPC au Moteur; 7. Résultats; 8. Références bibliographiques.

 Définition : On entend par commande prédictive (MPC), un ensemble de techniques de commande avancée de l’automatique dont l’objectif est de commander des systèmes industriels complexes en se basant sur l’exploitation d’un modèle précis de ces derniers pour pouvoir prédire leurs comportement futurs et donc d’effectuer des actions anticipatrices.

 Différentes commandes prédictives : La commande prédictive est un terme général qui englobe un ensemble de méthodes différentes utilisant la même philosophie de contrôle et de principe de fonctionnement. Ces méthodes sont :  IDCOM : IDenti fi cation-COMmand devenu MAC (Model Algorithmic Control);  DMC : Dynamic Matrix Control;  EPSAC : Extended Prediction Self-Adaptive Control;  EHAC : Extended Horizon Adaptive Control  GPC : Generalized Predictive Control  MPC basée sur le modèle d’état. La différence entre ces méthodes ce situe sur la forme ou le type de modèle que chacune utilise pour la prédiction.

 PRINCIPE :  Elaboration (choix) du modèle numérique (modèle en z) du système;  Spécification de la trajectoire future que doit suivre la sortie du système;  Minimisation d’un critère quadratique (erreur quadratique de prédiction) à horizon fini élaborant une séquence de commandes futures;  Application du premier élément de la séquence de commande au système et au modèle. Il y a Répétition des deux dernières actions à chaque période d’échantillonnage

 Paramètres de réglage (cas sans contraintes) : Fonction de coût : Horizons de prédiction : * Horizon inférieur de prédiction (N1), généralement N1 vaut 1; * Horizon supérieur de prédiction (N2); * Horizon de prédiction sur la commande (Nu). Choix de la période d’échantillonnage.

 Commande Prédictive Généralisée : La commande prédictive généralisée ou GPC en anglais est une méthode de commande prédictive qui utilise le modèle CARIMA du système ; Le modèle CARIMA (Controller Auto Regresive IntegratedMoving Average) du modèle discreèt d’un système est le suivant :

 Commande Prédictive Généralisée : La prédiction de la k ième future sortie à l’instant i s’obtient par la formule : Le but est de calculer les commandes optimales qui amèneront le système vers la trajectoire de référence désirée. Pour cela il va falloir décomposer le système afin d’exprimer les prédictions en fonctions des commandes optimales futures d’une part et de termes passés du système d’autre part. Pour cela on utilise des équations diophantiennes :

 Commande Prédictive Généralisée : Prédictions

Or « e » est un bruit blanc gaussien à valeur moyenne nulle. La meilleure prédiction de y à l’instant i sera donc :

 Introduction : La commande prédictive basée sur le modèle d’état a fait son apparition entre la fin du 20 ième siècle et le début du 21 ième. Ses fondateurs sont : (Ricker, 1991, Rawlings et Muske, 1993, Rawlings, 2000, Maciejowski, 2002). Les informations courantes nécessaires pour prédire les valeurs futures sont donc représentées sous la forme d’un modèle d’état Dans cette présentation nous nous limiterons aux systèmes SISO

 Description : Nous rappelons les équations d’état d’un système SISO : où U est la variable manipulée ou la variable d'entrée; Y est la sortie du processus; e X m est le vecteur de variable d'état. En appliquant une opération de différence sur (1) on obtient :

 Description : En notant : En appliquant sur (3) on obtient : L’objectif maintenant est de ressortir la relation entre ΔXm et Y

 Description : En combinant (4) et (5) on forme alors le nouveau modèle d’état appelé modèle d’état renforcé :

 Calcul des prédictions des états et de la sortie : Ce calcul se réalise dans une fenêtre de prédiction ou fenêtre d'optimisation (intervalle de temps). La longueur de cette fenêtre est notée Np (N2). En supposant que les états X(ki) sont mesurables à l’instant courant ki, les futures commandes à appliquer au système pour obtenir les états et la sortie désirés sont : Où Nc(Nu) est l’horizon de commande (le nombre de commande à envoyer au système pour le contrôler ) A partir de la mesure X(ki), les variables d'état futures sont alors prédites pour Np nombre d'échantillons futures : Nc toujours inférieur ou égal à Np

 Calcul des prédictions des états et de la sortie : En se basant sur le modèle d’état augmenté, les expressions des futurs états prédits sont :

 Calcul des prédictions des états et de la sortie : En multipliant ces états prédites par la matrice augmentée C, on obtient les sorties : On remarque donc que les prédictions dépendent de l’état courant et des futures commandes

 Calcul des prédictions des états et de la sortie : En les regroupant, on peut les mettre sous une forme matricielle :

 Optimisation : Pour un signal de consigne donné r(ki) à l'instant ki, dans un horizon de prédiction, l'objectif de la commande prédictive sera d'amener la sortie prédite aussi proche que possible du signal de consigne. Cet objectif consiste à trouver le «meilleur» vecteur de commandes Δ U de sorte qu'une fonction d'erreur entre la consigne et la sortie prédite est minimisée. On définit la fonction de coût :

 Optimisation : En combinant (7) et (8) on obtient la forme de la fonction de coût :

 MODELE DANS LE DOMAINE FREQUENTIEL :  Les équations du moteur sont :

 MODELE DANS LE DOMAINE FREQUENTIEL :

 Paramètres de simulation du moteur : R=4.88; résistance de l'induit L=0.0384; inductance de l'induit F=0.0131; coefficient de frottement J=0.0091; moment d'inertie Kc =0.9533; constante de couple Ke = ; constante de vitesse

En utilisant la fonction matlab « tf2ss », on obtient le modèle d’état à temps continu lié à notre fonction de transfert. En utilisant la fonction matlab « c2dm », on obtient le modèle d’état à temps discret lié à celui à temps continu :

RECAPITULATIF : * Ressortir le modèle d’état discret du système à commander; * Ressortir le modèle d’état augmenté * Definir les paramètres (horizons) de prédiction et de commande; * Calculer les prédictions des états et des sorties; *Ressortir les matrices F et Φ liées aux états et à la commande respectivevement * Calculer le vecteur de commande à appliquer au système

1. E.F. Camacho, C. Bordons, “Model predictive control”, Ed. Springer-Verlag, 2 nd ed.,London, Liuping Wang, ‘’ Model Predictive Control System Design and Implementation Using MATLAB’’,Springer- Verlag London Limited Cristina Stoica Maniu, ‘’ Principes de la commande prédictive Applications sous MATLAB’’, École d’été francophone CA’NTI 22/2016.