Maggy Schneider Université de Liège Didactique des mathématiques : la théorie des situations didactiques (G. Brousseau) Maggy Schneider Université de Liège

La TSD : un réseau de quatre concepts Situation adidactique Dévolution et institutionnalisation Dialectique d’action, de formulation, de validation Milieu adidactique Contrat didactique Effet « Topaze » Effet « Jourdain » Obstacles Epistémologiques et didactiques Ontogéniques (Psychologiques)

Situation et milieu adidactiques Examen des exemples originels : Exemple des feuilles de papier Exemple de l’agrandissement d’un puzzle

Les feuilles de papier : situation adidactique d’introduction aux fractions-mesures « Vous allez essayer d’inventer un moyen pour désigner et reconnaître des différents types de papier et pour les distinguer, seulement d’après leur épaisseur. Vous êtes groupés par équipes concurrentes. Dès que vous aurez trouvé un moyen de désigner les épaisseurs de feuilles, vous l’essaierez dans un jeu de communication » 5 tas d’environ 200 feuilles de meme format, meme couleur, mais d’épaisseurs différentes Groupes « émetteurs » et groupes « récepteurs » séparés par un écran Pied à coulisse ou double-décimètres Élèves qui ne connaissent pas les nombres fractionnaires

Les feuilles de papier : situation adidactique d’introduction aux fractions-mesures Désarroi devant l’impossibilité de mesurer une feuille Idée de prendre plusieurs feuilles et premiers messages: p.ex. « 52 feuilles; 7 mm » Difficultés, disputes, preuves pragmatiques Réfutation intellectuelle de certains messages et émergence d’un modèle mathématique

Les feuilles de papier : situation adidactique d’introduction aux fractions-mesures 19 feuilles; 3 mm : type A et 19 feuilles; 3 mm : type B Ca ne va pas car, si les feuilles sont de types différents, à un meme nombre de feuilles doivent correspondre des épaisseurs différentes 30 feuilles; 2 mm : type C et 30 feuilles; 3 mm : type C Ca ne va pas car, pour un meme type de feuilles, au meme nombre de feuilles correspond la meme épaisseur 30 feuilles; 3 mm : type C et 15 feuilles; 1 mm : type C Ca ne va pas car, s’il y a 2 fois plus de feuilles, l’épaisseur est 2 fois plus grande 19 feuilles; 3mm : type C et 20 feuilles; 4 mm : type C Ca ne va pas parce qu’une feuille ne peut pas mesurer 1 mm

« 4 mm pour 50 feuilles » ou « 4 cinquantièmes de mm par feuille » Les feuilles de papier : situation adidactique d’introduction aux fractions-mesures Modèle des couples équivalents et classement des couples appartenant à une même classe d’équivalence Introduction, par le professeur, d’une notation et d’une terminologie en tant que conventions sociales : Type C : (50, 4) ≈ (25, 2) 4/50 = 2/25 « 4 mm pour 50 feuilles » ou « 4 cinquantièmes de mm par feuille »

Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires « Voici des puzzles. Vous allez en fabriquer de semblables, plus grands que les modèles, en respectant la règle suivante : le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur votre reproduction. Je donne un puzzle par équipe de 5 ou 6, mais chaque élève fait au moins 1 pièce ou un groupe de 2 en fait 2. Lorsque vous aurez fini, vous devez pouvoir reconstituer les mêmes figures qu’avec le modèle »

Mais, dans la classe, le modèle additif s’impose Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires Premières stratégies calquées sur le modèle additif : de 4 à 7, on ajoute 3. Donc, on ajoute 3 à toutes les dimensions Autres idées : 4  7 = 2 x 4 - 1 5  9 = 2 x 5 - 1 2  3 = 2 x 2 - 1 Mais, dans la classe, le modèle additif s’impose Les morceaux ne se recollent pas : accusations, disputes, tricheries

Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires Interventions du professeur : attire l’attention sur un puzzle particulier et propose de compléter un tableau numérique

Correction de l’ajout : Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique des rationnels en tant qu’opérateurs linéaires Mise en cause progressive du modèle additif et émergence du modèle linéaire 2  2 + 3 = 5 4  4 + 3 = 7 6  6 + 3 = 9 et pourtant 9  5 + 7, alors que 6 = 4 + 2 ! Si 4 devient 7, alors 8 doit devenir 14 et 12 = 4 + 8 doit devenir 7 + 14 L’image de 1 : « Il faudrait l’image de 1; oui, ça permettrait de trouver toutes les autres. Pour cela, il faut partager 4 en 4 parties, il faut diviser 7 en 4 aussi » Correction de l’ajout : 1  1 + 3/4 6  6 + 6.3/4 11  11 + 11.3/4 (a + a.3/4= 7a/4)

Les situations adidactiques « Situations à l’occasion desquelles le professeur peut abdiquer de son intention d’enseigner pour fonder l’apprentissage de l’élève sur une confrontation des actions de celui-ci avec un milieu. Pour un temps, la question, le problème ne sont plus ceux du professeur, mais ceux de l’élève. C’est le processus de dévolution. » (G. Brousseau)

Les situations adidactiques et le milieu C’est l’existence d’un milieu adidactique qui permet la dévolution. Grâce au milieu, le professeur peut ne « pas vendre la mèche », ce qui n’empêche pas qu’il puisse injecter des idées Le milieu a des facettes diverses : « matérielles », sociales, cognitives : la situation et ses variables didactiques (impossibilité de mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier, dimensions des pièces du puzzle, idée intuitive d’agrandissement, échanges entre élèves, interventions du professeur qui renvoient au milieu sans dénaturer le sens de la situation, connaissances antérieures qui vont faire obstacle, …)

Dialectiques d’action, de formulation, de validation Grâce au milieu, les situations adidactiques enclenchent l’une ou plusieurs des dialectiques d’action, de formulation ou de validation Une dialectique d’action Succession d’interactions entre l’élève et le milieu (théorèmes en acte de Vergnaud) Une dialectique de formulation mise au point d’un langage intelligible par autrui et qui explicite les modes d’action (situations de « communication »)

Dialectiques d’action, de formulation, de validation Dialectique de validation « L’élève doit établir la validité d’une assertion, il doit s’adresser en tant que sujet susceptible d’accepter ou de refuser ses assertions, de lui demander d’administrer des preuves de ce qu’il avance, de lui opposer d’autres assertions » (G. Brousseau) Il existe plusieurs types de validation : pragmatique, empirique, syntaxique. L’expérience permet aussi « d’invalider »

Institutionnalisation Le processus d’institutionnalisation fait pendant au processus de dévolution : « Quelqu’un d’extérieur vient pointer dans les activités de l’élève celles qui ont un intérêt, un statut culturel » Les situations adidactiques s’inscrivent donc résolument dans une perspective de transmission d’un savoir jugé important par la société L’institutionnalisation suppose la décontextualisation du savoir et la dépersonnalisation

Décontextualisation, dépersonnalisation Situation des feuilles de papier conjuguée avec d’autres situations : distinguer des clous de poids différents, des baguettes de différentes longueurs, des verres de diverses capacités, … l’étalon étant à chaque fois trop grand pour mesurer une entité Dépersonnalisation Changer les élèves d’équipes : il n’y a que les stratégies qui sont « perdantes » ou « gagnantes »

Les situations-problèmes qu’on rencontre sur le terrain sont-elles des situations adidactiques ? Cela dépend Examen de quelques exemples : cas de similitude des triangles dérivée pentagones equilaterville ombres Il existe une « vulgate » des situations-problèmes

Quelques caractéristiques des situations adidactiques Elles visent l’acquisition d’un savoir mathématique et celui-ci constitue la réponse optimale à la question posée et aux questions de même type (décontextualisation) Il y a une vraie question et les élèves peuvent comprendre a priori la question dévolue et commencer à agir avec leurs propres connaissances L’enjeu majeur est la mise à l’épreuve de ces connaissances, leurs limites et les intuitions d’élèves, fausses mais persistantes

Quelques caractéristiques des situations adidactiques La solution optimale au problème « peut être trouvée et prouvée par quelques élèves dans un temps raisonnable dans une classe ordinaire et très vite partagée et vérifiée par les autres » (processus collectif et non entraînement individuel à la compétence de résolution de problèmes; dépersonna-lisation) Les élèves peuvent constater d’eux-mêmes, grâce au milieu, le succès ou l’échec des stratégies qu’ils proposent par tentatives successives mais l’anticipation doit être favorisée

Deux caractéristiques séparables Situations adidactiques : Caractère fondamental qui peut être aussi celui d’un exposé introductif mettant en évidence les « raisons d’être du savoir » Existence d’un milieu adidactique qui va permettre la dévolution

Situation fondamentale Caractère fondamental d’une situation adidactique : le savoir visé apporte une réponse optimale à la question posée et aux questions du même type « Chaque connaissance peut se caractériser par une (ou des) situation adidactique qui en préserve le sens et que nous appelerons situation fondamentale » (Brousseau)

Situation fondamentale Le caractère fondamental d’une situation doit primer sur d’autres critères si l’on cherche une quelconque « autonomie » des élèves : - Caractère concret (vie de tous les jours, nature, …) - Occasion de modélisation - Côté « œuf de Colomb » (obstacles psychologiques) - Possibilité de « faire voir » aux élèves

La TSD se distingue des idéologies inhérentes aux programmes : Une pédagogie de la recherche (programmes FESeC); caractéristiques d’une situation d’apprentissage : Elle constitue un défi, suscite un étonnement, crée une surprise, Elle invite l’élève à faire quelque chose (compter - faire un dessin - calculer - couper …), Elle laisse à l’élève une certaine liberté quant au choix de sa méthode et de ses conjectures et met en œuvre sa créativité Elle est issue du terrain de l’élève Elle met en œuvre une réflexion qui dépasse l’utilisation immédiate de résultats antérieurs Elle permet de rencontrer plusieurs notions différentes Elle conduit l’élève à rédiger sa démarche, son raisonnement

Situation fondamentale La conception ou l’analyse de situations adidactiques ayant un caractère fondamental suppose une analyse a priori épistémologique et didactique : distinguer ce qui relève du prévisible, du nécessaire et du contingent Exemple des fractions dont les sens sont multiples : mesures, opérateurs de similitude, partages, recherche d’une commune mesure entre deux grandeurs, nombres

Situation fondamentale Trouve un prolongement dans la modélisation de l’activité mathématique en termes de praxéologies : Tâche, technique, technologie, théorie où la tâche est dictée par les « vraies raisons d’être » du savoir mathématique (TAD d’Y. Chevallard)

Situation fondamentale « […] on est parfois tenté de considérer que, dans la théorie des situations, la notion de situation fondamentale sert, avant tout, à décrire et à fabriquer des situations d’enseignement […]. On oublie alors que cette notion constitue - aussi et surtout - l’instrument-clé que propose cette théorie pour caractériser les connaissances mathématiques » (M. Bosch et Y. Chevallard)

TSD et non TSA Les situations adidactiques sont un dispositif « extrême » qui permet de mettre en évidence des phénomènes d’apprentissage et d’enseignement susceptibles, à leur tour, de comprendre le fonctionnement de situations didactiques