Modélisations de fonctions dobsolescence et application aux contrats de leasing financier Daniel Justens – Christian Bihoyiki HEFF/UER mathématiques appliquées IREM de Bruxelles Université de Liège 17 janvier 2006

Plan Travail dans le contexte dun exemple : le matériel informatique. Etude de l évolution de ses performances « Loi de Moore », ses qualités et ses limites Modélisations Construction de fonctions dobsolescence Application aux leasings financiers

Performances du matériel informatique La fameuse « Loi de Moore » Gordon Moore constate : le nombre de transistors sur une plaque de silicium double tous les ans depuis 5 ans Fondateur dIntel. Correction : le doublement na lieu que tous les deux ans. Quen est-il réellement ?

Tout le monde la reprend :

Quelques chiffres ( Années nombre de ln(n i ) transistors , , , , , , , , , , , , (Sciences et vie octobre 2005)

Et la loi de Moore ?

Le dangeureux passage aux logarithmes

Que se passe-t-il sans la dernière observation?

Quant au modèle avec...

Autre problème : la confrontation avec les lois de la physique On est passé de transistors par puce en 1971 à fin 2005 (octobre) Le retrécissement se heurte aux dimensions de la matière : les couches de matériaux isolants sont dune épaisseur de lordre de 5 atomes. La physique macroscopique cesse dêtre utilisable et on constate des fuites : chauffe. La vitesse de transmission de linformation est bornée.

Les solutions envisagées Nouveaux matériaux isolants Utiliser une gamme de transistors différents Utilisation de pinces pour serrer et détendre le silicium Remplacer le silicium Utiliser les nanotubes de carbone Utiliser lélectronique magnétique

Quousque tandem? La « loi de Moore » pourrait fêter ses 50 ans, mais après ? Lévolution passée et ses perspectives sont- elles mathématisables ? Comment ? Quelles sont les implications financières ?

Mesure objective de puissance : les MIPS Jean Baudet (2004) : De la Machine au Système. Vuibert.

Une régression sans outlier

Régularité de la paramétrisation

Modélisation exponentielle Une première modélisation donne théoriquement et numériquement : On vérifie que : e (2*0,3285) = 1,929

Modélisation de lintensité des sauts temporels Considérons une suite de variables g 1, g 2,... définies sur les réels positifs, équidistribuées et de fonction de répartition F. Notons :

Modélisation de la fréquence des sauts temporels On introduit un processus de Poisson de paramètre. La probabilité dobserver k sauts dans lintervalle [0, t[ est donnée par : On note T k le temps darrêt correspondant au k e saut.

Tendance du processus « saut cumulé » On définit alors : On montre que : On peut construire une semimartingale avec processus de compensation

Retour au processus « puissance » On arrive au modèle théorique : Sur base des observations : Visualisons lévolution de M(t) avant de traiter la tendance à la saturation

Le modèle prévisionnel

La tendance à la saturation

Paramétrisation La puissance initiale est donnée par le modèle exponentiel par hypothèse de continuité La puissance maximale doit être tirée des conditions techniques La vitesse de croissance peut sobtenir en postulant la dérivabilité du processus

Illustration numérique Numériquement : Doublement tous les deux ans Tendance à la saturation après 45 ans

Un modèle descriptif général.

Fonction dobsolescence

Dans notre cas particulier, on peut choisir :

Illustration du saut « pentium IV »

Passage au financier Définition du leasing :

Notations et mise en équation On note L le loyer : L = capital x barème locatif cf : la notion de taux de chargement OA loption dachat en fin de contrat. Léquation déquilibre est donc :

Taux de la transaction ? Dépend de lexercice ou non de loption dachat. Comment modéliser cette option ? Le sous-jacent nest pas une lognormale mais une Poisson Raisonnement différent de BS

Exercice de loption... Soit un matériel acquis en t 0 et pour lequel loption se place en t 1 Loption est exercée si la valeur résiduelle du matériel est supérieure à OA. Mathématiquement : Ou encore en termes dobsolescence :

Résolution dun exemple Soit le contrat réel suivant : Sans option, le TAEG vaut : 0,058 Avec, il passe à : 0,068

Utilisation du processus « sauts cumulés » Sous notre modèle, la valeur de la fonction dobsolescence après deux ans est : Et on peut le paramétriser en posant par exemple : m g = 5 et = 0,04.

Numériquement donc : probabilitéobsolescence 0 saut 0, , saut 0, , sauts0, , > 2 sauts8,03736E-050,

Et en guise de conclusion Intérêt des fonctions dobsolescence du point de vue didactique, illustrateur en matière de modèles et financier Développement de modèles optionnels à sous-jacent non-lognormal Imagination des organismes financiers pour contourner la législation.

Merci de votre attention