Mesures et incertitudes Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Mesures et incertitudes Exemples de mise en œuvre à l’interface bac-1 bac+1

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 0,868 0,877 0,886 mesure précédente 0,8409 0,8418 0,8426 nouvelle mesure rayon du proton en fm

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 1: Mesure d’une résistance à l’aide d’un multimètre numérique (STL-STI2D- Post-bac) Objectif : Mesurer la résistance électrique d’un composant à l’aide d’un multimètre. Etape 1 : valeur lue : R = 99,87 Ω Etape 2 : évaluation de l’incertitude-type : la notice indique la « précision » : ± 2 fois le dernier digit ± 0,3 % de la valeur lue soit le facteur est lié à une loi de probabilité rectangulaire « 0,3 % de la valeur lue » : erreurs d’étalonnage (systématiques) « 2 fois le dernier digit » : erreurs aléatoires (bruit…) densité x m-d m m+d 1/(2d)

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 1: Mesure d’une résistance à l’aide d’un multimètre numérique (STL-STI2D- Post-bac) Etape 3 : Passage à l’incertitude élargie : Dans l’hypothèse d’une distribution rectangulaire et pour simplifier : (k = 2) Etape 4 : Présentation du résultat : On part de R = 99,87 Ω L’incertitude élargie est de 0,36 Ω On peut donc afficher R = 99,87 ±  0,36 Ω en gardant deux chiffres significatifs pour l’incertitude élargie Dans le contexte lycée : 1 chiffre significatif et on arrondit par excès l’incertitude R = 99,9 ± 0,4 Ω

valeur de référence (fabriquant) Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 1: Mesure d’une résistance à l’aide d’un multimètre numérique (STL-STI2D- Post-bac) Etape 5 : comparaison avec une valeur de référence donnée par le fabriquant. Valeur mesurée : 99,9 ± 0,4 Ω Valeur de référence : 100 Ω avec une tolérance de 5 %. On admet également une loi rectangulaire ; la valeur attendue est donc 100 ± 5/√3*2 ≈ 100 ± 6 Ω (k = 2). 94 100 106 résistance en Ω valeur de référence (fabriquant) valeur mesurée 99,5 - 100,3

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 1: Mesure d’une résistance à l’aide d’un multimètre numérique (STL-STI2D- Post-bac) Capacités mobilisées : Evaluer l’incertitude sur une mesure unique Maîtriser l’usage des chiffres significatifs et l’écriture scientifique Exprimer le résultat d’une opération de mesure par une valeur issue éventuellement d’une moyenne et une incertitude de mesure associée à un niveau de confiance Commenter le résultat d’une opération de mesure en le comparant à une valeur de référence Commentaires : La notion d’erreur systématique est délicate Les appareils de mesures des lycées (multimètres) n’ont souvent plus aucune « qualité métrologique » En classe de lycée, utiliser des extraits de notice ?

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 2 : Mesure de la vitesse du son (Lycée – Post bac) - mesure unique. émetteur d’ultrasons en mode « salves » détecteur position 1 détecteur position 2 x2 x1 oscilloscope voie A oscilloscope voie B Etape 1 : mesure de d = x2 – x1. Il faut évaluer l’incertitude-type sur x1 et x2 en prenant en compte deux contributions : l’incertitude associée à l’erreur de justesse (composante systématique) de la règle l’incertitude associée à l’erreur de positionnement (composante aléatoire). On a alors accès à l’incertitude-type sur d.

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 2 : Mesure de la vitesse du son (Lycée – Post bac) - mesure unique. En pratique : l’incertitude-type de justesse à (mètre ruban - tolérance ± 1 mm) l’incertitude-type liée au positionnement à on compose ensuite quadratiquement les deux contributions. x1 = 20,0 cm u(x1)  ≈ 0,065 cm x2 = 70,0 cm et u(x2) = 0,065 cm d = 50,0 cm et u(d) = 0,085 cm

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 2 : Mesure de la vitesse du son (Lycée – Post bac) - mesure unique. voie A voie B t1 t2 Etape 2 : mesures de deux durées : effectuées à l’aide des curseurs à l’oscilloscope numérique. prise en compte deux contributions pour l’évaluation de l’incertitude : celle liée à la mesure du temps, celle liée au positionnement du curseur : localisation du début du front l’incrément lié à la numérisation est de 20 μs : intervalle d’échantillonnage Exemple pour t2 la précision de la mesure du temps est donnée par la notice de l’appareil : ±(1 intervalle d’échantillonnage + 100 ppm x lecture + 0,6 ns) : incertitude-type : 12 μs intervalle admissible pour la localisation du début du front : 2,38 – 2,44 ms : incertitude-type associée : 18 μs (loi rectangulaire) t2 = 2, 410 ms et u(t2) = 0,022 ms par composition quadratique

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 2 : Mesure de la vitesse du son (Lycée – Post bac) - mesure unique. Etape 2 : mesure du temps de « vol » On a t = t2 – t1 = 1,490 ms et u(t) = 0,027 ms Etape 3 : célérité c du son : on compose les incertitudes-types on élargit en utilisant un facteur k d’élargissement égal à deux : 12,2 m.s-1 (k = 2)

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 2 : Mesure de la vitesse du son (Lycée – Post bac) - mesure unique. Etape 4 : analyse Valeur de référence : 343,4 ± 0,1 m.s-1 à 20 °C. 323 336 349 343,3 – 343,5 célérité du son (m/s) valeur mesurée valeur de référence La mesure de la durée est la plus imprécise.

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 2 : Mesure de la vitesse du son (Lycée – Post bac) - mesure unique. Identifier les différentes sources d’erreur ne pas procéder de manière séquentielle, se préoccuper de la problématique de la qualité de la mesure avant et au cours du mesurage. Evaluer une incertitude composée au niveau terminale les règles utilisées et les formules sont données. au niveau post-bac : savoir établir la formule dans des cas simples. utiliser un document qui synthétise les situations courantes pour les évaluations d’incertitude de type B ? extraire des informations de la notice d’un appareil.

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 2 : Mesure de la vitesse du son (Lycée – Post bac) - mesures indépendantes (octobre 2012 – TS). Variabilité d’un processus de mesure chaque groupe d’élèves a travaillé de manière « indépendante » dans les mêmes conditions expérimentales. On dispose de n mesures. ci (m/s) 349 335 334 342 345 340 336 337 326 350 355 346 332 Incertitude-type : approche statistique meilleur estimateur de c est donné par la valeur moyenne :   l’incertitude-type sur la valeur moyenne par Incertitude élargie Le facteur d’élargissement est pris égal à 2 en référence à la loi normale et à un niveau de confiance d’environ 95 %

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 2 : Mesure de la vitesse du son (Lycée – Post bac) - mesures indépendantes (octobre 2012 – TS). Présentation du résultat final c = 340,2 ± 3,6 m/s (k=2) que l’on arrondit à c = 340 ± 4 m/s (k=2) Analyse du résultat final 338 340 344 343,3 – 343,5 célérité du son (m/s) valeur mesurée valeur de référence

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 2 : Mesure de la vitesse du son (Lycée – Post bac) - mesures indépendantes (octobre 2012 – TS). Analyse du résultat final exclusion des valeurs aberrantes (Taylor ; chapitre 6) intervalle m/s les éventuelles erreurs systématiques subsistent L’utilisation par les élèves de lois élémentaires de statistique ne pose pas de problème. Coexistence des deux approches ?

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 3 : Mesure du pas du sillon d’un CD-Rom (CPGE – Terminale) – Octobre 2011 Principe de la mesure a : pas du sillon = pas du réseau θ0 Ordre 1 origine Ordre 0 + Situation A Situation B αi = α1

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 3 : Mesure du pas du sillon d’un CD-Rom (CPGE – Terminale) – Octobre 2011 Evaluation de l’incertitude évaluation de type B de l’incertitude. Il y a deux contributions : l’incertitude liée à la justesse, l’incertitude liée au réglage (expérimentateur), l’incertitude due au réglage est nettement prépondérante. incertitude-type : ε = (θmax- θmin)/2 densité m-d m m+d x 1/d Le facteur est lié au choix fait a priori d’une loi de probabilité triangulaire.

Indications pratiques : Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 3 : Mesure du pas du sillon d’un CD-Rom (CPGE – Terminale) – Octobre 2011 Evaluation de l’incertitude Indications pratiques : Pointé d’un faisceau en rétro-réflexion sur le laser Étiquette

Indications pratiques : Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 3 : Mesure du pas du sillon d’un CD-Rom (CPGE – Terminale) – Octobre 2011 Evaluation de l’incertitude Indications pratiques : Pointé de θmin et θmax : position associée à θmin position associée à θmax

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 3 : Mesure du pas du sillon d’un CD-Rom (CPGE – Terminale) – Octobre 2011 Evaluation de l’incertitude L’incertitude sur une grandeur angulaire résultant d’une différence entre deux pointés, on compose les incertitudes-types : Pour l’incertitude-type sur le pas a, on compose aussi les incertitudes selon l’expression : On obtient une incertitude élargie avec k = 2, en référence à la loi normale et à un niveau de confiance d’environ 95 %.

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 3 : Mesure du pas du sillon d’un CD-Rom (CPGE – Terminale) – Octobre 2011 les résultats après élargissement l’incertitude-type d’un facteur k = 2 ; on obtient en arrondissant par excès : a = 1,49 ± 0,02 μm (k=2) On dispose d’une valeur de référence de 1,497 μm sans autres informations. Il y a lieu de s’interroger sur la nature même de la valeur mesurée : il y a assurément un effet de prise de valeur moyenne à l’échelle de la taille du faisceau laser.

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 4 : Mesure du volume d’une goutte[1] (CPGE – Lycée) Principe : On subdivise 18 fois de suite le contenu d’une pipette jaugée de volume Vo 1 mL de classe A et de tolérance ± 0,008 mL, en gouttes. On compte le nombre N de gouttes d’eau. Objectif : déterminer le volume Vg d’une goutte et évaluer l’incertitude : Les résultats : Les valeurs de N sont regroupées sur le tableau ci-dessous. Gouttes 33 34 35 36 occurrences 2 4 7 5 [1] D’après l’article de Jean-Christophe Hannachi, sur le thème « De la mesure de la taille d’une goutte à l’hétéroazéotrope eau/n-heptane » paru dans l’actualité chimique de février mars 2012.

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 4 : Mesure du volume d’une goutte[1] (CPGE – Lycée) Valeur de N et estimation de son incertitude-type. Evaluation de type A de l’incertitude Le meilleur estimateur de N : la valeur moyenne 34,83 Incertitude-type sur la valeur moyenne : Données expérimentales et loi normale : représentation graphique N = 34,83 et u(N) = 0,232

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 4 : Mesure du volume d’une goutte[1] (CPGE – Lycée) Valeur de Vo et estimation de son incertitude-type : On procède à évaluation de type B d’incertitude. Le constructeur donne la tolérance : ± 0,008 mL (liée uniquement à la position du ou des traits de jauge donc au processus de fabrication) , on peut déduire l’incertitude-type u(Vo) : Volume d’une goutte et estimation de son incertitude-type : On compose les incertitudes

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 4 : Mesure du volume d’une goutte[1] (CPGE – Lycée) Incertitude élargie et présentation du résultat final. On convient d’élargir d’intervalle d’un facteur 2 (k = 2) pour approcher un niveau de confiance de 95 %. L’incertitude élargie est estimée à 0,466 μL Ecriture finale : on arrondit l’incertitude élargie par excès en gardant un chiffre significatif : 0,5 μL. on arrondit au plus proche pour Vg en gardant un nombre de chiffres significatifs cohérent : (k = 2)

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 4 : Mesure du volume d’une goutte[1] (CPGE – Lycée) Commentaires : les deux contributions à la détermination de l’incertitude sur la mesure ont un poids équivalent. On combine deux techniques d’évaluation d’incertitude-type. On illustre ici la variabilité de la grandeur physique « volume de la goutte ». Le thème est particulièrement simple.

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 5 : Régression linéaire (CPGE – Lycée) But : vérifier une loi y = ax+b Données : n valeurs pour x : x1 , x2 ,…, xn n valeurs de y : y1 , y2,…, yn Objectif : la meilleure estimation des paramètres a et b disposer de critères permettant de juger de la « qualité du modèle » Hypothèse : On supposera dans toute cette partie que l’incertitude sur les xi est négligeable.

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 5 : Régression linéaire (CPGE – Lycée) Cas 1 : Toutes les mesures des yi ont la même incertitude-type. On utilise la méthode des moindres carrés : on détermine a et b qui minimisent la quantité On établit :

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 5 : Régression linéaire (CPGE – Lycée) Cas 2 : Les mesures des yi ont des incertitudes-types ui différentes. On introduit des poids : On minimise est la quantité : Deux cas se présentent : incertitudes-types sur les yi connues : elles sont prises en compte pour l’évaluation des incertitudes-types sur a et b. incertitudes-types sur les yi non précisées : le logiciel utilise la quantité :

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 5 : Régression linéaire (CPGE – Lycée) Exemple : relation tension-courant aux bornes d’une résistance de « 100 Ω ». U (V) I (mA) 0,100 1,098 0,190 2,003 0,300 3,177 0,380 3,944 0,540 5,600 0,730 7,400 1,710 17,400 2,450 24,900 3,170 31,400 5,100 50,800 7,280 71,900 Logiciel : Régressi Résultats : - a = -26,40 ± 20,00 mV - b = 101,3 ± 0,7 Ω - coefficient de corrélation : 0,99996 - niveau de confiance est de 95 %

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 5 : Régression linéaire (CPGE – Lycée) Comment juger de la qualité de la modélisation ? Le coefficient de corrélation n’est pas un outil adapté, il est très facilement proche de 1 ! C’est un outil qualitatif qui permet uniquement de juger de la tendance à la linéarité.

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 5 : Régression linéaire (CPGE – Lycée) Comment juger de la qualité de la modélisation ? La situation est « harmonieuse » : incertitudes sur chaque mesure du même ordre de grandeur que les écarts moyens à la droite de régression. Un modèle linéaire est donc adapté. bup

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 5 : Régression linéaire (CPGE – Lycée) Comment juger de la qualité de la modélisation ? le modèle linéaire semble aussi adapté mais un autre pourrait tout aussi bien convenir. il est probable que les incertitudes ont été surestimées. bup

Mesures et incertitudes - journées IG-IPR décembre 2012 Exemple 5 : Régression linéaire (CPGE – Lycée) Comment juger de la qualité de la modélisation ? soit le modèle linéaire est inadapté soit les incertitudes sur les mesures ont été sous-estimées. bup Conclusions : si on ne précise pas les incertitudes sur les mesures, il n’est pas possible de juger de la qualité d’une modélisation linéaire le r2 n’est pas un outil adapté l’utilisation du Χ2 est plus adapté mais ne relève pas des programmes