Créer un filtre sur mesure (pour compresser) Jean-Paul Stromboni, Polytech'Nice Sophia, S.I. 3ème année Cours n° 6, novembre 2015, durée : 50 mn, avec vidéoprojecteur Le principe de compression par sous-échantillonnage du cours précédent est appliqué au signal dont le spectre est ci-dessous : fe f spectre (R échantillons) R/4 R/8 3*R/16 fe f fe f H1(f) 4 fe f

Quel est le taux de compression atteignable pour le signal (plus aigü) dont le spectre est donné ci-dessous ? fe f spectre fe f fe f fe f 2

Si on sait créer le filtre passe-bande H2 ci-dessous, on peut atteindre un taux de compression de 4 au lieu de 2 ! fe f spectre fe f fe f H2 4 fe f La condition de Shannon générale est respectée, car la largeur totale du spectre du signal est inférieure à fe/4 !

Pour programmer un filtrage de réponse fréquentielle H2, on implémente l’équation générale suivante : Le vecteur e=(en, n=0..N-1) contient les N échantillons du signal à filtrer, ou entrée du filtre Le vecteur h=(hm, m= 0..R-1) contient les R coefficients du filtre (coefficients réels) Le vecteur s=(sn, n=0..N-1) contient la sortie du filtre ou signal filtré, chaque valeur sn est calculée par une itération de l’équation ci-dessus R est la taille du filtre L’équation est un produit de convolution (symbole ‘*’): h contient la réponse impulsionnelle du filtre, c’est-à-dire que s= h pour une entrée impulsion (e0=1, en=0 si n!=0). Pour en savoir plus : Il s’agit d’un filtre linéaire et stationnaire, en anglais Linear Time Invariant (LTI). Par exemple : sn=en+ en-1 est linéaire et stationnaire sn= sin (en-1) est non linéaire sn=en+n en-1 est non stationnaire Il s’agit d’un filtre non récursif, ou à réponse impulsionnelle de durée finie (FIR en anglais) : Par contre, sn=sn-1+en-1, est un filtre récursif (ou IIR)

Afin de calculer la réponse fréquentielle d’un filtre non récursif, on utilise les propriétés suivantes de TFD et TFD inverse : H = fft(h) est périodique de période R h= ifft(H) est périodique, de période R En effet, les calculs des fonctions fft et ifft sont identiques, ou presque, seul le signe des exponentielles change. On vérifie :

Afin de calculer la réponse fréquentielle d’un filtre non récursif à partir de l’équation du filtre (suite): si le vecteur H est réel, soit Hm réel pour m=0..R-1, à quelle condition le vecteur h=ifft(H) est il réel ? Réponse : il suffit que Hm=HR-m, pour m=0..R-1 car Et par conséquent hk est réel, pour k=0..R-1: noter que ce que l’on vient d’établir pour h et H, est vrai également pour en particulier ek est périodique de période R, et pour On utilisera dans la suite e et E, h et H et s et S ainsi définis, et de tailles R

La TFD du produit de convolution s= h La TFD du produit de convolution s= h*e est égale au produit des TFD de e et de h : Voici la démonstration, qui utilise la périodicité de la TFD inverse. Soit l ’équation du filtre Soit le signal filtré et le signal à filtrer C.Q.F.D. avec v= n-m quand n-m >0 et v=n-m+R quand n-m<0, puisque en-m=en-m+R.

Conclusion: voici la méthode de conception d’un filtre non récursif dont la réponse fréquentielle H2 est imposée E contient le spectre du signal à filtrer S contient le spectre du signal filtré H= fft(h) est la réponse fréquentielle du filtre dont les coefficients réels sont dans le vecteur h La réponse fréquentielle H est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle h Inversement, h est la TFD inverse de H, d’où l’idée : Méthode de conception: on impose H2 de la réponse fréquentielle du filtre, on calcule h= ifft(H2) qui donne les coefficients et donc l’équation du filtre de réponse fréquentielle H2 Ces coefficients seront bien réels si on a pris la précaution de choisir Hm= HR-m, m=0..R-1 Attention ! on impose uniquement R valeurs sur la réponse fréquentielle, aux fréquence kfe/R, k=0..R-1, il faudra vérifier H(f) entre ces fréquences

Vérification pratique avec Scilab (H est symétrique par rapport à R/2 , et imag(ifft(H))=0, i.e. h=real(ifft(H)) fe=8000; R=64; // H symétrique par rapport à R/2 H=4*[zeros(1,R/8),ones(1,1+R/8),zeros(1,-1+R/2),ones(1,1+R/8),zeros(1,-1+R/8)]; //étude de h=ifft(H) h=ifft(H); t=[0:R-1]/fe; plot2d(t',[real(h'),imag(h')]) e=gce(); e.children(1).thickness=3; xgrid(); xtitle("vérification: imag(ifft(H))=0",... "temps (s)","donc h=real(ifft(H))") h1=legend(['real(h)';'imag(h)'])

Réponse fréquentielle du filtre de coefficients réels h=real(ifft(H)) tracée sur M=1024 valeurs au lieu de 64 Pour tracer la réponse fréquentielle du filtre de coefficients h=real(ifft(H)), il suffit de tracer abs(fft(h)) Pour tracer M=16*R valeurs au lieu de R, il suffit d’aug-menter le vecteur h de 15*R coefficients nuls : M=16*R; fe=8000; fM=[0:M-1]*fe/M; h=real(ifft(H)); hM=zeros(1,M); hM(1:R)=h; plot2d(fM,abs(fft(hM))) xgrid(); xtitle(["tracé de … h=real(ifft(H))) sur",string(M),"points"] ... ,"fréquence (Hz)","H=abs(fft(h))")

Réponse fréquentielle du filtre de coefficients réels h=fftshift(real(ifft(H))) tracée sur M=1024 valeurs h = fftshift(real(ifft(H))) revient à permuter les deux moitiés du vecteur h clf(); M=16*R; h=fftshift(ifft(H)); fM=[0:M-1]*fe/M; hM=zeros(1,M);hM(1:R)=real(h); plot2d(fM,abs(fft(hM))) xgrid(); xtitle(["tracé de abs(fft(fftshift(real(ifft(H))))),", string(M),… " points"],"fréquence (Hz)","H")

Il suffit d’arrondir la forme de la réponse fréquentielle spécifiée dans le vecteur H pour atténuer les oscillations résiduelles. H=4*[zeros(1,R/8-1),0.1,0.5,0.9,ones(1,R/8-3),0.9,0.5,0.1, ... zeros(1,-3+R/2),0.1,0.5,0.9,ones(1,R/8-3),0.9,0.5,0.1, ... zeros(1,-2+R/8)];

Exemple de calcul et d’utilisation d’un filtre avec Scilab La réponse fréquentielle du filtre désiré est définie dans le vecteur H, les coefficients du filtre sont calculés dans le vecteur h, on filtre ‘piano.wav’, on compare spectrogrammes et énergies avant et après filtrage // filtre passe bande 1000Hz-2000Hz // gain 4, R=64, fe=8000Hz R=64; fe=8000; n=0:R-1; fr=n*fe/R; H=4*[zeros(1,R/8),ones(1,1+R/8), ... zeros(1,-1+R/2),ones(1,1+R/8), ... zeros(1,-1+R/8)]; plot2d3(fr,H) xgrid xtitle(['H2,avec R=',string(R)], ... 'fréquence (Hz)’, ‘H’) //calcul des coefficients du filtre h=fftshift(real(ifft(H))); plot2d3(n/fe,h) xtitle('coefficients du filtre',... 'temps (s)',... 'h=fftshift(real(ifft(H)))') xgrid(); // filtrage [y,fe]=wavread('piano.wav'); disp(fe) // fe=8000 sound(y,fe) yf= convol(h,y); wavwrite(yf,fe,'pianofilt.wav') sound(yf,fe) //Spectrogrammes (Goldwave) // énergie Ey=(y*y')/2 // énergie y = 163.96 Eyf=(yf*yf')/2 // énergie yf =89.62