Modèle mathématique d’un vélo Guy Gauthier ing.

Paramètres définissant la géométrie du vélo

Référentiels

Bicyclette version simplifiée L’angle λ = 90°. Fourche avant verticale. Ce qui implique que c = 0.

Vitesse de rotation du référentiel xyz Vitesses Roue arrière du vélo = V0; Centre de gravité = V. Vitesse de rotation du référentiel:

Vitesse du centre de gravité A partir des deux équations précédentes: Composante en y:

Dynamique liée à l’inclinaison du vélo Avec: Gravité Force centrifuge Force accélération

Dynamique liée à l’inclinaison du vélo De plus, pour la partie centrifuge: Ainsi, la dynamique devient:

Bilan C’est l’équivalent d’un pendule: Deux types de forces entrent en jeu: Force centrifuge, proportionnelle à: Force d’accélération angulaire, proportionnelle à:

Linéarisation (petits angles φ) En posant cos(φ)≈1 et sin(φ)≈φ : En Laplace

Localisation des pôles et zéros Un des pôles est instable !

Valeurs numériques h = 1.3 m; a = 0.4 m; b = 1.2 m; m = 75 kg; Jp ≈ mh2.

Bilan Le gain du système dépend du carré de la vitesse du vélo. La position du zéro dépend de la vitesse. Pole instable à plus lent si h est grand. Plus facile de conduire un vélo d’adulte qu’un vélo d’enfant.

Comment rendre le vélo stable ? La clé, c’est la fourche avant: Typiquement c = 4 à 8 cm.

Comment rendre le vélo stable ? Cela introduit une rétroaction: Ainsi, on obtient: Couple à la poignée

Comment rendre le vélo stable ? Pour que ce soit stable, il faut que: Donc, une fourche avant est essentielle à la stabilité du vélo. Vélo stable si vitesse suffisamment élevée. Ce qui ne facilite pas la tâche aux enfants.

Cas ou la roue commandée est à l’arrière Schéma de principe: Regardez la direction du vecteur V !

Préliminaires Équations: Dynamique:

Suite du modèle Avec: Qui dérivé donne:

Nouvelle dynamique Qui est: En linéarisant:

Transformation de Laplace La voici: Mêmes pôles, mais zéro dans le plan droit maintenant ! Gros risque de problème.

Transformation de Laplace Et avec une fourche avant:

Bilan avec la conduite arrière Système toujours instable. La conduite arrière introduit un zéro dans le plan droit. Ce zéro rend le contrôle très difficile, sinon impossible. Un très mauvais design.

Référence Karl J. Åström, Richard E. Klein, and Anders Lennartsson, ‘Bicycle dynamics and control: adapted bicycles for education and research’, IEEE Control System Magazine, Vol. 24, No. 4, pp. 26-47, August 2005