Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session automne 2012. Cours #1: Introduction à la modélisation et au contrôle de procédés industriels Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session automne 2012. Source de l’image: www.mlssystems.com/thermoforming.htm

Présentation du plan de cours Site web du cours https://cours.etsmtl.ca/sys823/matiere.htm SYS-823 - Été 2011

Introduction SYS-823 - Été 2011

Pourquoi fait-on la modélisation ? Modèle (Thinès-Lemp. 1975): Système artificiel dont certaines propriétés présentent des analogies avec des propriétés, observées ou inférées, d’un système étudié, et dont le comportement est appelé, soit à révéler des comportements de l’original susceptibles de faire l’objet de nouvelles investigations, soit à tester dans quelle mesure les propriétés attribuées à l’original peuvent rendre compte de son comportement manifeste. Référence : Cours 2, Automatique des systèmes linéaires à temps continu, Frédéric Gouaisbaut, LAAS-CNRS. SYS-823 - Été 2011

Les raisons de modéliser Entraînement des opérateurs; Design des procédés; Sécurité; Design des systèmes de contrôle. SYS-823 - Été 2011

L’entrainement de opérateurs Les opérateurs sont les personnes chargées de l'exploitation d'un processus de production. Usine de produits chimiques; centrale nucléaire;… Un modèle d’un procédé peut être utilisé pour former les opérateurs en effectuant des simulations. Simulateur de vol;… SYS-823 - Été 2011

Le design de procédés industriels Le modèle mathématique d’un procédé industriel peut être utilisé lors de la phase de design pour faciliter le dimensionnement des équipements pour obtenir la capacité de production voulu. Dimensionnement d’un réacteur chimique pour obtenir une certaine capacité de production. SYS-823 - Été 2011

La sécurité d’un procédé La sécurité des procédés peut être évaluée grâce à un modèle. On peut ainsi évaluer si, suite à la défaillance d’un équipement, le système va en se détériorant ou non. Évaluation du temps nécessaire à la pression pour atteindre un certain seuil après la défaillance d’une valve. On aussi utiliser le modèle d’un procédé pour faciliter le design d’un système de sécurité. SYS-823 - Été 2011

Le design de systèmes de contrôle Le contrôle de procédés industriels est nécessaire pour assurer que les variables du procédé restent à des valeurs désirées. Maintenir la température en ajustant le débit de vapeur dans un échangeur de vapeur. Les tests et ajustements de ces systèmes de contrôle peuvent être faits sans risque sur le modèle. Une fois éprouvés, ils peuvent être implantés sur le procédé réel. SYS-823 - Été 2011

Modélisation d’un système dynamique

Éléments d’un système dynamique Entrées contrôlables Système (procédé) Sorties Perturbations Paramètres États du système SYS-823 - Été 2011

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: SYS-823 - Été 2011

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) SYS-823 - Été 2011

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) SYS-823 - Été 2011

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) Vecteur des perturbations SYS-823 - Été 2011

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) Vecteur des perturbations Vecteur des paramètres SYS-823 - Été 2011

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Sorties du système: SYS-823 - Été 2011

Équations d’un système dynamique États du système: Équations différentielles: Sorties du système: Vecteur des sorties (p sorties) SYS-823 - Été 2011

Ces équations proviennent de… …lois et relations mathématiques des domaines suivants: Physique mécanique Physique électrique Chimie Mécanique des fluides Thermo-dynamique Biologie Physique nucléaire Physiologie SYS-823 - Été 2011

Exemples Chimie Loi d’Arrhenius Physique mécanique Lois de Newton Physique électrique Relation courant tension d’une inductance Thermo-dynamique Les principes de la thermodynamique Physiologie Pharmacocinétique (modèles à 1, 2 ou 3 compartiments) SYS-823 - Été 2011

Types… Linéaire Non-linéaire Selon la nature des fonctions f et g, le système peut être: Le système peut-être invariant dans le temps. Le système peut ne pas avoir d’entrées. Le système peut être continu ou discret. Linéaire Non-linéaire SYS-823 - Été 2011

Différentes approches de modélisation Équations différentielles ordinaires; Transformées de Laplace; Équations d’état. SYS-823 - Été 2011

Exemple des 3 approches Soit un système mécanique: u(t) = force externe (entrée); y(t) = déplacement de la masse (sortie). Équation différentielle ordinaire SYS-823 - Été 2011

Approche – équations différentielles Solution: Divisant par k : SYS-823 - Été 2011

Obtention de la sortie y(t) Puis (dans le cas où dzêta<1): Si f(t) est un échelon d’amplitude A. SYS-823 - Été 2011

Approche – transformée de Laplace Solution. Transformée de Laplace : SYS-823 - Été 2011

Approche – transformée de Laplace Puis : Ce qui donne: SYS-823 - Été 2011

Approche – transformée de Laplace Si u(t) est un échelon d’amplitude A: Donc : SYS-823 - Été 2011

Approche – transformée de Laplace Et la transformé de Laplace inverse donne: Donc : SYS-823 - Été 2011

Manipulations plus simples Bilan Manipulations plus simples SYS-823 - Été 2011

Approche – équations d’état Solution. Équation de départ : Posant : SYS-823 - Été 2011

Approche – équations d’état L’équation se réécrit: Donc, nous avons le système d’équations suivant : SYS-823 - Été 2011

Approche – équations d’état Sous forme matricielle : La sortie y(t) s’écrit : SYS-823 - Été 2011

Approche – équations d’état Valeurs propres de la matrice A : Le comportement du système déprendra de ces valeurs propres… SYS-823 - Été 2011

Approche – équations d’état La sortie y(t) s’écrit : Exponentielle d’une matrice !!! SYS-823 - Été 2011

Rappels de notions de systèmes asservis

Rappel – Signaux d’entrée SYS-823 - Été 2011

Rappel – Transformée de Laplace SYS-823 - Été 2011

Rappel – Transformée de Laplace Fonction sinusoïdale amortie: Fonction « cosinusoïdale » amortie: SYS-823 - Été 2011

Rappel – Propriétés de la transformée de Laplace SYS-823 - Été 2011

Rappel – Décomposition en fractions partielles 3 cas possibles: Les racines du dénominateur sont réels et distincts; Les racines du dénominateur sont réelles et multiples; Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires pures. SYS-823 - Été 2011

Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #1 Exemple: SYS-823 - Été 2011

Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #2 Exemple: SYS-823 - Été 2011

Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #3 Exemple: SYS-823 - Été 2011

Rappel – Diagramme de Bode Représentation d’un nombre complexe: Soit: En posant s = jω, on obtient: C’est un nombre complexe. SYS-823 - Été 2011

Rappel – Diagramme de Bode Amplitude du nombre complexe: Exprimé en décibel: SYS-823 - Été 2011

Rappel – Diagramme de Bode Phase d’un nombre complexe: Amplitude et phase en deux graphiques donne le diagramme de Bode. SYS-823 - Été 2011

Rappel – Diagramme de Bode SYS-823 - Été 2011

Rappel – Diagramme de Nyquist Partie réelle et imaginaire en fonction de la fréquence angulaire. SYS-823 - Été 2011

Rappel – Marges de phase et de gain Diagramme de Bode: SYS-823 - Été 2011

Rappel – Marges de phase et de gain Diagramme de Nyquist: SYS-823 - Été 2011

Rappel – Lieu des racines Position des pôles en boucle fermée: SYS-823 - Été 2011

Rappel – Lieu des racines Dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée: Localisation des pôles de T(s) est fonction du gain K SYS-823 - Été 2011

Modélisation de la circulation (modèle simplifié) Exemple: SYS-823 - Été 2011

Circulation automobile Frustré(e) d’être pris(e) dans la circulation ? Voyons ce qu’il se passe au feux de circulation. SYS-823 - Été 2011

Circulation automobile Modèle d’une voiture: Obstacle: Voiture; Feu de circulation; Arrêt. Vitesse de la voiture: SYS-823 - Été 2011

Circulation automobile À un feu rouge: Distance entre les deux voitures: SYS-823 - Été 2011

Circulation automobile Dérivons cette distance: Le feu passe au vert: Voiture #1 voit sa vitesse passer de 0 à c; Ainsi: SYS-823 - Été 2011

Circulation automobile Cette équation: Devient (après Transformée de Laplace): SYS-823 - Été 2011

Circulation automobile Soit la situation suivante à analyser: L = 20 m, l = 4 m, c = 20 m/s (72 km/h). Cela implique que m = 5/4 et b = -5. SYS-823 - Été 2011

Circulation automobile Dans le domaine temporel: Comme x(0) = l = 4 m, alors: SYS-823 - Été 2011

Circulation automobile Vitesse du second véhicule: SYS-823 - Été 2011

Outils matlab/simulink SYS-823 - Été 2011

MATLAB® Création d’un modèle: Système bilinéaire: Fonction bilin_ss.m:

MATLAB® Points d’équilibre: Valeurs des états qui font que les dérivées sont nulles. Commande « fsolve »: SYS-823 - Été 2011

MATLAB® Pour obtenir la dynamique du système: Fonction bilin_dyn.m: Exécution: SYS-823 - Été 2011

MATLAB® SYS-823 - Été 2011

MATLAB® Champ vectoriel SYS-823 - Été 2011

SIMULINK® Simulation via schémas blocs: SYS-823 - Été 2011

Fin de la présentation SYS-823 - Été 2011

Chimie Réaction chimique: Cette réaction se produit à une certaine vitesse (fonction de la température). Loi d’Arrhenius: k : constante de la vitesse de réaction E : Énergie d’activation (calorie/gramme-mole); R : Constante des gaz parfaits (calorie/gramme-mole/k); A : Facteur de fréquence; T : Température en kelvin. SYS-823 - Été 2011

Physique mécanique Lois de Newton: 1ère loi (principe de l’inertie) : Dans un référentiel galiléen, le centre d’inertie d’un solide soumis à un ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne et uniforme (le vecteur vitesse demeure constant). SYS-823 - Été 2011

Physique mécanique Lois de Newton: 2e loi (théorème du centre d’inertie) : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle  des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la masse de l’objet par son vecteur accélération. SYS-823 - Été 2011

Physique mécanique Loi de Newton: 3e loi : Lorsqu'un solide S1 exerce une force sur un solide S2, le solide S2 exerce sur le solide S1, la force directement opposée. SYS-823 - Été 2011

Physique électrique Relation tension/courant dans une inductance: Relation tension/courant dans un condensateur: SYS-823 - Été 2011

Thermodynamique Les principes: 0 : Si deux systèmes sont en équilibre thermique avec un troisième, alors ils sont aussi ensemble en équilibre thermique. 1 : L’énergie est toujours conservée. Transformation d’une forme d’énergie à une autre. 2 : L’énergie se dégrade. Passage de l’énergie potentielle à l’énergie cinétique (frottement, chaleur,…). SYS-823 - Été 2011

Physiologie Modèles à compartiments: Dynamique du cholestérol: SYS-823 - Été 2011

Sources d’images/modèles Figures aux acétates #38 et #40: Nise, N.S., « Control System Engineering », Wiley, 2008; Modèle de circulation: http://www.math.toronto.edu/mathnet/carcompet/model.ht ml (visité le 6 septembre 2012) , 1997; Figure à l’acétate #77: Blomhj, M., Kjeldsen, T.H. and Ottesen, J., «  Compartment models », http://www4.ncsu.edu/~msolufse/Compartmentmodels.pdf (visité le 6 septembre 2012) , 2005. SYS-823 - Été 2011