Projection, cosinus et trigonométrie. Une initiation pour petits et grands.

Lumière et ombre Comment connaître la hauteur de cette pyramide dont le sommet est inaccessible? Le soleil darde ces rayons, et fait apparaître une ombre au sol

Un bâton planté dans le sol Fait apparaître aussi une ombre

On accepte l’idée que les rayons du soleil arrivent parallèles sur Terre

Les ombres sont proportionnelles à l’objet qui forme cette ombre.

On peut mesurer les longueurs du bâton et de son ombre. Et connaître ainsi le rapport de l’un à l’autre. Pour l’appliquer ensuite à la pyramide.

Par exemple si un bâton de 1 mètre donne une ombre de 1,50 mètre, cela signifie que l’ombre est une fois et demi celle du bâton. Et donc, l’ombre de la pyramide est une fois et demi celle de la pyramide.

Projeter Le sol

Différents points projettent leur ombre sur le sol.

Projeter, c’est envoyer les points sur une droite en suivant une direction.

On peut modifier la direction de cette projection.

On peut modifier la droite sur laquelle on projette

On peut modifier la droite sur laquelle on projette

(D) Pour projeter, il faut Une droite sur laquelle on projette, Une direction pour la projection. () (D)

A () (D) A’ Le projeté d’un point A, est le point d’intersection de la parallèle à () passant par A et de la droite (D).

A (D) () A’ A’ est le projeté de A sur (D) parallèlement à ().

A E () (D) E’ B A’ C’ B’ C

Effet d’une projection sur les formes Un segment [AB] A B On projette A en A ’. () On projette B en B ’. (D) A’ B’

B A M A’ (D) M ’ B’ Un point de [AB] () A B A’ B’ M M est projeté en M ’ entre A ’ et B ’. M ’

(D) () A B A’ B’

Le projeté du segment [AB] est le segment [A’B’] () A B A’ B’

Un triangle A B C () (D) A’ B’

L ’ensemble du triangle est projeté sur le segment [A’B’] () A’ B’ A B C

A’ (D) B’ Un disque On projette des points du cercle. () L ’ensemble du disque est projeté sur le segment [A’B’] (D) A’ B’

En général, on obtient toujours un segment. () (D)

En général, on obtient toujours un segment. () (D)

Effet d’une projection sur les longueurs La longueur est conservée.

La longueur est agrandie.

La longueur est diminuée.

Effet d’une projection sur les longueurs En général, la projection modifie les longueurs. Elle ne conserve les longueurs que lorsque celles-ci sont parallèles à la droite sur laquelle on projette. Elle augmente ou diminue les autres. De même, elle modifie la nature des figures géométriques. Elle n’a donc que peu de rapport avec les transformations géométriques (symétries, translations, rotations)

Projection et milieu. On projette un segment. On projette son milieu. On obtient le milieu du projeté.

Donc la projection conserve le milieu. Projection et milieu Donc la projection conserve le milieu. C’est à dire que le projeté du milieu d’un segment est le milieu du segment projeté.

Milieu sur un quadrillage. 6 carreaux 8 carreaux

On obtient ici le milieu 3 carreaux 3 carreaux On obtient ici le milieu

On obtient ici le milieu 4 carreaux 4 carreaux On obtient ici le milieu

Projection de longueurs égales. On obtient 7 parties de longueurs égales. 1 2 3 4 5 6 7

On obtient 7 parties, de longueurs égales, limitées par les bandes horizontales.

On obtient 5 parties, de longueurs égales, limitées par des bandes verticales de deux carreaux de largeur. 1 2 3 4 5

On veut partager un segment en 5 parties égales. Mais, oh quel dommage! 9 carreaux Ce segment n’est pas directement partageable en cinq parties …. 8 carreaux

5 4 3 2 1 Alors, comment qu’on va faire?. On reproduit le segment en quession. Mais de manière asqui soit placé juste comme ifau pour pouvoir en couper cinq parties égales. 5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

Milieux dans le triangle Par le milieu d’un côté On trace la parallèle au deuxième côté. Elle coupe le troisième côté en son milieu

Si on trace une droite qui passe par les milieux de deux côtés Elle se trouve être parallèle au troisième côté.

// //

Les milieux font apparaître quatre triangles superposables.

Les milieux font apparaître trois parallélogrammes.

Donc le segment des milieux est deux fois moins long que le côté auquel il est parallèle.

Projection orthogonale Dans une projection orthogonale, la direction de la projection est perpendiculaire à la droite sur laquelle on projette.

Projection orthogonale Sur une droite A On place des points B C D E

On les projette orthogonalement B C E D A’ B’ C’ D’ E’

Les segments projetés sont plus courts que les segments initiaux. B C E D A’ B’ C’ D’ E’ Donc la projection orthogonale réduit les longueurs.

Comment s’opère cette réduction? A B C E D A’ B’ C’ D’ E’

Comparer les longueurs On peut mesurer les longueurs et les comparer par différence. A B C E D A’ B’ C’ D’ E’

A B C E D A’ B’ C’ D’ E’ 0,7 0,3 0,5 0,2 AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DE Segment initial Segment projeté AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DE D’E’ 6,3 5,6 2,7 2,4 4,1 3,6 2,1 1,9 A B C E D A’ B’ C’ D’ E’ Différence 0,7 0,3 0,5 0,2 6,3 cm 2,7 cm 4,1 cm 2,1 cm 5,6 cm 2,4 cm 3,6 cm 1,9

A B C E D A’ B’ C’ D’ E’ 0,7 0,3 0,5 0,2 AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DE Segment initial Segment projeté AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DE D’E’ 6,3 5,6 2,7 2,4 4,1 3,6 2,1 1,9 A B C E D A’ B’ C’ D’ E’ Différence 0,7 0,3 0,5 0,2 6,3 cm Cette différence dépend donc de la longueur initiale. On va donc chercher à les comparer par leur rapport. C ’est à dire par quel nombre elles ont été multipliées au cours de la projection. 2,7 cm 4,1 cm 2,1 cm 5,6 cm 2,4 cm 3,6 cm 1,9

A B C E D A’ B’ C’ D’ E’ 0,89 0,88 0,90 AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DE Segment initial Segment projeté AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DE D’E’ 6,3 5,6 2,7 2,4 4,1 3,6 2,1 1,9 A B C E D A’ B’ C’ D’ E’ Le segment initial est multiplié par 0,89 0,88 0,90 6,3 cm Ce rapport prend des valeurs qui sont assez proches. Les mesures et les calculs arrondis peuvent justifier ces petits écarts. 2,7 cm 4,1 cm 2,1 cm 5,6 cm 2,4 cm 3,6 cm 1,9

A B C E D A’ B’ C’ D’ E’ 6,3 cm 5,6 cm 2,7 cm 4,1 cm 2,1 cm 2,4 cm En moyenne, au cours de la projection, les longueurs sont multipliées par 0,89 A B C E D A’ B’ C’ D’ E’ 6,3 cm 5,6 cm 2,7 cm 4,1 cm 2,1 cm 2,4 cm 3,6 cm 1,9  0,89

On peut vérifier que toute autre longueur sur la même droite est multipliée aussi par 0,89 au cours de la projection orthogonale. A A’ 10 cm  0,89 E E’ 8,9 cm

Inversement si on connaît la longueur du projeté, il suffit de la diviser par 0,89 pour retrouver la longueur du segment initial. A A’ 11,5 cm  0,89 E E’ 10,24 cm

Cosinus d’un angle En résumé : au cours de la projection orthogonale, Les longueurs sont multipliées par un coefficient indépendant de la longueur initiale . C’est ce nombre que l’on appelle le Cosinus de l ’angle formé par les deux droites.  0,89

Variations du cosinus avec l’angle Pour un angle de 16° 11,5 12 0,96 = Le Cosinus est égal à : 12 cm 11,5 cm 16°

26° = 0,90 Pour un angle de 10,8 Le Cosinus est égal à : 12 12 cm

38° = 0,79 Pour un angle de 9,5 Le Cosinus est égal à : 12 12 cm

48° = 0,68 Pour un angle de 8,1 Le Cosinus est égal à : 12 12 cm

59° = 0,52 Pour un angle de 6,2 Le Cosinus est égal à : 12 12 cm

71° = 0,33 Pour un angle de 4 Le Cosinus est égal à : 12 12 cm 4 cm

81° = 0,15 Pour un angle de 1,8 Le Cosinus est égal à : 12 12 cm

Variations du cosinus avec l’angle Quand l’angle augmente de 0° à 90°, le Cosinus diminue de 1 à 0.

Dans un triangle rectangle Pour un angle aigu Le Cosinus fait intervenir les deux côtés de l’angle. Le côté a que l’on dit adjacent. Et h l’hypoténuse a = h  Cos h Cos a h = Cos = a h  a

b = h  Cos h  b Cos b h = Cos = b h

Résolution du triangle rectangle. Résoudre un triangle, c’est calculer les côtés et les angles à partir du minimum de données.

  a = h  Cos  = 90° -  h a b = h  Cos   Cos  Cos  b Si on connaît l’hypoténuse et un angle aigu On peut calculer le côté a a = h  Cos Puis on peut calculer l’autre angle aigu  h  = 90° -  Puis, on peut calculer le côté b a b  Cos b = h  Cos   Cos  

 a = h  Cos = 12  Cos62  12  0,469  5,6 cm  = 90 - 62 = 28° Par exemple a = h  Cos = 12  Cos62  12  0,469  5,6 cm  = 90 - 62 = 28° 62° 12 b = h  Cos  = 12  Cos 28  12  0,883  10,6 cm a b  Cos 62  Cos 28 

Si on connaît un côté et un angle aigu On commence par calculer le second angle aigu 90 - 77 = 13° On peut maintenant calculer l’hypoténuse h = 8,5  Cos 13  8,5  0,974  8,7 cm Connaissant l’hypoténuse, on peut calculer le troisième côté. a  8,7  Cos 77  8,7  0,225 h 77°  1,9 cm a 13° 8,5

h 10,3 9,7 Si on connaît deux côtés On peut calculer l’hypoténuse en utilisant la relation de Pythagore 10,3 h = 10,3² + 9,7² = 200,18 h  14,1 cm h 9,7

 14,1 10,3 9,7 Si on connaît deux côtés On peut calculer l’hypoténuse en utilisant la relation de Pythagore 10,3 h = 10,3² + 9,7² = 200,18 h  14,1 cm On peut maintenant calculer l’un des angles aigus par son Cosinus 14,1 Cos  = 9,7  14,1  0,688 Avec une machine, on trouve :   47°  Et enfin l’autre angle aigu :  90 - 47  43° 9,7

Quelques valeurs particulières Si on partage un carré par une diagonale. On obtient un triangle rectangle isocèle.

Les deux angles aigus mesurent 45°

Les deux côtés de l’angle droit sont égaux. On appelle a cette longueur. Par la relation de Pythagore, on calcule la longueur de l’hypoténuse. On obtient 2 . a Cos45 = a 2 . a 2 . a a Et après simplification par a, Cos45 = 1 2

Si on partage un triangle équilatéral par un axe de symétrie On obtient un triangle rectangle dont les angles aigus mesurent 30° et 60°. 30° 60°

Si le côté du triangle équilatéral mesure a. Le triangle rectangle a deux côtés qui mesurent a et a/2. 30° 60° a a/2

Par la relation de Pythagore, on calcule le troisième côté 3 . a 2 30° 60° On obtient Cos30 = a 3 . a 2 = a a/2 3 .a 2 Cos60 = a a /2 = 1 2

Quelques valeurs particulières Angle  Cos  0° 30° 45° 60° 90° 1 3 2

Angles complémentaires Dans un triangle rectangle Les deux angles aigus sont complémentaires C ’est à dire que leur somme est égale à 90°.

0,978 12° 78° 0,208 Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure Leur cos est égal à Si l’un des deux angles mesure 12° 0,978 78° 0,208 L’autre mesure

18° 0,951 72° 0,309 Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure Leur cos est égal à 18° Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 0,951 72° 0,309

24° 0,914 66° 0,407 Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure Leur cos est égal à 24° Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 0,914 66° 0,407

0,819 35° 0,574 55° Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure Leur cos est égal à Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 35° 0,819 55° 0,574

45° 0,707 45° 0,707 Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure Leur cos est égal à 45° Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 0,707 45° 0,707

59° 0,515 0,857 31° Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure Leur cos est égal à Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 59° 0,515 31° 0,857

78° 0,208 12° 0,978 Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure Leur cos est égal à Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 78° 0,208 12° 0,978

87° 0,052 0,999 3° Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure Leur cos est égal à Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 87° 0,052 3° 0,999

  Pour deux angles complémentaires, les Cosinus varient en sens opposé. Quand l’un augmente, l’autre diminue 0,052 0,208 0,515 0,707 0,999 0,978 0,857 0,819 0,574 0,914 0,407 cos cos On peut chercher quelle relation lie ces deux valeurs.

  a b h b Cos  = h donc b² Cos²  = h² Cos²  = a² Cos  = a h b² + = a² + b² h² = h² = 1 Cos²  + Cos²  = Par la relation de Pythagore, a²+ b² = h²

Repères et coordonnées. Quand on place un point, pour pouvoir déterminer sa position, on se réfère à deux axes. A

A Un axe horizontal Un axe vertical

Chacun de ces axes est orienté, et gradué +1 +2 +3 +4 +5 +6 A -1 -2 -3 -4 -5 -6 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 -1 -2 -3 -4 -5 Chacun de ces axes est orienté, et gradué

A O Les deux axes se coupent au point O qui est l’origine du repère. +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 O Les deux axes se coupent au point O qui est l’origine du repère.

Ordonnée de A A O Abscisse de A On projette A sur l’axe horizontal. Puis on projette A sur l’axe vertical. A +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Ordonnée de A Abscisse de A O

+2,2 A O +5 Le couple (+5 ; +2,2) est le couple des coordonnées de A. +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 +2,2 O +5 Le couple (+5 ; +2,2) est le couple des coordonnées de A.