CRITÈRE DE CONVERGENCE cours 26

Au dernier cours, nous avons vu Somme infinie Convergence et divergence de série Série harmonique Série arithmétique Série géométrique

Critère du terme général Critère de l’intégrale Série de Riemann Critère de d’Alembert Critère de comparaison à l’aide d’une limite Critère du polynôme

Au dernier cours, on a vu que pour évaluer une série il faut trouver une expression pour sa somme partielle. Or, cette tâche est plutôt difficile à faire. On va donc utiliser plusieurs critères nous permettant, sous certaines conditions, de déterminer la convergence ou divergence d’une série.

Théorème: (Critère du terme général) Soit une série Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge. diverge converge

La série harmonique diverge Exemple: Donc la série diverge. Remarque: L’inverse du théorème est faux. converge La série harmonique diverge mais

Faites les exercices suivants p.353 # 2

et la suite des éléments sommés Considérons une série et la suite des éléments sommés avec et On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur

avec et Donc si diverge, alors diverge et si converge, alors converge

En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsqu’elle converge

Exemple: Donc converge

Faites les exercices suivants p. 353 #3

est une série de Riemann ou une série-p Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série. Une série de la forme est une série de Riemann ou une série-p c’est la série harmonique et elle diverge Si diverge par le critère du terme général Si

Donc la série diverge par le critère du terme général. si Donc la série diverge par le critère du terme général. On peut donc appliquer le critère de l’intégrale

et l’intégrale converge, donc la série aussi Sinon, ça diverge Donc converge

Faites les exercices suivants p. 353 # 4

(Critère de d’Alembert) Théorème: (Critère de d’Alembert) et posons converge diverge Si ??? Si «Preuve»:

somme finie donc converge «Preuve»: Si somme finie donc converge Série géométrique converge si

Faites les exercices suivants p. 353 # 7

(Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Théorème: (Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si converge converge alors «Preuve»:

Exemple: mais c’est la série harmonique qui diverge donc diverge.

Corolaire: Preuve: (Critère du polynôme) un polynôme de degré posons Si converge Si diverge Preuve: Il suffit de faire un comparaison à l’aide d’une limite avec la série de Riemann

Faites les exercices suivants p.353 # 6 et 10

Aujourd’hui, nous avons vu Critère du terme général Critère de l’intégrale Série de Riemann Critère de d’Alembert Critère de comparaison à l’aide d’une limite Critère du polynôme

Devoir: p. 353, # 1 à 7, 10 et 11. sauf 11 c)