Somme et intégrale de Riemann Calculer une somme de Riemann, puis calculer une intégrale de Riemann par le passage à la limite Bien distinguer une aire géométrique d’une aire algébrique Comprendre le lien entre l’intégrale définie et ces deux types d’aires Connaître les propriétés de l’intégrale de Riemann (appelée également intégrale définie)

Somme de Riemann Soit une fonction définie par y = f(x) sur un intervalle fermé [a, b] et soit un découpage de [a, b] en n sous-intervalles. Nous appelons somme de Riemann toute somme Sn de la forme : x y c1 c2 c3 c4 Notons qu’il peut y avoir plus d’une somme de Riemann pour le même intervalle dépendant du découpage choisi. Dans le cas où f est continue et non-négative sur [a,b], toute somme de Riemann donne une approximation de l’aire géométrique entre la courbe f, l’axe des x dans l’intervalle [a,b].

Intégrale de Riemann ou intégrale définie Soit une fonction f définie sur un intervalle fermé [a, b] et soit d, un découpage de [a, b]. L’intégrale de Riemann ou intégrale définie de f sur [a, b] est définie comme la limite, si elle existe, de la somme de Riemann pour le découpage d, lorsque le plus grand intervalle de ce découpage tend vers 0, ce qui implique que le nombre d’intervalles tend vers l’infini. Une intégrale définie est donc une limite et si elle existe alors on dit que f est intégrable sur [a, b]. Le résultat donne un nombre réel. Théorème Toute fonction continue sur un intervalle [a, b] est intégrable sur cet intervalle.

Intégrale définie Aire géométrique et aire algébrique + Dans le cas où f est continue et non-négative sur [a,b], l’intégrale définie donne l’aire géométrique entre la courbe f, l’axe des x et entre les droites x=a et x=b. Dans le cas où f est continue et négative sur [a,b], les f(ci) sont alors négatifs et l’intégrale définie donne alors la valeur négative de l’aire entre la courbe f, l’axe des x et entre les droites x=a et x=b. Dans le cas où f est continue, positive et négative sur [a,b], l’intégrale définie correspond à l’aire algébrique, car la partie négative est soustraite de la partie positive. a b x y _

Propriétés de l’intégrale