Calcul en cycle 3 Canevas de l’AP (9h) Présentiel 2h (apports didactiques et pédagoqiques) du 26 au 30 Novembre 2018 Présentiel 2h à 3h (conférence E.SANDER) Distanciel 2 h à 3 h Novembre à Janvier 2018 Présentiel 2h (retour d’expérience – différenciation) Février 2019

Mise en situation Vous allez avoir 15 s pour réaliser un calcul. Vous devez inscrire uniquement le résultat sur votre papier 32 x 25

Recensement des procédures Grâce au Qr Code, placez la lettre correspondant à votre procédure en haut. A- Je l'ai posée dans ma tête. B- J'ai fait 32 x 20 + 32 x 5 = 640 + 160 = 800 ou J'ai fait 25 x30 + 25 x 2 = 750 + 50 = 800 C- J'ai fait (30 + 2) x ( 20 + 5) = (30 x 20) + (30 x 5) + (2x20) + (2x5)= 600 + 150 + 40 + 10 = 800 D- J’ai fait autrement.

Mise en évidence d’autres procédures 32 x 100 : 4 32 x 100 x 1/4 8 x 4 x 25 … 16 x 50 = 8 x 100

Toutes les procédures se valent-elles? Faits numériques Propriété(s) Coût 32 ou 25 x 25 x 32  Tables de 2, 3, 5 Commutativité a x b = b x a  Niveau de connaissance de faits numériques faible (niveau CE1)  Niveau de procédure faible également (algorithme)  Coût en calcul fort (algorithme)  Peu de chance d’aboutir

Toutes les procédures se valent-elles? Faits numériques Propriété(s) Coût 32 x 20 + 32 x 5  25 = 20 + 5  20 = 2 x 10  Double de 32 (doubles de 3 et 2)  x 10 (le chiffre des U  le chiffre des D)  x 5 c’est la moitié de x 10 Distributivité a x (b+c) ab + ac Niveau de connaissance de faits numériques moyen Niveau de procédure moyen « canonique » Coût en calculs moyen Efficacité assez bonne (bonne si possibilité d’écrire les résultats intermédiaires) / Rapidité moyenne Rem: 32 x 5 c’est le quart de 32 x 20 25 x 30 + 25 x 2  32 = 30 + 2  Double de 25  30 = 3 x 10 (30 c’est 3 D) Triple de 25  x 10

Toutes les procédures se valent-elles? Faits numériques Propriété(s) Coût 32 x 100 : 4 32 x 100 x ¼  25 = quart de 100  x 100 (le chiffre des U  le chiffre des C  Le quart c’est la moitié de la moitié Associativité a x ( b : c) = (a x b ) : c Niveau de connaissance de faits numériques bon (+ élevé que précédemment) Niveau de procédure bon Coût en calculs de + en + faible (économie ++) Efficacité bonne / Rapidité bonne (voire excellente pour la dernière procédure très peu utilisée 32 : 4 x 25 x 4  8 = quart de 32  25 x 4 = 100  x 100 « Neutralisation » application d’un rapport A x b = (a : c) x (b x c) 8 x 4 x 25  32 = 8 x 4  4 x 25 = 100 a x b x c = (a x b) x c

Faits numériques Cycle 2 (cf. Repères de progressivité) Cycle 3 … Itération +1, +10, + 100 Tables d’addition et de multiplication Décompositions additives et multiplicatives de 10 et de 100 Relation entre les unités de numération (unités simples, D, C, M) Compléments à la D supérieure, à la C supérieure Multiplication par une puissance de 10 Doubles et moitiés de nombres d’usage courant… Cycle 3 … Relation entre les unités (nombre décimal) Équivalence de fractions Compléments à l’U, la D et la C supérieure (nombre décimal) Multiplication et division par une puissance de 10 d’un nombre décimal Multiplication par 5, 25, 50, 100, 0,1 (:10), 0,5 (1/2, un demi donc moitié) Multiples de 2, 3, 4, 5, 9 … 60 (conversions durées)…

Propriétés des opérations Commutativité (Addition et Multiplication) 5 + 27 = 27 + 5 6 × 4 = 4 × 6 Associativité (Addition, multiplication et division) (37 × 4) × 25 = 37 × (4 × 25) Distributivité (Multiplication sur addition et sur soustraction) 12 × 47 = (10 + 2) × 47 = 10 × 47 + 2 × 47

Enjeux de l’enseignement du calcul Assurer la connaissance des faits numériques Apprendre les tables de x dans les deux sens Soulager la mémoire de travail 36 x 8 point d’appui sur 6 x 8 Avoir des nombres qui parlent Ex: 14 objets valent 63 €. (14 = 7 x 2 et 63 = 7 x 9) 4 objets ? (2 objets valent 9 € donc on double) Pouvoir aborder sereinement le calcul posé (algorithme rassurant) Développer la connaissance des procédures de calcul mental Ex: + 9, c’est + 10 puis – 1 tout en développant l’intelligence des calculs!  31 + 9 x 5, c’est x 10 et on fait la moitié ou inversement attention 70 x 5 on va davantage s’appuyer sur 7 x 5 Renforcer des capacités et connaissances mathématiques Aire du rectangle Conversions Proportionnalité

Préconisations Dépasser l’utilisation intuitive des propriétés en les enseignant de manière explicite Dépasser les simples décompositions de nombre du type 234 c’est 200 + 30 + 4 ou (2 x 100) + (3 X 10) + (4 x 1) Economiser la mémoire de travail ex: x 2, x 4 et x 8 x 3, x 6 et x 9 x 5 et x 10 x 9 et x 10 x 7 (repartir de x 6 ou x 5 et ajout du double) Donner davantage de place au calcul en ligne qu’au calcul posé Adopter une certaine tolérance qu’en à l’écrit tout en allant vers une utilisation raisonnée des signes = et ()

Evaluation mises au service des apprentissages Une démarche en 4 étapes Découverte Institutionnalisation ETAPE 1 Appropriation Renforcement ETAPE 2 Réinvestissement régulier ETAPE 3 Evaluation Consolidation ETAPE 4 Evaluation mises au service des apprentissages Différenciation

ETAPE 1 Situation de départ Recherche Mise en commun Institutionnalisation Dans cette étape , la rapidité d’exécution des calculs n’est nullement l’objectif.

ETAPE 1 Un problème arithmétique simple et des contraintes Situation de départ Recherche Un problème arithmétique simple et des contraintes Un ballon de basket coûte 32 €. Combien paiera une école qui en achète 25 ?  Contraintes : pas d’écrit possible et pas de calculatrice Variante : 1er temps : l’énoncé est lu deux fois avec prise de notes possible 2ème temps : les élèves résolvent mentalement le problème 3ème temps : les élèves écrivent le résultat Séance (s) longue (s) (30’ à 40’) Calcul « tranquille » Situation de départ : petit problème,

ETAPE 1 32 x 25 = - Contraintes : temps limité, pas de calcul posé Situation de départ Recherche Un calcul avec contraintes 32 x 25 = - Contraintes : temps limité, pas de calcul posé Travail sur l’ardoise. Possibilité d’écrire les calculs intermédiaires Séance (s) longue (s) (30’ à 40’) Calcul « tranquille » Situation de départ : petit problème,

ETAPE 1 Calcul « tranquille » Situation de départ : petit problème, Recherche Plusieurs calculs avec des contraintes 24 x 25 ; 9 x 25 ; 48 x 25 ; 10 x 25 ; 40 x 25 ; 100 x 25 ; 4 X 25 ; 43 x 25 ; 36 x 25 - Contraintes : temps limité, pas de calcul posé Travail dans le cahier. Possibilité d’écrire les calculs intermédiaires Séance (s) longue (s) (30’ à 40’) Calcul « tranquille » Situation de départ : petit problème,

ETAPE 1 Plusieurs calculs avec une contrainte Situation de départ Recherche Plusieurs calculs avec une contrainte 12 x 25 36 x 25 60 x 25 1002 x 25 222 x 25  Contrainte : pour chaque calcul, utiliser la calculatrice pour trouver le résultat, mais sans utiliser le nombre 25. Séance (s) longue (s) (30’ à 40’) Calcul « tranquille » Situation de départ : petit problème,

ETAPE 1 Situation de départ Recherche Une question « Dans votre cahier de recherche, expliquez comment vous calculez: « 32 x 25 » sans poser l’opération. » Séance (s) longue (s) (30’ à 40’) Calcul « tranquille » Situation de départ : petit problème,

ETAPE 1 Mutualisation des réponses et des différentes procédures. Mise en commun Mutualisation des réponses et des différentes procédures. Explicitations orales par les élèves qui donnent à voir leurs démarches (qu’elles soient correctes ou erronées) en présentant leurs écrits. Validation des réponses après un échange d’arguments Emergence des erreurs. Recherche de leurs causes Trace écrite : au tableau, affichage collectif, cahier de l’élève Séance (s) longue (s) (30’ à 40’) Calcul « tranquille » Situation de départ : petit problème,

ETAPE 1 L’enseignant traduit oralement et par écrit ce que dit l’élève Mise en commun L’enseignant traduit oralement et par écrit ce que dit l’élève verbalisation appui sur des représentations dans différents registres (schéma, demi-droite graduée, arbres de calculs…) utilisation des écritures symboliques Exemples : en langage ordinaire :
32 fois 25, je sais que 32 c’est 8 fois 4 et que 4 fois 25 fait 100 donc je fais 8 fois 100 ;
 puis en langage mathématique : 32× 25 = (8 × 4) x 25 = 8 x ( 4 x 25) = 8 x 100 = 800 En langage mathématique, les parenthèse sont inutiles dans ce cas mais ce peut être un appui à la compréhension par les élèves.

Institutionnalisation ETAPE 1 Institutionnalisation Comparer les procédures en termes d’efficacité et de coût, les hiérarchiser. Faire émerger une procédure (ou plusieurs procédures) et son domaine d’efficacité. Le but est de rendre l’élève capable de s’adapter et de choisir la procédure adaptée. Exemple Il se peut qu’une autre procédure soit préférable pour certains calculs particuliers 9 x 25 = ?  25 x 10 – 25 ou 8 x 25 + 25 mais encore 1 002 x 25 =?  1 002 x 100 : 4 puis pour 222 x 25 = ?  111 x 50 = 111 x 10 x 5 Déterminer ce qu’il faut retenir + trace écrite dans le cahier Séance (s) longue (s) (30’ à 40’) Calcul « tranquille » Situation de départ : petit problème,

Appropriation et renforcement ETAPE 2 Appropriation et renforcement De façon massée sur une procédure 1 à 4 séances courtes (15 minutes) et quotidiennes Reformulations et explicitations des procédures par les élèves en donnant des exemples, jeu du vrai-faux, arbres à calculs à compléter, … Exercices nombreux, variés et différenciés      Séance (s) longue (s) (30’ à 40’) Calcul « tranquille » Situation de départ : petit problème,

Réinvestissement régulier ETAPE 3 Réinvestissement régulier De façon filée tout au long de l’année sur une variété de procédures Situations de rappel lors de séances portant sur un autre objectif : mémoriser des faits numériques: 100 = 4 X 25 , 250 x ? = 1 000, 25 x 40 = ? Ou le quart de 100, de 1 000… Résolution de problèmes simples relevant du calcul mental. Dans le cadre de jeux de calcul mental      , rect

ETAPE 4 Autoévaluation et constat des progrès. Evaluation      Autoévaluation et constat des progrès. Évaluation différenciée.

Contractualisation - Distanciel Expérimenter la séquence sur 32 x 25 Concevoir seul ou en équipe une autre séquence sur le modèle proposé et la mettre en œuvre exemples : … x 9 pour les CM1 … x 5 pour les CM2 Observer les élèves, leurs démarches et les obstacles qu’ils rencontrent Analyser les difficultés au moyen de la grille proposée Garder des traces des procédures des élèves et de l’institutionnalisation des savoirs Oser les outils : Calcul@tice M@ths en-vie Plickers

Pour aller plus loin Le nombre au cycle 3 – Apprentissages numériques – Scérén Partie 3 « Calcul et conceptualisation » – p 33 à 52 Denis Butlen et Pascale Masselot Calcul@tice – Concours 2019 Inscription du 07 janvier au 08 février 2019 Rallye CM1 du 25 mars au 6 avril 2019 Rallye CM2 ou CM2/6ème du 11 au 23 mars 2019