Le cercle trigonométrique Introduction

Définition: Le cercle trigonométrique est un cercle centré à l’origine du plan cartésien et ayant un rayon égal à 1. 1 2 3 -1 -2 -3 y x

Regardons, de plus près, les implications de cette définition. 1 -1 y x 1 2 3 -1 -2 -3 y x 1 -1 y x 1 -1 y x

Le rayon étant égal à 1: les coordonnées des points seront comprises entre -1 et 1. y 1 ( x , y ) ( -x , y ) ( x , y ) ( -x , y ) ( x , y ) -1 ( -x , -y ) ( x , -y ) ( x , -y ) 1 x -1 abscisse : -1 ≤ x ≤ 1 ordonnée : -1 ≤ y ≤ 1

Le rayon étant égal à 1: y 1 L’équation du cercle est: x2 + y2 = 1 En utilisant la relation de Pythagore : 1 x y c2 = a2 + b2 c b et en remplaçant c par 1 a par x a x 1 -1 b par y on obtient : c2 = a2 + b2 1 = x2 + y2 -1 L’équation du cercle trigonométrique: x2 + y2 = 1

Le rayon étant égal à 1: y 1 le cosinus de l’angle correspond à l’axe des abscisses; (x , y) cos θ = côté adjacent hypoténuse 1 y 1 x cos θ = cos θ = x θ x x 1 le sinus de l’angle correspond à l’axe des ordonnées; -1 sin θ = côté opposé hypoténuse 1 y sin θ = sin θ = y -1 Les coordonnées des points du cercle ( x , y ) correspondent donc à ( cos θ , sin θ) ( cos θ , sin θ)

Exemple: y 1 Quelles sont les coordonnées du point de rencontre du rayon avec la circonférence pour un angle de 500 ? ( cos 500 , sin 500 ) Coordonnées du point: 1 ( cos 500, sin 500 ) y 500 cos 500 ≈ 0,6427… ≈ 0,64 x x 1 -1 sin 500 ≈ 0,7660… ≈ 0,77 Coordonnées du point: ( cos 500 , sin 500 ) ≈ ( 0,64 , 0,77 ) ( 0,64 , 0,77 ) -1

Remarque y 1 Pour des angles compris entre 00 et 900 : plus la mesure de l’angle augmente et plus la valeur du cosinus diminue. 1 x -1 -1

Remarque y 1 Pour des angles compris entre 00 et 900 : plus la mesure de l’angle augmente et plus la valeur du sinus augmente. 1 x -1 -1

Quelques coordonnées remarquables 1 Le rayon rencontre la circonférence; ( x , y ) il faut donc être capable de déterminer les coordonnées de ce point de rencontre. coordonnées Pour un angle de 00 : ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) -1 1 Pour un angle de 900 : ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) Pour un angle de 1800 : ( -1 , 0 ) ( -1 , 0 ) Pour un angle de 2700 : ( 0 , -1 ) ( 0 , -1 ) -1 Pour un angle de 3600 : ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) Pour les autres coordonnées, nous aurons nécessairement besoin de l’équation du cercle: x2 + y2 = 1

Quelques coordonnées remarquables Avant de parler des coordonnées de certains autres points du cercle trigonométrique, il faut connaître quelques lois sur les racines carrées. Loi 1: On doit extraire la racine carrée d’un nombre au carré. Exemple: 25 = 5 Loi 2: Si la racine carrée d’un nombre ne donne pas un nombre juste, on le laisse sous radical pour plus de précision. Exemple: 2 ≈ 1,4142135623730950488016887242097… Loi 3: On peut multiplier ensemble des racines carrées. Exemple: 9 X 4 = 36 3 2 = 6 Loi 4: On peut multiplier un nombre par une racine carrée. Exemple: 3 X 2 = 3 2

Loi 5: Extraire la racine carrée d’une fraction revient à extraire la racine carrée du numérateur et du dénominateur. 4 16 Exemple: On sait que = 4 = 2 4 16 4 16 = = 4 2 et = 2 Loi 6: On doit RATIONNALISER un dénominateur contenant une racine (pour plus de précision). On crée alors une fraction équivalente en multipliant par une fraction unité composée du dénominateur. 2 1 2 4 2 2 Exemple: X = =

Quelques coordonnées remarquables 1 Pour un angle de 300 : Selon l’énoncé « Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 300 est égale à la moitié de celle de l’hypoténuse », 1 1 2 y 1 2 y = alors 300 et la coordonnée de x est : x 1 -1 x2 + y2 = 1 x2 + = 1 1 2 x2 + = 1 1 4 -1 x2 = 1 - 1 4 x2 = 3 4 x = 3 4 x = 3 2 3 2 3 2 , 1 3 2 , 1 Pour un angle de 300 : coordonnées du point

Quelques coordonnées remarquables 1 Pour un angle de 300 : 3 2 , 1 coordonnées du point 1 Remarque: 300 1 3 2 -1 La coordonnée de x est On pourrait l’exprimer en notation décimale : 3 2 ≈ 0,8660254038… -1 Cependant, il est préférable de la garder sous la forme radicale pour plus de précision.

Quelques coordonnées remarquables 1 Pour un angle de 450 : Un triangle rectangle possédant un angle de 450 est isoangle donc isocèle. 450 1 Les deux cathètes étant égales, on peut poser x = y. 450 x2 + y2 = 1 1 -1 x2 + x2 = 1 2x2 = 1 x2 = 1 2 1 2 = 1 2 x = -1 x = 1 2 X 2 = 2 2 = 2 2 et y , 2 , 2 Pour un angle de 450 : coordonnées du point

Quelques coordonnées remarquables 1 Pour un angle de 600 : le 3e angle mesure donc 300, 300 1 2 alors x = 1 y et la coordonnée de y est: x2 + y2 = 1 600 x 1 2 + y2 = 1 1 2 1 -1 y2 + = 1 1 4 y2 = 1 - 1 4 y2 = 3 4 y = 3 4 -1 y = 3 2 3 2 3 2 , 1 3 2 , 1 Pour un angle de 600 : coordonnées du point

Remarques 1 sin θ = sin ( 1800 – θ ) 1800 – θ y1 y1 θ θ -x1 x1 1 -1 -1

Remarques 1 sin θ = sin ( 1800 – θ ) 1800 – θ y1 y1 θ θ θ -x1 -x1 -x1 x1 1 -1 cos ( 1800 – θ ) = - cos θ -1

Radians 1 Le radian est une autre façon de mesurer un angle. Il utilise la circonférence du cercle. 1 Définition: Un radian correspond à la mesure de l’angle au centre dont les côtés interceptent un arc dont la longueur est égale au rayon. 1 -1 -1 L’utilisation des radians est impérative lorsqu’on dérive ou intègre une fonction trigonométrique: en effet, l’angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens.

Le cercle trigonométrique ayant un rayon égal à 1, calculons sa circonférence. 1 radian 1 radian 1 radian C = 2 π r C = 2 X π X 1 C = 2 π ≈ 0,2832 radian 1 radian 1 radian On retrouve donc 2 π radians dans un cercle trigonométrique. 1 radian Soit ≈ 2 X 3,1416 ≈ 6,2832 radians. et un radian ≈ 57,29577951308232087679…0 un radian ≈ 57,30

Convertir des mesures d’angles On peut convertir des degrés en radians en utilisant le raisonnement suivant. Dans un cercle, on retrouve 3600 et la circonférence du cercle trigonométrique est égale 2π radians. En utilisant les proportions, la conversion est simple. degrés 3600 radians 2 π = 1800 3600 x 2 π = Exemple: 2 π X 1800 3600 = x x = π 2 donc 1800 = π radians Remarque: Pour plus de précision dans les calculs, on travaille directement avec π plutôt qu’avec sa valeur arrondie (3,1416).

degrés 3600 radians 2 π = 2700 x Exemples: 3π 2 = 2 π X 2700 3600 = x x = 3600 2 π 900 x 2 π = 2 π X 900 3600 = x x = 3600 2 π 600 x 3 π = 2 π X 600 3600 = x x = 3600 2 π 450 x 4 π 2 π X 450 3600 = x = x = 3600 2 π 300 x 6 π = 2 π X 300 3600 = x x = 3600 2 π

Remarque: Pour des angles de 900, 1800 et 2700 , la conversion en radians peut se faire plus rapidement selon ce raisonnement. y Un angle de 900 correspond à un quart de cercle donc 1 1 4 X 2 π 2 π 4 π 2 radians = = Un angle de 1800 correspond à un demi cercle donc 1 2 X 2 π 2 π 2 = = π radians x 1 -1 Un angle de 2700 correspond aux trois quarts d’un cercle donc 3 4 X 2 π 6 π 4 3π 2 radians = = -1

En degrés En radians 3600 2 π 2700 2 3 π 1800 π 900 2 π 600 3 π 450 4 π 300 6 π 00

Le cercle trigonométrique est à la base des fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont très utiles dans le domaine des sciences. Exemples électro-encéphalogramme électrocardiogramme oscilloscope