Congrès Dédra-MATH-isons Louvain-la-Neuve Présentation Laurent Annaert, François Rottenberg et Alexis Dubois pour le Collège Saint-Michel (Bruxelles) Sous la direction de M. Bolly

CONTENU Introduction et présentation du problème Premiers calculs et premières observations Etude de la suite Méthodes du point fixe Preuve de la convergence de la suite Conclusion

1. Introduction et présentation du problème Avec la touche ^ et un nombre a, on peut fabriquer une suite de nombres de la forme ... Croyez-nous, en prenant différentes valeurs positives de a, on observe des choses étonnantes!

2. Premiers calculs et premières observations Essais avec quelques valeurs entières : a = 2 a = 3 a = 4 2 3 4 1 27 256 16 7,62. 10^12 1,34.10^154 65536 Ma ERROR 7 … inf.

Essais avec valeurs décimales 0,5 0,25 0,1 1 0,7071… 0,7071... 0,7943... 2 0,6125… 0,3752... 0,1605... 3 0,654… 0,5944... 0,6909... 4 0,6354... 0,4386... 0,2037... 5 0,6437... 0,5443... 0,6255... 20,60,100 0,6411... 0,5... 0,3989... … 0,399...

Approximation d’une valeur de a limite : 1,4 1,4142 1,4422 1,5 1 1,6016... 1,6325... 1,6958... 1,8371... 2 1,7141... 1,7608... 1,8608... 2,8608... 3 1,7802... 1,8409... 1,967... 2,967... 12,20,60,100 1,8866... 2,478 1,4. 10^15 … inf.

Conjectures Valeur pivot entre 1,4 et 1,5 Si o < a < 1,44.. Convergence vers une constante Si a > 1,44.. Divergence, suite tendant vers l’infini

3. Etude de la suite : 3.1. première approche : Ecriture générale de la suite : Condition de convergence : D’où, équation du type :

Etude graphique de l’équation : A) Cas trivial : a = 1, une solution : x =1

B) Pour 0 < a < 1 : exponentielle décroissante, une solution

C) Pour 1 < a < 1,44 : exponentielle croissante, deux solutions

D) Pour a = 1,44 : exponentielle croissante tangente à x, une solution

E) Pour a > 1,44, exponentielle croissante, aucune solution

Premières conclusions Si 0 < a < 1,44.., une solution à l’équation. Si 1 < a < 1,44.., 2 solutions. Si a = 1,44…, une solution. Si a > 1,44.., aucune solution. Donc, aucune convergence possible pour un a supérieur au point pivot. NB : 1 solution à l’équation est une condition nécessaire mais pas suffisante de la convergence

3.2. Etudes périphériques

1) Premier problème auxiliaire :

Conclusion de cette étude de fonction Abscisse : solutions de l’équation. Ordonnée : valeurs de a possibles pour qu’il y ait une ou plusieurs solutions. Valeur du point pivot = maximum de la fonction = Si 0 < a < , il y a toujours au moins une solution (soit une en bleu, soit deux en mauve soit 1 en rouge sur le graphe). Si a est plus grand que le point pivot, aucune solution.

Vérification de la valeur du point pivot : Lorsque a = , tangent au graphe de x

Nous avons donc une double équation :

2) Second problème auxiliaire : Si 0 < a < 1 :

Si 1 < a < :

Si a = :

Si < a :

4. Méthode du point fixe Formule générale : ex : racines de : Simple factorisation ne peut fonctionner car elle nécessite une racine.  Méthode du point fixe :

On approxime la racine à 0,7 et on remplace dans l’équation : Et on recommence l’opération avec le résultat obtenu : Différence entre chaque terme de la suite est de plus en plus petite :  On se rapproche de la racine

Si l’algorithme diverge, la méthode nous éloignera de la racine. Ne fonctionne pas dans tous les cas de figure ! L’algorithme doit converger ! Si l’algorithme diverge, la méthode nous éloignera de la racine. Ex : si l’équation était :  On s’éloigne de la racine, l’algorithme diverge.

← Suite qui diverge. ← Suite qui piétine. En effectuant la méthode du point fixe, on tourne en rond.

Pour que la suite converge, il faut s’assurer qu’aux alentours de la racine : Par ailleurs, la méthode du point fixe peut expliquer un autre phénomène de la suite : Le fait que la suite oscille entre 0 et 1 et le fait que la suite est monotone entre 1 et .

a = 0,5 0,5 1 0,7071… 2 0,6125… 3 0,654… 4 0,6354... 5 0,6437... 20 0,6411... …

a = 1,4 1,4 1 1,6016… 2 1,7141… 3 1,7802… 4 1,8203… 5 1,8450… 20 1,8866... …

5. Preuve de convergence de la suite Par la méthode du point fixe, convergence si : Si , la convergence est facile à prouver.

Si 0 < a < 1 : toujours vérifié. toujours vérifié ?

La suite ne converge donc pas si Attention, cela ne signifie pas que pour ces valeurs de a, n’a pas de solutions Cela signifie que la suite oscille puis piétine et donc ne se stabilise jamais vers une valeur. Ex: si a = 0,05 n a = 0,05 a = 0,05 0,860891 6 0,734866 1 0,075850 7 0,110641 2 0,796741 8 0,717881 3 0,091921 9 0,116416 4 0,759290 10 0,705567 5 0,102834 11 0,129791 Divergence. Pourtant, 0,3502 vérifie l’équation :

6) Conclusion : Si , la suite diverge puis piétine. Si , converge et est oscillante. Si , la suite converge. Si , la suite converge et est monotone. Si , la suite diverge.

Sources Calculus « A complete course », Robert A. Adams, sixth edition; NUMERICAL METHODS WITH FORTRAN IV CASE STUDIES, William S.Dorn, Daniel D.McCracken; Syllabi de M. Bolly, professeur à Saint-Michel; Cours de Mme Lambotte, professeur à Saint-Michel.