Gestion de Portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Les obligations : durée, convexité et stratégies de gestion de portefeuille Séance 10 27 nov 2008

Gestion de portefeuille obligataire La source de risque principale à laquelle doivent faire face les gestionnaires de portefeuille d'obligations est celle de la variation des taux d’intérêt. Au cours de cette séance: 1. Nous allons examiner comment les prix des obligations répondent aux variations de taux d’intérêt. 2. Nous verrons différentes méthodes de construction d’un portefeuille d’obligations qui nous immunisera contre ce risque.

Aujourd’hui Rappel sur les obligations La structure à terme des taux d’intérêt Le risque de taux d’intérêt La sensibilité du prix des obligations au taux d’intérêt - Durée - Convexité Immunisation de portefeuille Stratégie de courbe des taux Quelques exemples sympathiques!

Rappel sur les obligations

L’obligation Définition: Une obligation est une dette à long terme émise par une société ou un gouvernement Normalement, l’obligation est un prêt dont l’emprunteur ne paye que l’intérêt et ne rembourse la valeur nominale qu’à l’échéance. L'intérêt est payé sous forme d'un coupon périodique.

Composantes de l'obligation Le prix de l’obligation dépend de quatre facteurs : Valeur nominale ou valeur au pair Taux de coupons Période de temps avant l’échéance Taux de rendement à l’échéance (TRE): le rendement qui actualise les coupons et la valeur nominale aux prix du marché d’aujourd’hui (aussi connu sous le nom de Taux de rendement interne).

Taux de rendement effectif Le taux de rendement à l’échéance (TRE) est un taux d'intérêt telle la valeur actuelle des coupons et la valeur nominale de l’obligation égale le prix actuel du marché. On utilise souvent le terme taux de rendement comme dans «Le taux de rendement d’une obligation de 10 ans est de 5%.» Important: Le TRE est coté en tant que taux d’intérêt annuel Le prix et le rendement d’une obligation évoluent en sens inverse

Équation pour une obligation Supposons qu’une obligation paie un coupon annuel: Valeur actualisée = VA de C (coupon) + VA de F (la valeur nominale) = VA de l’annuité + VA de F (la valeur nominale) F = la valeur nominale C = montant du coupon annuel = F × taux de coupon r = taux de rendement à l’échéance t = période de temps avant l’échéance

Équation pour une obligation Pour une obligation qui paye des coupons semi-annuels (2 fois par an) F = la valeur nominale C = montant du coupon annuel = F × taux de coupon r = taux de rendement à l’échéance t = période de temps avant l’échéance

Équation pour une obligation Plus généralement, pour une obligation qui paie m coupons par année F = la valeur nominale C = montant du coupon annuel = F × taux de coupon m = nombre de coupons par année r = taux de rendement à l’échéance t = période de temps avant l’échéance

Détails d’obligation Le taux de coupon, la valeur nominale (ou valeur au pair) et la date d'échéance sont tous déterminés par l'émetteur (société ou gouvernement). «T-Bills» - Un an et moins, pas de coupons  «T-Notes» - Entre 2 et 10 ans; coupons.  «T-Bonds» - plus de 10 ans; coupons.

La Compagnie Eggbert’s Egg Exemple d’obligation Exemple simple: Eggbert’s Egg Co. a émis une obligation, la date d’échéance étant dans 7 ans, et ayant un taux de rendement de 10 % annuel. La compagnie paie un taux de coupon de 40 $ tous les six mois pour sept ans, et un montant nominal de 1000 $ à la fin des sept ans. La Compagnie Eggbert’s Egg

Exemple : trouver la valeur d’une obligation Eggbert's Egg Co. émet une obligation à coupon semestriel de 8% et une valeur nominale de 1000 $ qui vient à échéance dans 7 ans. Si nous supposons que le rendement à l'échéance est de 10%, quel est le prix de cette obligation?     Le détenteur reçoit un paiement de 40 $ tous les six mois (pour un total de 80 $ par an ou 8% par an) Remember the sign convention on the calculator. The easy way to remember it with bonds is we pay the PV (-) so that we can receive the PMT (+) and the FV(+). Slide 6.8 discusses why this bond sells at less than par

Obligation émise au pair Le prix d’une obligation émise au pair est égal à sa valeur nominale (VN). Une obligation émise au pair à un taux de rendement à l’échéance = taux de coupon. Pourquoi? Prenons TRE = taux de coupon = r. VN = 1000. Supposons qu’au temps t, P(t) = 1000(1+r). Au temps t-1, la valeur de l’obligation est : =1000(1+r)/(1+r) =1000 Par induction, dans la mesure où cela est vrai au moment T-1, ceci est vrai pour tous les t. Ainsi, quand TRE = taux coupon, VA = 1000. La majorité des obligations sont émises au pair, avec le taux de coupon fixé au taux du marché.

Exemple : trouver la valeur d’une obligation au pair Supposons que vous avez une obligation qui a un taux de coupon de 10% et une valeur nominale de 100 $. Avec une échéance de 10 ans et un rendement à l'échéance de 10%. Quel est le prix de cette obligation ? En utilisant la formule: P = VP d’une annuité + VP de VN P = 5[1 – 1/(1.05)20] / .05 + 100/ (1.05)20 P = 100.00 Prix = VN=100. C’est une obligation au pair.

Exemple : Taux de rendement à l’échéance L’obligation de Eggbert’s Egg Co. se transige présentement à 1,200$. La date d’échéance est de quatre ans avec un taux de coupon annuel de 14%. Quel est le taux de rendement à l’échéance? L’équation à résoudre est: En utilisant le solveur d’Excel, nous obtenons TRE = 2 x r = 7.96%.

Structure à terme des taux d’intérêt

La terre n’est pas plate Dans les cours précédents, nous avons posé l’hypothèse simple que le taux utilisé pour actualiser tous les paiements était le même, peu importe l’échéance. En supposant que le rendement à l'échéance est le même pour toutes les obligations.  En réalité, les obligations qui ont différentes échéances auront des rendements à l'échéance différents. La courbe des taux n’est pas plate. En 2008, tout le monde sait que la terre n’est pas plate, mais il y a encore de gens qui pense que la courbe de taux est plate.

Structure à terme des taux d’intérêt La structure à terme des taux d'intérêt nous donne la relation entre l’échéance et le rendement à l'échéance d'une obligation. La courbe des taux est une représentation graphique de la structure des taux. Normale –une pente vers le haut, les rendements à long terme sont plus élevés que ceux à court terme. Inversée - une pente vers le bas, les rendements à long terme sont inférieurs aux rendements à court terme.

Courbe des taux Canadiens novembre 2002 www: Click on the web surfer to go to Bloomberg to get the current Treasury yield curve

Courbe des taux Canadiens mai 2006

Le risque des taux d’intérêt et la courbe de taux La banque centrale des EU fixe le taux d’intérêt à court terme – le fed fund rate. Les taux d’intérêt à long terme sont fonction des taux d’intérêt à court terme anticipés, en plus, il existe une prime de risque liée à l'incertitude quant aux forces sous-jacentes de l'économie, telles que le taux de croissance de l'économie, l'inflation, etc. Président de la Fed : Ben Bernanke

Les liens à la Macro économie La banque centrale va répondre aux forces macro-économiques en fixant les taux d'intérêt. Ainsi, la courbe des rendements intègre de l'information sur les conditions macro-économiques actuelles et futures. Elle peut donc servir de baromètre de l’économie La courbe des taux d’intérêt «inversés» est un indicateur avancé de récession.

La sensibilité des prix aux variations de taux

Risque de taux d’intérêt Le risque de taux d’intérêt ↑ Au fur et à mesure que l’échéance ↑ Le risque de taux d’intérêt ↑ Au fur et à mesure que le Taux de coupon ↓ Le risque de taux d’intérêt ↑ Au fur et à mesure que le Taux de rendement à l’échéance ↓

Risque de taux d’intérêt et échéance Les obligations ayant une échéance plus longue sont plus sensibles au changement des taux que les obligations ayant une échéance plus courte. Le risque de taux d'intérêt est donc plus grand pour les obligations ayant une échéance plus longue. Qui ont

Intuition Nous pouvons voir que la pente de la courbe «prix rendement » (qui est fonction du taux d'intérêt) est beaucoup plus raide pour les obligations d’échéance de 30 ans que pour les obligations d’échéance d’un an.  Plus la courbe de «prix rendement» est raide, plus l’obligation devient sensible aux variations des taux d'intérêt.  Une grande partie de la valeur actuelle d’une obligation est attribuable à sa valeur nominale.  Plus l’échéance de l'obligation est longue, plus tard la valeur nominale de l’obligation sera reçue, ce qui la rend plus sensible au changement des taux d'intérêt.

Intuition Pourquoi ? Car même une petite variation des taux d'intérêt peut avoir un effet important s’ils sont composés sur une plus longue période. En voici un exemple : Obligation 20 ans : Prix = 1000x(1+r)-20 Obligation 10 ans : Prix = 1000x(1+r)-10 10 ans 20 ans 7% 508.3493 258.419 8% 463.1935 214.5482 % Variation 0.097488 0.20448

Risque de taux d’intérêt et le taux de coupons Les obligations qui ont un taux de coupons élevé sont moins sensibles aux variations de taux. Le risque de taux d’intérêt est inversement relié à la valeur du taux de coupon. Pourquoi? La valeur nominale joue un rôle moins important. La portion de valeur nominale actualisée dans la valeur totale actualisée est beaucoup moins élevée. Une obligation à coupons élevés diminue l'échéance moyenne des paiements de coupons, et donc, diminue la sensibilité de l’obligation à sa valeur nominale.

Taux de coupon et la sensibilité Les obligations zéro coupon sont plus sensibles aux changements de taux d’intérêt. La sensibilité augmente avec l'échéance

La courbe de «prix rendement» Changement du taux de rendement à l’échéance (%) Pourcentage de variation du prix de l’obligation Oblig Coupon Échéance TRE initial A 12% 5 ans 10% B 30 ans C 3% D 6%

Sensibilité des prix Quand l’échéance augmente de A à B, l’obligation devient plus sensible. Quand le taux de coupon diminue de B à C. l’obligation devient plus sensible. Quand le taux de rendement à l’échéance diminue de C à D, l’obligation devient plus sensible (pour des obligations a coupons). Quand les taux sont bas, les payements plus éloignés ont une valeur actualisée plus grande et représentent une plus grande portion de la valeur totale de l’obligation.

Stratégies de négociation Supposons que nous nous attendons à ce que la Réserve fédérale abaisse les taux d'intérêt lors de la prochaine réunion «FOMC». Vous cherchez à construire un portefeuille d'obligations qui maximise la valeur de votre portefeuille. Voulez-vous construire un portefeuille avec : A. Une sensibilité maximale aux taux d’intérêt? B. Une sensibilité minimale aux taux d’intérêt? Réponse : A. Vous cherchez à construire un portefeuille qui permettra de maximiser l’appréciation du prix à un changement négatif dans les taux d'intérêt. Et donc, un portefeuille avec une sensibilité aux taux d’intérêt élevée.

Stratégies de négociation Comment pouvons-nous construire un portefeuille qui est plus sensible aux variations des taux d’intérêt? Nous savons que nous voulons choisir : - Un portefeuille d’obligation à longue échéance plutôt qu’un portefeuille de courte échéance. - Un portefeuille d’obligation à coupons bas plutôt qu’un portefeuille à coupons élevés. En d’autres mots, idéalement nous voudrions détenir un portefeuille d’obligation zéro coupons à longue échéance!

Stratégies de négociation Supposons que nous voulons obtenir un portefeuille d'obligations, mais que nous pensons que les taux d'intérêt sont sur le point d'augmenter. Que devons-nous faire? Nous voulons tenir un portefeuille avec un minimum de sensibilité aux taux d'intérêt. Obligations de courte échéance avec des coupons élevés.

La durée

L’équation de la durée Développé par Frederick R. Macaulay t = le temps auquel le paiement du coupon ou de la valeur nominale s’effectue Ct = montant du coupon ou de la valeur nominale payé au temps t r = taux de rendement à l’échéance de l’obligation

Caractéristique de la Durée de Macaulay La durée d’une obligation zéro coupon est égal à son échéance  La durée d'une obligation avec des coupons est toujours inférieure à son échéance parce que la durée prend en compte les paiements intermédiaires  Il existe une relation inverse entre la durée et la taille du coupon.  Il existe une corrélation positive entre l'échéance de l’obligation et la durée, mais la durée augmente à un taux décroissant avec l’échéance.  Il existe une relation inverse entre le TRE et la durée.

Prix d’une obligation avec intérêt composé continuellement À noter: ceci n’est pas utilisé en pratique, mais plutôt pour des modèles académiques et pour clarifier la notion de durée. Composé continuellement Composé semi annuellement est le prix du i ieme flux monétaire au temps , avec le taux de rendement à l’échéance

Composition continue Si nous composons de plus en plus régulièrement… À toutes les minutes, secondes, millisecondes… À la limite, nous retrouvons la composition continue… Posant x = TRE et en prenant l’inverse, c’est-à-dire exp(-x), nous avons notre taux d’escompte annuel composé continuellement.

Prix d’une obligation Le prix d’une obligation avec n coupons. En général Composé continuellement où

La durée (composé continuellement) La durée est l’échéance moyenne pondérée par la valeur actualisée des flux monétaires d’une obligation. À noter que pour des taux composés continuellement nous avons : Flux monétaire multiplié par t pondérée par la valeur présente des flux monétaires. Ou Ct est le flux monétaire aux temps t et r le taux de rendement à l’échéance

Plus généralement Dans le cas d’un titre à revenu fixe avec un taux composé continuellement et n flux monétaire Ci au temps ti, nous avons : étant le prix, du i ieme flux monétaire au temps et est le taux de rendement à l’échéance

Sensibilité du prix aux taux Dérivez le prix par rapport au taux de rendement à l’échéance. Étant donné les taux composés continuellement, la durée est le pourcentage de variation (négative) du prix par rapport à une variation de taux.

Durée modifiée Pour des taux composés m fois par année, une mesure ajustée de la durée peut être utilisée pour estimer le pourcentage de variation du prix face à une variation de taux :

Durée modifiée

La durée modifiée et la volatilité des obligations Le changement des prix des obligations varie proportionnellement à la durée modifiée pour de petits changements de taux Une approximation du pourcentage de changement du prix d’une obligation est le changement de taux multiplié par la durée modifiée. P = changement du prix de l’obligation P = prix initial de l’obligation Dmod = la durée modifiée de l’obligation y = changement du taux

Un petit test de votre intuition (encore) : Supposons que vous travaillez pour Eggbert Kapital et que vous gérez le portefeuille d'obligations. Vous vous attendez à une diminution considérable des taux d'intérêt. Devriez-vous investir dans des obligations à long terme avec de faibles coupons, ou dans des obligations à faible échéance et à hauts coupons? Obligations avec une durée élevée ou faible? Réponse: Vous devriez investir dans des obligations où les prix vont augmenter le plus lorsque les taux d'intérêt diminuent. De cette manière, vous allez choisir des obligations avec une longue échéance et un faible taux de coupon. Vous voulez choisir des obligations avec la plus grande durée!

Interprétation de la durée 8-ans, taux de coupon de 9% Durée de l’obligation = 5.97 ans Bleue: valeur présente de chaque flux monétaire. Point d’équilibre

Durée d’une obligation en année selon différentes échéances TRE=6%

Durée d’une obligation vs l'échéance 15-50

Durée modifiée Ceci est la dérivée première par rapport au taux. Pour de petits changements, la durée va nous donner une bonne estimation, mais la durée est une estimation linéaire de la tangente en ce point.

Exemple La compagnie Eggbert’s Egg émet une obligation de 3 ans avec un taux de coupon de 8%. Le rendement à l’échéance est de 8% et l’obligation paye des coupons semi-annuels. Quelle est la durée de Macaulay ? Quelle est la durée modifiée? (Voir le fichier Excel)

Exemple D = 2.5726 and Dm = 2.621 Année Paiement VA Poids Année*Poids 0.5 4 3.846154 0.038462 0.019231 1 3.698225 0.036982 1.5 3.555985 0.03556 0.05334 2 3.419217 0.034192 0.068384 2.5 3.287708 0.032877 0.082193 3 104 82.19271 0.821927 2.465781 Prix 100 2.725911 D = 2.5726 and Dm = 2.621

Les formules raccourcies Durée de Macaulay formule «raccourcies» Durée modifiée formule «raccourcies» ou c = taux de coupons par période y = taux par période T = nombre de périodes restantes Coupons semi-annuels

Courbe du prix et du TRE Prix TRE

Approximation de premier ordre La durée nous donne une approximation de premier ordre de la courbe du prix et du TRE. Nous estimons ici la courbe avec une ligne droite Prix Erreur d’approximation TRE

Convexité

Convexité La convexité est une mesure de la non-linéarité de la courbe prix rendement. Elle est la dérivée seconde du prix par rapport au taux (d2P/dy2) divisé par le prix. La convexité représente le pourcentage de variation de dP/dy pour un changement de taux

Correction pour la convexité Nous pouvons mieux estimer une courbe si l’on utilise une fonction quadratique. Coupons semi-annuels

La durée s’ajoute à la convexité La série de Taylor pour une fonction P autour de y est donné par : P(y+Δy) = P(y) + P’(y) Δy + ½ P’’(y) (Δy)2 + ... Et donc, une approximation de second ordre : P(y+Δy) - P(y) ≈ P’(y) Δy + ½ P’’(y) (Δy)2 Ainsi, ΔP ≈ - Dm P Δy + ½ P C (Δy)2

La durée s’ajoute à la convexité Ainsi, pour un petit changement dans le taux Δy, la durée modifiée et la convexité donnent l’approximation de second ordre de la courbe prix rendement. ΔP ≈ - Dm P Δy + ½ P C (Δy)2 Le changement de prix expliqué par la durée - Dm P Δy Le changement de prix expliqué par la convexité ½ P C (Δy)2

La convexité des obligations Variations du TRE (%) Pourcentage de variation du prix Portefeuille Durée + Convexité Durée

Les effets de la durée et de la convexité La variation du prix d’une obligation causée par la variation des taux s’explique par: La durée modifiée de l’obligation La convexité de l’obligation L’impact marginal de chacun de ces deux facteurs dépend des caractéristiques des obligations et de la taille du mouvement de taux. Les investisseurs aiment la convexité!

Immunisation de portefeuille

Deux scénarios Scénario 1: Vous voulez économiser de l'argent pour une dépense importante dans un an à partir de maintenant. Scénario 2: Vous voulez économiser de l'argent pour payer les frais de scolarité de votre enfant dans 20 ans à compter de maintenant. Étant donné le scénario 1: Si vous investissez dans des bons du Trésor d’un an, il y a très peu de risques. Investir dans des bons du Trésor de 20 ans vous expose à des risques de taux d'intérêt. Étant donné le scénario 2 : Détenir des bons du Trésor de 20 ans sous-entend des résultats prévisibles, en investissant des bons du Trésor d’un an créerait du risque de réinvestissement.

Protection contre le risque de taux d’intérêt Les caisses de retraite, les compagnies d’assurance et les institutions financières détiennent des milliards de dollars de titres à revenues fixes. Une des techniques analytiques les plus rependues au monde est celle de l’immunisation, car elle protège un portefeuille d’obligations contre les variations de taux d’intérêt. Cela est d'une grande valeur pratique donc apprenons comment structurer un portefeuille afin de l’immuniser contre le risque de taux d'intérêt!

Compagnie d’assurance vie Supposons que vous travaillez pour une compagnie d'assurance vie, et vous vous attendez à faire une série de paiements en espèces. Une chose que vous pouvez faire est d'acheter des obligations à zéro coupon, ayant différentes échéances afin que la valeur nominale corresponde exactement à chaque obligation. Ceci n’est pas nécessairement la meilleure option, car les obligations des sociétés offrent un taux plus élevé et les obligations zéro-coupon sont rares.

Appariement des durées Égaliser la durée du portefeuille avec celle de vos obligations. Intuition: Si la durée de votre portefeuille d'obligations correspond à la durée de vos obligations, la valeur actualisée de votre portefeuille d'obligations et de vos obligations devrait varier (une approximation première ordre) de la même manière face à la variation de taux. Plus précisément, si les rendements diminuent, la valeur actualisée de vos obligations augmente, mais la valeur de votre portefeuille d'obligations augmente (environ) du même montant - donc la valeur de votre portefeuille sera suffisante pour couvrir l'obligation!

Durée d’un portefeuille Si le portefeuille a un prix VA : VA = V1 + V2 + V3 + ... + Vm D = w1D1 + w2D2 + ... + wmDm ou wi = Vi/ VA dans un portefeuille de m obligations. Vi est la valeur de l’obligation i dans le portefeuille.

Exemple Supposons que la compagnie Eggbert's Egg doit acheter une nouvelle usine de chocolat dans 10 ans. Le coût de l'usine est de 1 million de dollars et elle souhaite investir cet argent maintenant. Supposons qu’aucune obligation zéro coupon ne soit disponible pour cette échéance. Supposons plutôt que nous devons choisir entre trois obligations de société (VN=100) : Coupon Échéance Prix Taux 1 6% 30 69.04 9% 2 11% 10 113.01 9% 3 9% 20 100.00 9%

Exemple Coupon Échéance Prix Taux (%) 1 6 30 69.04 9 2 11 10 113.01 9 1 6 30 69.04 9 2 11 10 113.01 9 3 9 20 100.00 9 La durée de chaque obligation (voir le fichier Excel): D1 = 11.44 D2 = 6.54 D3 = 9.61 Pouvez-vous utiliser les obligations 2 et 3 pour construire votre portefeuille ? Non, c’est impossible d’obtenir une durée pondérée de 10 ans.

Exemple Durée de chaque obligation : D1 = 11.44 D2 = 6.54 D3 = 9.61 Puisque l’obligation 1 a une durée plus grande que 10, nous devons l’utiliser dans ce portefeuille. Utilisons les obligations 1 et 2 (voir Excel)

Exemple La valeur actualisée de l’obligation est : 414, 642.86$ La durée de la l’obligation est de 10 ans. Pour immuniser le portefeuille, nous avons besoin 1. Égaliser la valeur actualisée du portefeuille avec la valeur actualisée de l’obligation. 2. Égaliser la durée du portefeuille avec la durée de l’obligation.

Exemple La valeur totale investie dans l’obligation 1 et 2 doit être égale à VA de l’obligation V1 + V2 = VA = 414, 642.86$ Et la durée du portefeuille d’obligation doit être égale à la durée de l’obligation V1/VA * D1 + V2/VA * D2 = 10 Nous obtenons : V1/VA * D1 + (VA – V1) /VA* D2 = 10 => Une équation a 1 inconnu.

Exemple De la feuille Excel : V1 = 292617.60 V2 = 122025.26 Nous voulons acheter V1/P1 = 4238.20 parts de l’obligation 1 V2/P2 = 1079.80 parts de l’obligation 2 Bien sûr, en pratique, nous allons devoir arrondir ces nombres.

Exemple Supposons qu’il y a soudainement une variation dans la courbe des taux de 8% ou 10%. La valeur du portefeuille d’obligation est : Portefeuille Obligation Erreur 8% 457928.3 456386.9 +1541.33 10% 378075.2 376889.5 +1185.69 La convexité impose le fait que le portefeuille vaudra toujours plus que l’obligation.

Devoirs Essayez de répliquer l’exemple précédent sans regarder la feuille d’Excel. Si vous regardez les réponses de la feuille d’Excel, vous allez croire que c’est vraiment facile. Essayez de partir de zéro. Répliquez le problème d’immunisation en utilisant que les obligations 1 et 3.

Stratégie de courbe des taux Strategie «Bullet» : l’échéance est fortement concentrée en une région de la courbe des taux. Strategie «Barbell» : les échéances sont fortement concentrées en deux régions extrêmes de la courbe des taux. Stratégie de «l’échelle» : les échéances sont reparties sur des intervalles réguliers sur la courbe des taux.

Stratégie de courbe des taux Oblig Coupon échéance Prix TRE DURÉE_ Convexité A 0.085 5 100 4.0054435 19.81635 B 0.095 20 8.8815081 124.1702 C 0.0925 10 6.43409 55.45054 Portefeuille Bullet : 100% oblig C Barbell : 50.2% oblig A et 49.8% oblig B

Stratégie de courbe des taux Durée du Bullet: 6.43409 Durée du Barbell: 6.433724 Convexité du Bullet: 55.45054 Convexité du Barbell: 71.78459 TRE du Bullet: 0.0925 TRE du Barbell: 0.08998 Ceci est le rendement de convexité 0.00252 On abandonne du rendement pour plus de convexité

Barbell vs. Bullet Le choix d’une stratégie dépend de l’ampleur des variations dans les taux. Bien que la convexité soit préférée, il y a un désavantage d'un rendement de convexité, quand le marché demande un prix plus élevé et offre un rendement inférieur. Ainsi, les bienfaits de la convexité sont réalisés uniquement pour de grands changements de taux. Voir l’article dans le codex pour plus de détails.