PYTHAGORE ! VOUS AVEZ DIT THEOREME DE PYTHAGORE

ACTIVITE PREPARATOIRE

Mesurer la longueur BC : BC  8 cm Calculer BC2 et AB2 + AC2 : Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 7 cm et AC = 4 cm C A B Mesurer la longueur BC : BC  8 cm Calculer BC2 et AB2 + AC2 : BC2  64 cm2 BC2  AB2 + AC2 AB2 + AC2 = 49 + 16 = 65 cm2

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UTILITE DU THEOREME DE PYTHAGORE Le théorème de PYTHAGORE permet de déterminer la longueur du coté d’un triangle rectangle connaissant la longueur des deux autres cotés. A B C

UTILITE DU THEOREME DE PYTHAGORE Exemple : soit le triangle ABC rectangle en A, si je connais les longueurs AC et BC, je vais pouvoir déterminer la longueur AB. A B C

L’HYPOTENUSE ?

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le côté le plus long. A B C BC est l’hypoténuse

ENONCE DU THEOREME DE PYTHAGORE Si un triangle ABC est rectangle en A Alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés. A B C

ENONCE DU THEOREME DE PYTHAGORE Si un triangle ABC est rectangle en A Alors : BC2 = BA2 + AC2 A B C

APPLICATION 1 Soit le triangle ABC rectangle en B. On donne AB = 4 cm et BC = 3 cm Calculer AC. C A B

APPLICATION 1 C AB = 4 cm BC = 3 cm AC = ? A B

APPLICATION 1 C AB = 4 cm BC = 3 cm AC = ? A B Le triangle ABC est rectangle en B. D’après l’énoncé du théorème de PYTHAGORE on peut écrire : AC2 = AB2 + BC2

APPLICATION 1 AC2 = AB2 +BC2 AC2 = 42 + 32 AC2 = 16 + 9 C AC = ? AB = 4 cm BC = 3 cm AC = ? A B AC2 = AB2 +BC2 AC2 = 42 + 32 AC2 = 16 + 9

APPLICATION 1 C AB = 4 cm BC = 3 cm AC = ? A B AC2 = 25

APPLICATION 1 C AB = 4 cm BC = 3 cm AC = ? A B AC2 = 25 AC = 25

APPLICATION 1 AC2 = 25 AC = 25 AC = 5 cm C AC = ? BC = 3 cm A B AB = 4 cm BC = 3 cm AC = ? A B AC2 = 25 AC = 25 AC = 5 cm

APPLICATION 2 Soit le triangle ABC rectangle en B. On donne AB = 3 cm et AC = 7 cm. Calculer BC. A B C

APPLICATION 2 AB = 3 cm A B C BC = ? AC = 7 cm

APPLICATION 2 AB = 3 cm A B C Le triangle ABC est rectangle en B. D’après l’énoncé du théorème de PYTHAGORE : AC2 = AB2 + BC2 BC = ? AC = 7 cm

APPLICATION 2 AC2 = AB2 + BC2 72 = 32 + BC2 49 = 9 + BC2 49 - 9 = BC2 BC2 = 4O AB = 3 cm A B C BC = ? AC = 7 cm

APPLICATION 2 AC2 = AB2 + BC2 72 = 32 + BC2 49 = 9 + BC2 49 - 9 = BC2 BC2 = 4O BC = 40 AB = 3 cm A B C BC = ? AC = 7 cm

APPLICATION 2 AC2 = AB2 + BC2 72 = 32 + BC2 49 = 9 + BC2 49 - 9 = BC2 BC2 = 4O BC = 40 BC  6,32 cm AB = 3 cm A B C BC = ? AC = 7 cm

APPLICATION 3 Soit la grue ci dessous : détermination de la longueur du tirant d’une grue A B D C

APPLICATION 3 Soit la grue ci dessous : détermination de la longueur du tirant d’une grue A B D C On donne AD = 3 m, CD =2 m BC = 12,5 m CALCULER AB

APPLICATION 3 A AB = ? 3 m D B C 2 m 12,5 m On calcule d’abord AC

APPLICATION 3 C A D 3 m 2 m AC = ? Le triangle ACD est rectangle en C, on peut appliquer le théorème de Pythagore : AD2 = DC2 + AC2

APPLICATION 3 AD2 = DC2 + AC2 32 = 22 + AC2 9 = 4 + AC2 C A D 3 m 2 m

APPLICATION 3 C A D 3 m 2 m AC = ? 9 - 4 = AC2 5 = AC2 AC2 = 5

APPLICATION 3 C A D 3 m 2 m AC = ? 9 - 4 = AC2 5 = AC2 AC2 = 5 AC = 5

APPLICATION 3 9 - 4 = AC2 5 = AC2 AC2 = 5 AC = 5 AC  2,24 m C A D 3 m

APPLICATION 3 A 5 m B C 12,5 m Le triangle ACB est rectangle en C, on peut utiliser le théorème de Pythagore : AB2 = BC2 + AC2

APPLICATION 3 AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 12,52 +5 AB2 = 156,25 + 5 5 m B C 12,5 m AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 12,52 +5 AB2 = 156,25 + 5 AB2 = 161,25

APPLICATION 3 AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 12,52 +5 AB2 = 156,25 + 5 5 m B C 12,5 m AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 12,52 +5 AB2 = 156,25 + 5 AB2 = 161,25 AB = 161,25

APPLICATION 3 AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 12,52 +5 AB2 = 156,25 + 5 5 m B C 12,5 m AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 12,52 +5 AB2 = 156,25 + 5 AB2 = 161,25 AB = 161,25 AB  12,7 m

POUR EN SAVOIR PLUS Pour démontrer le théorème de Pythagore on peut utiliser la méthode suivante : Soit deux carrés de cotés différents placés comme indiqué sur la figure ci-contre :

POUR EN SAVOIR PLUS La surface du carré bleu est : a b c

POUR EN SAVOIR PLUS La surface du carré bleu est : S = c2 a b c

POUR EN SAVOIR PLUS Cette surface peut également se calculer à l’aide de l’aire du carré gris et celles des quatre triangles de cotés a,b,c. a b c

POUR EN SAVOIR PLUS Surface du carré gris : a b b c

POUR EN SAVOIR PLUS Surface du carré gris : (a + b)2 = a b b c

POUR EN SAVOIR PLUS (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab a b b c Surface du carré gris : (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab a b b c

POUR EN SAVOIR PLUS (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab a b b c Surface du carré gris : (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab Surface des quatre triangles : a b b c

POUR EN SAVOIR PLUS (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 4(ab)2 = a b b c Surface du carré gris : (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab Surface des quatre triangles : 4(ab)2 = a b b c

POUR EN SAVOIR PLUS (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 4(ab)2 = 2ab a b b c Surface du carré gris : (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab Surface des quatre triangles : 4(ab)2 = 2ab a b b c

POUR EN SAVOIR PLUS S = a2 + b2 + 2ab - 2ab S = a2 + b2 a b b c Surface du carré bleu : S = a2 + b2 + 2ab - 2ab S = a2 + b2 a b b c

POUR EN SAVOIR PLUS Conclusion : a2 + b2 = c2 a b b c