L’expérience de Cavendish (1797) Ou « comment peser la Terre? » 1) Introduction L’expérience de Cavendish est souvent considérée comme « la première expérience de Physique moderne ». Cavendish a en particulier porté une attention très grande à l’analyse des erreurs, et son résultat pour la Mesure de G a été insurpassé pendant plus d’un siècle. L’appellation « peser la terre » est de Cavendish lui même, mais l’intérêt de l’expérience est bien la détermination de G, une des constantes fondamentales de la Physique avec c , , e … qui reste de nos jours connue avec une assez faible précision. En effet la mesure passe toujours par la détermination de forces très faibles ( quelques nano Newtons), et le principe de la manip n’a pas vraiment évolué depuis Cavendish. F. Geniet et C. Chaubet Mai 2005 Université Montpellier 2

L’expérience historique Dans cette gravure, les principaux aspects de l’expérience apparaissent de façon assez claire : Deux petites boules au bout d’une tige suspendue à un fil forment un pendule de torsion. Deux grosses boules sont placées à proximité et on mesure la rotation due à la très faible force d’attirance gravitationnelle des grosses boules sur les petites boules. Un dispositif optique permet de mesurer l’angle de rotation du pendule et d’en déduire la force.

La manip de cours aujourd’hui L’expérience que vous allez voir fonctionne sur le même principe. Le dispositif est plus simple et plus compact, au prix d’une moins bonne précision des résultats. Sur cette photo on distingue les grosses boules et les petites qui sont protégées par le boîtier. La tige verticale contient le fil de torsion du pendule. Celui-ci est en bronze, très fin et très fragile pour être sensible à des forces très faibles, et il casse assez facilement. La déviation du pendule est mesurée au moyen d’un miroir attaché au pendule sur lequel on envoie un spot laser. L’angle de déviation du spot est le double de l’angle de rotation du miroir, d’après les lois de Descartes de la réflexion.

La manip de recherche aujourd’hui Bien que cette expérience ait l’air très différente, elle fonctionne sous le même principe. L’ensemble est sous vide et thermostaté pour minimiser les erreurs. La mesure la plus précise de G à ce jour date de 1982 par Luther et Towler, et donne la valeur G = 6.6726 10-11 S.I.

Principe de l’expérience 5) Le principe de l’expérience Celui-ci est très simple : on veut mesurer la force supplémentaire causée par la grosse masse M. Il suffit en principe de mesurer l’allongement L2-L1 du ressort. Connaissant sa constante de raideur k que l’on déduit de la période d’oscillation, on en tire la force de gravitation exercée par M sur m, puis G.

Problèmes pratiques T = 2 p (m / k) est alors assez grand Comme la force est très faible, il faut prendre un k très faible pour obtenir un allongement mesurable. Dans ce cas (L1 – L0) est très grand, ce qui est impraticable. On utilise un pendule de torsion pour éviter ce problème, mais le principe est le même. Pour avoir un allongement mesurable, il faut prendre m assez grand pour avoir une force importante k assez petit. T = 2 p (m / k) est alors assez grand En pratique on travaille avec une période T  10 min 6) Mais la démarche de principe expliquée ci-dessus conduit à des impossibilités pratiques: Soit le ressort est trop raide et on ne voit rien, soit il est très souple, et on ne peut rien y suspendre ! Faites à titre d’exemple le calcul de la raideur d’un ressort qui s’allongerait de 1 mm pour une force de 1 nano Newton, puis calculez son allongement sous une charge de 10 g ! On utilise donc un pendule de torsion pour contourner le problème. La structure des équations est la même : la constante de raideur de torsion remplace k, le moment d’inertie remplace m. Il faut avoir k faible et m grand pour que l’effet de la force soit perceptible. Le pendule a alors une grande période d’oscillation, et la manip dure assez longtemps.

La manip C m M F 7) Ici on voit le schéma du pendule et des forces mises en jeu. Suivant que les grosses boules sont placées d’un coté ou de l’autre du pendule, le couple de torsion change de sens, et on mesure la déviation du pendule qui en résulte. M F m a d

paramètres du pendule : Les détails sanglants paramètres du pendule : m=15 g M=1,5 kg a=10 cm  702.0 s La période mesurée Le moment d’inertie du pendule  0.6 10-8 N.m La constante de torsion du fil 8) Les équations résultent simplement du principe fondamental de la dynamique: La position d’équilibre du pendule est donné par l’égalité des couples dus à la force de gravitation et à la force de rappel du fil (dernière équation). La période T est celle de l’oscillateur harmonique de torsion de « masse » J et de « raideur » C (première équation). La mesure de la période T donne C, la mesure de la déviation angulaire  donne la force F cherchée. La variation du couple entre les deux positions d’équilibre On mesure Dq  0.0236 radian  1.3° d  4.6 cm

Ecart relatif 2% … c’est pas mal !! On en tire F  0.71 10-9 N Gexp  0.68 10-10 N m2 kg-2 Valeur standard : Gstd  0.667 10-10 N m2 kg-2 Ecart relatif 2% … c’est pas mal !! 9) On obtient un résultat pour G assez proche de celui tabulé. Noter que c’est sans doute un coup de chance, car je n’ai fait aucune analyse des erreurs de la manip : l’écart entre une seule valeur mesurée et la valeur tabulée n’a que très peu de signification statistique. Par contre, on voit que l’ordre de grandeur est le bon.

Vue d’ensemble 10) Vue d’ensemble de l’expérience: Le pendule est au fond sur la paillasse. Le laser qui éclaire le miroir du pendule se trouve au premier plan à droite Le suiveur de spot traceur est à gauche.

Position de départ 11) Après la phase initiale de réglages (qui peut durer quelques heures), Le pendule n’oscille plus, ce que l’on voit sur le suiveur de spot. Les grosses masses se trouvent d’un coté du pendule.

ça ne bouge plus, on pivote les masses… 12) On fait alors pivoter ces grosses masses de l’autre coté de l’appareil…

…et le spot se déplace… 13) … ce qui crée une pichenette de environ 1 nano Newton ! Le pendule se met alors en mouvement et on suit sur l’enregistreur.

…et oscille… 14) La durée de l’oscillation complète que l’on voit sur l’enregistrement de droite est de environ 10 minutes !

…puis se stabilise à nouveau… 15) Le pendule s’amortit assez rapidement sous l’effet des frottements (environ une heure quand même) de façon à pouvoir relever la nouvelle position d’équilibre.

Fin de la manip… 16) La manip est terminée. La mesure de la période d’oscillation T et de la déviation  Se fait directement sur l’enregistrement, et donne les résultats vus plus haut.