TD SA n°10: Proposition de correction ML

Exercice n°1: Etude de stabilité Exercice n°1: Etude de stabilité. Ordre, nombres d’entrées et de sorties? est une représentation d’état de la forme Dans notre cas d’étude, on a un système d’ordre 2, ayant 1 entrée et 2 sorties. ML

Pourquoi calculer de l’exponentiel de matrice? La solution analytique de l’équation d’état est donnée par l’équation Concrètement, cela signifie que si l’on connaît l’état donné d’un système à l’instant t1 , et que si l’on est capable de calculer l’exponentiel de la matrice A, alors on est capable de déterminé l’état du système à n’importe quelle entrée. d’où l’intérêt de savoir calculer ML

Est une équation polynomiale de degré n D’après le théorème de Cayley –Hamilton, la matrice A est solution de son équation caractéristique: Est une équation polynomiale de degré n An peut s’exprimer en fonction de Aj pour j de 0 à (n-1) On en déduit que l’on a: ML

Si le système présente n valeurs propres distinctes, , on a nécessairement Il s’agit d’un système de n équations à n inconnues: les Dès que l’on connaît ces n inconnues, on peut écrire ML

Application à notre cas d’étude On résout l’équation caractéristique: Ce système possède n valeurs propres distinctes, on est bien dans les conditions de validation de la méthode On résout le système On en déduit ML

Représentation d’état des 3 bacs On écrit, pour chacun des 3 bacs, l’équation d’évolution d’une grandeur conservative Prenons le volume…. ML

Ecriture matricielle ML

Exercice n°3: Système de type 2 Il s’agit d’un système d’ordre 3, le degré du dénominateur et de type 2; le nombre d’intégrateur. Il s’agit d’un système instable en boucle fermée. Si l’on en trace le diagramme de Black, le déphasage Entrée/Sortie est toujours supérieur à 180°, du fait de la double intégration. Le lieu de black laisse le point critique à gauche lorsqu’on le parcours dans le sens des pulsations croissantes. ML

Représentation d’état ML

Représentation d’état de la boucle fermée On souhaite dimensionner un vecteur de retour d’état De sorte que la boucle fermée ait une dynamique déterminée…. 1er méthode: Calculer les valeurs propres de (A-BG) en fonction de g1, g2 et g3 ,puis les identifier avec les pôles de la fonction de transfert souhaitée. Cette méthode est beaucoup plus lourde au niveau des calculs à mener, mais présente l’avantage de ne pas dépendre de la représentation d’état choisie. 2ième méthode: Identifier les représentations d’état de la fonction de transfert souhaitée et de (A-BG). Il est alors impératif de prendre le même vecteur d’état. ML

Identification des 2 représentations d’état. L’identification donne: ML

+ - ML