Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Mathématiques SN Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Réalisé par : Sébastien Lachance

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - 1 2 3 -1 -2 -3 y x Cercle trigonométrique DÉFINITION : Le cercle trigonométrique est un cercle centré à l’origine du plan cartésien et ayant un rayon égal à 1.

Coordonnées d’ANGLES remarquables On sait que : cos  = côté adjacent hypoténuse 1 -1 y x P() = ( , ) cos  x sin  cos  = x 1 y cos  = x 1 y  sin  = côté opposé hypoténuse x sin  = y 1 sin  = y

Coordonnées d’ANGLES remarquables Exemple : A) Angle de 50o 1 -1 y x x = cos  x = cos 50o P(50o) = ( , ) cos 50o sin 50o x ≈ 0,64 x y 1 y = sin  y = sin 50o y ≈ 0,77 500 P(50o) = ( , ) 0,64 0,77

Coordonnées d’ANGLES remarquables Exemple : B) Angle de 73o 1 -1 y x x = cos  x = cos 73o P(73o) = ( , ) cos 73o sin 73o x ≈ 0,29 1 x y y = sin  y = sin 73o y ≈ 0,96 730 P(73o) = ( , ) 0,29 0,96

 Angle de 30o Coordonnées d’ANGLES remarquables 1 1 1 y 2 2 1 300 4 1 Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! 300 1 1 2 1 -1 y x 3 2 x Par Pythagore : x2 + = 12 2 1 2 x2 + = 1 1 4 x2 = 1 – 1 4 x2 = 3 4 x = 3 4 x = 3 2

 Angle de 30o Coordonnées d’ANGLES remarquables 300 1 3 2 1 -1 y x Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! 300 1 3 2 1 -1 y x Par Pythagore : x2 + = 12 2 1 2 P(30o) = ( , ) 3 2 1 2 x2 + = 1 1 4 x2 = 1 – 1 4 x2 = 3 4 x = 3 4 x = 3 2

 Angle de 45o Coordonnées d’ANGLES remarquables 1 y x 2 1 450 2 1 x 2 -1 y x 2 x Par Pythagore : x2 + x2 = 12 2x2 = 1 x2 = 1 2 x = 1 2 x = 1 2 Il faut rationnaliser ! x = 2

 Angle de 45o Coordonnées d’ANGLES remarquables 1 y 1 450 2 1 2 2 1 -1 y x P(45o) = ( , ) 2 2 Par Pythagore : x2 + x2 = 12 2x2 = 1 x2 = 1 2 x = 1 2 x = 1 2 Il faut rationnaliser ! x = 2

 Angle de 60o Coordonnées d’ANGLES remarquables 600 1 300 1 -1 y x x 2 Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! 1 2 Par Pythagore : x2 + = 12 2 1 2 x2 + = 1 1 4 x2 = 1 – 1 4 x2 = 3 4 x = 3 4 x = 3 2

 Angle de 60o Coordonnées d’ANGLES remarquables 600 1 2 3 300 1 -1 y x Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! P(60o) = ( , ) 1 2 3 2 Par Pythagore : x2 + = 12 2 1 2 x2 + = 1 1 4 x2 = 1 – 1 4 x2 = 3 4 x = 3 4 x = 3 2

Coordonnées d’ANGLES remarquables 1 -1 y x P(90o) = ( 0 , 1 ) P(120o) = ( , ) 2 3 1 - P(60o) = ( , ) 2 3 1 P(135o) = ( , ) 2 - P(45o) = ( , ) 2 P(150o) = ( , ) 2 3 1 - P(30o) = ( , ) 2 3 1 P(180o) = ( - 1 , 0 ) P(0o) = ( 1 , 0 ) P( 360o ) = ( 1 , 0 ) P(210o) = ( , ) 2 3 1 - P(330o) = ( , ) 2 3 1 - P(225o) = ( , ) 2 - P(315o) = ( , ) 2 - - P(240o) = ( , ) 2 3 1 P(300o) = ( , ) 2 3 1 - P(270o) = ( 0 , - 1 )

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - 1 -1 y x Radians DÉFINITION : 1 Le radian est une autre façon de mesurer un angle. 1 radian Il correspond à la mesure de l’angle au centre dont les côtés interceptent un arc dont la longueur est égale au rayon.

On retrouve donc 2 radians dans un cercle trigonométrique. Le cercle trigonométrique ayant un rayon égal à 1, calculons sa circonférence. y x 1 1 radian C = 2 r 1 radian C = 2 x 1 1 radian 1 C = 2 1 On retrouve donc 2 radians dans un cercle trigonométrique. ≈ 0,2832 radian 1 radian 1 radian Soit ≈ 2 x 3,1416 ≈ 6,2832 radians. 1 radian 1 (1 radian ≈ 57,30) 1 1

 Conversions DEGRÉS <---> RAD 360o = 2 rad 180o =  rad 360o y x 1 1 radian OU 1 radian 180o =  rad 1 radian 1 1 On peut donc effectuer la proportion suivante : ≈ 0,2832 radian 1 radian 1 radian Degrés 360o Radians 2 = 1 radian 1 1 OU 1 Degrés 180o Radians  =

Conversions DEGRÉS <---> RAD Exemples : A) Angle de 90o 900 x 2 x 900 = x x = 2  rad = 3600 2 3600 B) Angle de 30o 300 x 2 x 300 6  = x x = rad = 3600 2 3600 C) Angle de 45o 450 x 2 x 450 4  = x x = rad = 3600 2 3600 D) Angle de 60o 600 x 2 x 600 3  = x x = rad = 3600 2 3600

Conversions DEGRÉS <---> RAD Angles IMPORTANTS : DEGRÉS RADIANS 0o 6  30o 4  45o 3  60o 2  90o 180o  2 3 270o 360o 2

Cercle trigonométrique Conversions DEGRÉS <---> RAD Cercle trigonométrique 1 -1 y x P(90o) = ( 0 , 1 ) P(120o) = ( , ) 2 3 1 - P(60o) = ( , ) 2 3 1 P(135o) = ( , ) 2 - P(45o) = ( , ) 2 P(150o) = ( , ) 2 3 1 - P(30o) = ( , ) 2 3 1 P(180o) = ( - 1 , 0 ) P(0o) = ( 1 , 0 ) P( 360o ) = ( 1 , 0 ) P(210o) = ( , ) 2 3 1 - P(330o) = ( , ) 2 3 1 - P(225o) = ( , ) 2 - P(315o) = ( , ) 2 - - P(240o) = ( , ) 2 3 1 P(300o) = ( , ) 2 3 1 - P(270o) = ( 0 , - 1 )

Cercle trigonométrique Conversions DEGRÉS <---> RAD Cercle trigonométrique 1 -1 y x P( ) = ( 0 , 1 )  2 P( ) = ( , ) 2 3 1 - 2 3 P( ) = ( , ) 2 3 1  3 P( ) = ( , ) 2 - 4 3 P( ) = ( , ) 2 4  P( ) = ( , ) 2 3 1 - 6 5 P( ) = ( , ) 2 3 1 6  P( ) = ( - 1 , 0 )  P( ) = ( 1 , 0 ) P( ) = ( 1 , 0 ) 2 P( ) = ( , ) 2 3 1 - 6 7 P( ) = ( , ) 2 3 1 - 6 11 4 5 P( ) = ( , ) 2 - 4 7 P( ) = ( , ) 2 - - P( ) = ( , ) 2 3 1 4 3 P( ) = ( , ) 2 3 1 - 5 3 P( ) = ( 0 , - 1 ) 3 2

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Valeurs exactes de sin  , cos  et tan 

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  On sait que : 1 -1 y x cos  = x P() = ( , ) cos  x sin  y sin  = y 1 Aussi :  tan  = sin  cos  Donc : tan  = y x

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : 7 6 a) sin

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : 7 6 a) sin Réponse : -1 2 3 4 b) sin

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : 7 6 a) sin Réponse : -1 2 3 4 2 b) sin Réponse : 3 4 c) cos

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : 7 6 a) sin Réponse : -1 2 3 4 2 b) sin Réponse : 3 4 - 2 2 c) cos Réponse : 5 3 d) cos

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : 7 6 a) sin Réponse : -1 2 3 4 2 b) sin Réponse : 3 4 - 2 2 c) cos Réponse : 5 3 1 2 d) cos Réponse :  4 e) tan

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : 7 6 a) sin Réponse : -1 2 3 4 2 b) sin Réponse : 3 4 - 2 2 c) cos Réponse : 5 3 1 2 d) cos Réponse : 2  4 sin ( / 4) cos ( / 4) e) tan Réponse : = = 1 2

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : 2 3 f) tan

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Valeur exacte de sin  , cos  et tan  Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : 3 2 2 3 sin (2 / 3) cos (2 / 3) f) tan Réponse : = - 1 2 3 2 - 2 1 = x = - 3

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. 7 6 a) rad

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. 7 6 a) rad Réponse : ( , ) - 3 2 -1 2 -  4 b) rad

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. 7 6 a) rad Réponse : ( , ) - 3 2 -1 2 -  4 b) rad Réponse : ( , ) 2 - 2 2 11 4 c) rad

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. 7 6 a) rad Réponse : ( , ) - 3 2 -1 2 -  4 b) rad Réponse : ( , ) 2 - 2 2 11 4 c) rad Réponse : ( , ) - 2 2 2 10 3 d) rad

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. 7 6 a) rad Réponse : ( , ) - 3 2 -1 2 -  4 b) rad Réponse : ( , ) 2 - 2 2 11 4 c) rad Réponse : ( , ) - 2 2 2 10 3 d) rad Réponse : ( , ) -1 2 - 3 2

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. - 8 6 e) rad

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. - 8 6 e) rad Réponse : ( , ) -1 2 3 2 -  2 f) rad

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. - 8 6 e) rad Réponse : ( , ) -1 2 3 2 -  2 f) rad Réponse : ( , ) - 1 g) - 5 rad

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible. - 8 6 e) rad Réponse : ( , ) -1 2 3 2 -  2 f) rad Réponse : ( , ) - 1 g) - 5 rad Réponse : ( , ) - 1 11 8 11 8 11 8 h) rad Réponse : ( , ) cos sin ( - 0,3827 , - 0,9239 )

Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - 1 -1 y x Longueur d’arc A Dans tout cercle de rayon « r », on détermine la longueur (L) d’un arc AB de la façon suivante : r L L =  x r  B Exemples : Dans un cercle de rayon 6 cm, quelle est la mesure de l’arc intercepté par un angle au centre de 1,5 rad ? m AB = 1,5 x 6 m AB = 9 cm