La fonction quadratique Les zéros de fonction ou Les abscisses à l’origine

Les zéros de fonction sont les valeurs de x quand f(x) = 0. 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Graphiquement Algébriquement si f(x) = a ( x – h )2 + k alors 0 = a ( x – h )2 + k si f(x) = ax2 + bx + c alors 0 = ax2 + bx + c Ce sont les abscisses à l’origine. On les appelle également: - les valeurs de x qui annulent le polynôme. - les racines ou les solutions de la fonction.

Pour déterminer algébriquement les zéros de fonction, il existe plusieurs procédés. En forme canonique: Procédé 1: Isoler x. + - h - k a Procédé 2: Utiliser les formules des zéros. En forme générale: Procédé 1: Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul. 2a b2 – 4ac + - - b Procédé 2: Utiliser les formules des zéros.

Avec la forme canonique: Procédé 1: Isoler x + - 2 = ( x - 1 ) f(x) = 1 ( x - 1 )2 - 4 Un nombre possède 2 racines. 0 = 1 ( x - 1 )2 - 4 si + 2 = x - 1 si - 2 = x - 1 4 = ( x - 1 )2 + 1 + 1 + 1 + 1 alors 3 = x alors - 1 = x 4 = ( x - 1 )2 x1 = - 1 x2 = 3 Vérifions: 0 = ( x - 1 )2 - 4 x1 = - 1 0 = ( - 1 - 1 )2 - 4 vrai donc -1 et 3 sont bien les deux valeurs de x qui annulent le polynôme. x2 = 3 0 = ( 3 - 1 )2 - 4 vrai

Avec la forme canonique: + - h - k a Procédé 2: Utiliser les formules des zéros: Démonstration Utilisons la forme théorique. f(x) = a ( x - h )2 + k - k a = ( x – h ) + - 0 = a ( x - h )2 + k - k a = x – h + - - k = a ( x - h )2 - k = a ( x - h )2 a - k a = x h + - - k = ( x - h )2 a - k a = ( x – h )2 x1 = - k a h - x2 = - k a h +

Ainsi, dans la fonction : f(x) = 1 ( x - 1 )2 - 4 - k a = x h + - a = 1 h = 1 k = - 4 - - 4 1 = x + - 4 = x 1 + - = x 1 + - 2 x1 = 1 – 2 = - 1 x2 = 1 + 2 = 3 x1 = - 1 x2 = 3

- k a = x h + - Remarque: dans la formule - k a est appelé le DISCRIMINANT. Il nous renseigne sur l’existence des zéros. Si - k a > 0 , les zéros sont réels et distincts: x1 = - k a h - x2 = + - k a Si = 0 x1 = h – 0 x2 = h + 0 Zéro double Si - k a < 0 Les zéros ne sont pas des nombres réels.

Exemple 1: f(x) = 2 ( x + 3 )2 - 8 - k a = - - 8 2 a = 2 h = - 3 k = - 8 = 4 donc deux zéros réels distincts x1 = - 3 - 4 x2 = - 3 + 4 x1 = - 3 – 2 = - 5 x2 = - 3 + 2 = - 1 Deux solutions: x1 = - 5 x2 = - 1

Exemple 2: f(x) = 3 ( x - 6 )2 - k a = 3 a = 3 h = 6 k = 0 = 0 donc un zéro double x1 = 6 - 0 x2 = 6 + 0 Une solution: x = 6 La parabole touche l’axe des x par son sommet. Exemple 3: f(x) = 2 ( x + 6 )2 + 2 - k a = - 2 2 a = 2 h = - 6 k = 2 = - 1 aucun zéro réel On ne peut pas extraire la racine carrée d’un nombre négatif. car - 1 Aucune solution

Avec la forme générale: Procédé 1 : Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul. Exemple: f(x) = 2x2 + 3x + 1 0 = 2x2 + 3x + 1 Étape 1 : Factoriser le polynôme: 0 = ( 2x + 1 ) ( x + 1 ) Étape 2 : Utiliser la loi du produit nul. Que signifie la loi du produit nul ?

La loi du produit nul 0 = ( 2x + 1 ) ( x + 1 ) X Pour obtenir : on a 2 possibilités: 0 = ( x + 1 ) soit X 0 = soit ( 2x + 1 ) X Dans les deux cas, la multiplication par 0 de l’un des deux binômes, nous donnera f(x) = 0. C’est la loi du produit nul.

On pose alors les conditions suivantes: si ( x + 1 ) = 0 si ( 2x + 1) = 0 x + 1 = 0 2x + 1 = 0 - 1 - 1 2x = - 1 x1 = -1 2 x2 = - 1 2 ou - 0,5 Vérifions: f(x) = 2x2 + 3x + 1 x1 = - 1 0 = 2 X (-1)2 + 3 X -1 + 1 vrai x2 = - 0,5 0 = 2 X (- 0,5 )2 + 3 X - 0,5 + 1 vrai donc - 0,5 et -1 sont bien les deux valeurs de x qui annulent le polynôme.

Avec la forme générale: - b - + b2 – 4ac 2a Procédé 2 : Utiliser les formules des zéros: Démonstration En utilisant les formules des zéros de la forme canonique : - k a h + - en association avec les coordonnées du sommet de la parabole, en forme générale: - b 2a 4a 4ac – b2 S , on obtient les formules des zéros en forme générale.

- b 2a h = 4a 4ac – b2 k = On sait que : et que alors remplaçons : - k a h + - 4a2 4ac – b2 + - - b 2a 2a b2 – 4ac + - - b 4a 4ac – b2 - b 2a + - a 4a2 4ac + b2 + - - b 2a 2a b2 – 4ac + - - b 4a2 b2 – 4ac + - - b 2a 4a 4ac – b2 + - a ÷ - b 2a x1 = 2a b2 – 4ac - b - 4a2 b2 – 4ac + - - b 2a x2 = 2a b2 – 4ac - b + 4a 4ac – b2 + - a X 1 - b 2a

Exemple : f(x) = 2x2 + 3x + 1 a = 2 b = 3 c = 1 4 1 + - - 3 2a b2 – 4ac + - - b 4 - 3 - 1 = - 4 4 = x1 = - 1 2 X 2 32 – 4 X 2 X 1 + - - 3 4 - 3 + 1 = - 2 4 = - 1 2 x2 = 4 9 – 8 + - - 3 x1 = - 1 x2 = - 1 2 4 1 + - - 3

2a b2 – 4ac + - - b Remarque: dans la formule b2 – 4ac est le DISCRIMINANT. Il nous renseigne sur l’existence des zéros. Si > 0 b2 – 4ac , les zéros sont réels et distincts: x1 = x2 = 2a b2 – 4ac - b - + Si = 0 b2 – 4ac x1 = - b - 0 x2 = - b + 0 Zéro double Si b2 – 4ac < 0 Les zéros ne sont pas des nombres réels.