Régression linéaire (STT-2400) Section 3 Préliminaires, Partie I, Matrices et vecteurs aléatoires Version: 8 février 2007

STT-2400; Régression linéaire Introduction L’objectif de cette section est de déterminer l’estimateur des moindres carrés (OLS) pour le modèle de régression linéaire multiple (RLM). Les notions qui seront couvertes dans les sections préliminaires I, II et III sont notamment les vecteurs aléatoires et la loi normale multivariée. Comme on le verra plus tard, les estimateurs des paramètres formeront un vecteur aléatoire qui sous certaines hypothèses est de distribution normale. STT-2400; Régression linéaire

Matrices et vecteurs aléatoires Définition: Une matrice aléatoire de dimension est une matrice dont les éléments sont des variables aléatoires. Définition: Un vecteur aléatoire est un vecteur dont les éléments sont des variables aléatoires. STT-2400; Régression linéaire

Espérance mathématique des matrices et vecteurs aléatoires Définition: Soit une matrice aléatoire et considérons un vecteur aléatoire. Nous avons les propriétés suivantes: STT-2400; Régression linéaire

STT-2400; Régression linéaire Propriété 3.1 Soient et deux vecteurs aléatoires, une matrice aléatoire et et des matrices constantes. On a alors les propriétés suivantes: STT-2400; Régression linéaire

Matrice des variances et covariances Soit un vecteur aléatoire de moyenne . On définit la variance de , que l’on note , de la manière suivante: STT-2400; Régression linéaire

STT-2400; Régression linéaire Exemple Soit un vecteur aléatoire de moyenne et de variance valant . Soit pour un vecteur constant . On a alors: STT-2400; Régression linéaire

STT-2400; Régression linéaire Propriété 3.2 Soit un vecteur aléatoire de moyenne et de variance valant . Pour une matrice constante on a les propriétés suivantes: STT-2400; Régression linéaire

STT-2400; Régression linéaire Propriété 3.3 Soit un vecteur aléatoire de moyenne et de variance valant . Pour une matrice constante et un vecteur constant on a les propriétés suivantes: STT-2400; Régression linéaire

Pour (ii): (ii) implique (iii): (i)

Remarque sur la Propriété 3.3 (i) On rappelle que cette propriété stipule que: En fait, l’analogue univarié est simplement que pour une variable aléatoire X: STT-2400; Régression linéaire