Tranchées de longueurs minimales Lycée de l’image et du son – Angoulême - Charente Lycée Saint Joseph – Bressuire – Deux Sèvres Jean-Philippe BOUCHER Leslie BOUET Julien BOYE Pierre CHARRIER Vincent COLAS Octave CURMI Théophane FIEVET Abdelrahman KARKI Chloé MOLTENI

Enoncé du problème Comment savoir où se trouve une canalisation passant par un jardin circulaire en creusant la tranchée la plus petite possible ? Disque de rayon 1 Droite

tranchée pour un disque de rayon 1. Solution donnée au départ 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 Soit L la longueur de la tranchée pour un disque de rayon 1. L = π + 2

Un contre-exemple 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 Ici, une canalisation peut passer sans être interceptée par la tranchée => La solution n’est pas bonne

Un autre exemple avec des segments 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 Construction avec deux triangles équilatéraux (un intérieur et un extérieur).

Tranchées composées que de segments 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 120 ° 1 60 ° Tranchées Dans cette disposition la tranchée fait une longueur de : L=

Amélioration de l’idée 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 120 ° 120 ° 120 °

Extension 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 Nous souhaitons continuer à augmenter le nombres des branches de l’étoile pour voir si l’on peut obtenir une tranchée encore moins longue.

Dernière idée avec des segments 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 5,65 Nous avons construit la figure suivante à partir du point D mobile sur le segment [oA] Apres avoir trouvé une figure de longueur 6 nous avons réussi à réduire la longueur et on trouve : L ≈ 5,65 Lorsque OD ≈ 0,54

Figure parapluie Figure initiale Figure raccourcie 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 5,65 4,866 4,862 Figure initiale Figure raccourcie Figure fonctionnelle Amelioration

Arcs de cercles et segments 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 5,65 4,866 4,862 4,819 Idée : Rendre la figure « optimisable » en prenant des points mobiles sur le cercle

On a utilisé une propriété bien connue : Projections orthogonales 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 5,65 4,866 4,862 4,819 4,800 4,792 On a utilisé une propriété bien connue : La distance la plus courte entre un point et une droite est la distance entre ce point et son projeté orthogonal sur la droite. 4 points sur le cercle 5 points sur le cercle 6 points sur le cercle 7 points sur le cercle

Le record (pour le moment) 2 π ≈ 6,28 π + 2 ≈ 5,14 7,96 6 ≈ 5,19 5,65 4,866 4,862 4,819 4,800 4,792 Est-ce la plus courte possible avec 3 tranchées ? Peut-on faire plus court avec plus de tranchées ?